湖北省武汉西藏中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题
展开武汉西藏中学2022-2023学年第二学年期末考试
高二数学试卷
一、选择题（共12题，共60分）
- （5分）实轴长为 ，虚轴长为 的双曲线的标准方程是
A． B．
C． 或 D． 或
- （5分）已知双曲线 右焦点为 ， 为双曲线左支上一点，点 ，则 周长的最小值为
A． B． C． D．
- （5分）已知圆 ：（）截直线 所得线段的长度是 ，则圆 与圆 ： 的位置关系是
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
- （5分）数列 中，，，则
A． B． C． D．
- （5分）计算机将信息转换成二进制数进行处理时，二进制即“逢二进一”，如 表示二进制的数，将它转换成十进制的形式是 ，那么将二进制数 转换成十进制数的形式是
A． B． C． D．
- （5分）在等差数列 中，， 则
A． B． C． D．
- （5分）有不同的语文书 本，不同的数学书 本，不同的英语书 本，从中选出不属于同一学科的书 本，则不同的选法有
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
- （5分）在 的二项展开式中， 的系数为
A． B． C． D．
- （5分）若 的展开式的二项式系数之和为 ，则展开式的常数项为
A． B． C． D．
- （5分）在 的展开式中， 的系数为
A． B． C． D．
- （5分）设函数 ，已知集合 ，，若存在实数 ，使得集合 中恰好有 个元素，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
- （5分）已知函数 ，，若对任意 ，存在 ，使 ，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题（共4题，共20分）
- （5分）已知点列 ，其中 ，． 是线段 的中点， 是线段 的中点，， 是线段 的中点，．记 ．则 ； ．
- （5分）等差数列 的前 项和为 ，，则 ．
- （5分）已知组合数 ，则 ．
- （5分）某一大型购物广场有“喜茶”和“沪上阿姨”两家奶茶店，某人第一天随机地选择一家奶茶店购买奶茶，如果第一天去“喜茶”店，那么第二天去“喜茶”店的概率为 ；如果第一天去“沪上阿姨”店，那么第二天去“喜茶”店的概率为 ．则某人第二天去“喜茶”店购买奶茶的概率 ．
三、解答题（共6题，共70分）
- （10分）在二项式 的展开式中，求：
(1) 展开式的第四项；
(2) 展开式的常数项；
(3) 展开式的各项系数的和．
- （12分）有 名学生参加体育达标测验， 个各自合格的概率分别是 ，，，，求以下的概率：
(1) 人中至少有 人合格的概率；
(2) 人中恰好只有 人合格的概率．
- （12分）已知函数 ．
(1) 求 的单调区间；
(2) 求 在区间 上的最大值和最小值．
- （12分）已知函数 ．
(1) 求曲线 在点 处的切线方程；
(2) 证明：．
- （12分）已知抛物线 经过点 ，且其对称轴为 轴．
(1) 求抛物线 的标准方程；
(2) 已知直线 与抛物线 交于 ， 两点，判断以 为直径的圆与抛物线的准线 的位置关系，并加以证明．
- （12分）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ．
(1) 求椭圆 的方程；
(2) 过点 作斜率为 的直线交椭圆 于点 ，，直线 ， 分别交直线 于点 ，．求证： 为 的中点．
答案
一、选择题（共12题，共60分）
1. 【答案】C
【解析】由题知 ，，则 ，，，
若焦点在 轴上，标准方程为：，
若焦点在 轴上，标准方程为：．
2. 【答案】A
【解析】易得点 ，
的周长 ，
要 的周长最小，只需 最小，
如图，
当 ，， 三点共线时取到，
故 ．
3. 【答案】B
【解析】由 （），得 （），
所以圆 的圆心为 ，半径为 ，
因为圆 截直线 所得线段的长度是 ，
所以 ，解得 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
所以 ，
，，
因为 ，
所以圆 与圆 相交．
4. 【答案】B
【解析】由题知 为首项为 ，公差为 的等差数列，
，．
5. 【答案】D
【解析】
6. 【答案】A
【解析】等差数列中，．
7. 【答案】C
【解析】可分三类：
一类：语文、数字各 本，共有 （种）；
二类：语文、英语各 本，共有 （种）；
三类：数字、英语各 本，共有 （种），
所以共有 （种）不同选法．
8. 【答案】D
【解析】
由 ，得 ，所以 的系数为 ．
9. 【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ，
所以该式为 ，其展开式的通项为 ，
令 ，得 ，
所以常数项为 ．
10. 【答案】A
11. 【答案】A
12. 【答案】C
【解析】因为函数 ，
所以 ，
若 ，， 为増函数，
若 ， 或 ， 为减函数，
在 上有极值， 在 处取极小值也是最小值，
，
因为 对称轴 ，
当 时， 在 处取最小值 ，
当 时， 在 处取最小值， ,
当 时， 在 上是减函数，，
因为对任意 ，存在 ，使 ，
所以只要 的最小值大于等于 的最小值即可，
当 时，，解得 ，故 无解；
当 时， 无解；
当 时，，解得 ，
综上 ．
二、填空题（共4题，共20分）
13. 【答案】 ；
14. 【答案】
15. 【答案】
16. 【答案】
三、解答题（共6题，共70分）
17. 【答案】
(1) 第四项 ．
(2) 二项展开式的通项为 ，
令 ，得 ,
所以展开式的常数项为 ．
(3) 令 ，得展开式的各项系数的和为 ．
18. 【答案】
(1) 人中至少有 人合格：所有基本事件中排除 ，由题意，
．没有合格的概率为，，
．只有 人合格的概率为
所以 人中至少有 人合格的概率为 ．
(2) 人中恰好只有 人合格，则其概率为：
19. 【答案】
(1) ．
令 ，得 ，．
与 的变化情况如下：所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 和 ．
(2) 由（Ⅰ）知， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．
所以 在区间 上的最大值为 ．
在区间 上的最小值为 ．
因为 ，，且 ，
所以 在区间 上的最小值为 ．
20. 【答案】
(1) 函数 的定义域为 ，
且 ，，
因为 ，，
故所求的切线方程为 ，即 ．
(2) 由（）可知 为 上的增函数．
因为 ，，
所以存在唯一的 ，使 ．
从而有 ，．
因为 时，； 时，，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
所以 ，
所以 ．
21. 【答案】
(1) 因为抛物线顶点在原点，对称轴为 轴，且经过第四象限，
设抛物线 的方程为 ，
又抛物线经过点 ，
所以 ，解得 ，
于是抛物线 的方程为 ．
(2) 以 为直径的圆与抛物线 的准线 相切．证明如下：
证法 ：
由 得 ．
由于 ，设 ，，
则 ，．
由于 ，
，，
所以 ，
即 ．
设以 为直径的圆的圆心为 ，
则 ，即 ，
于是 ．
由于抛物线 的准线 的方程为 ，
所以圆心 到准线 的距离等于 ，
又以 为直径的圆的半径为 ，
所以，以 为直径的圆与抛物线 的准线 相切．
证法 ：
由于直线 恒过抛物线的焦点 ，
过点 ， 分别作抛物线 的准线 的垂线，垂足分别为 ，．
由抛物线的定义，得 ，．
所以 ．
设 中点为 ，过点 作抛物线 准线 的垂线，垂足为 ，
显然 轴，所以 是直角梯形 的中位线，
于是 ，
因此，点 在以 为直径的圆上，
又 ，
所以以 为直径的圆与抛物线 的准线 相切．
22. 【答案】
(1) 由题设，得
解得 ，．
所以椭圆 的方程为 ．
(2) 由题意，设直线 的方程为 ．
由 得 ．
由 ，得 ．
设 ，，则
，．
①当 时，直线 的方程为 ．
令 ，得点 的横坐标 ．
同理可得点 的横坐标 ．
因为 ，
所以 ．
所以 为 的中点．
②当 时，，．
直线 的方程为 ，可求得 ．
所以直线 的方程为 ，从而 ．
此时依然有 ．
综上， 为 的中点．
2022-2023学年湖北省武汉市洪山区西藏中学高二（下）期末数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年湖北省武汉市洪山区西藏中学高二（下）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
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