备战2024年高考数学一轮复习（一隅三反基础版新高考专用）4-4 求和方法（精讲）（基础版）（解析版）

4.4 求和方法（精讲）（基础版）

考点一 裂项相消

【例1】（2022·河南）已知正项数列的前项和为，且．

(1)求的值和数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和．

【答案】(1)；；(2).

【解析】(1)由得：；

为正项数列，，；

当时，；

当时，；

经检验：满足；.

(2)由（1）得：，

.

【一隅三反】

1．（2022·河北保定·一模）已知数列的前项和为，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求的前项和．

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)因为，故当时，，

当时，，则，

当时，满足上式，所以.

(2)由（1）得，

所以.

故数列的前项和.

2．（2022·江西鹰潭·一模）已知正项数列的首项，前n项和满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)记数列的前n项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)；(2)或.

【解析】(1)当时，，

∴，即，又，

所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，故，

又由（），

当时，也适合，所以.

(2)∵，

∴，

又∵对任意的，不等式恒成立，，

∴，解得或.即所求实数的范围是或.

3．（2022·重庆）数列满足：，．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，为数列的前n项和，若恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)，(2)或

【解析】(1)解：当，，①

，，②

①－②得（*）

在①中令，得，也满足（*），所以，，

(2)解：由（1）知，，

故，

于是，

因为随n的增大而增大，

所以，解得或

所以实数m的取值范围是或.

考点二 错位相减

【例2】（2022·陕西榆林·三模）已知数列的前项和为，且.

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)当时，，解得.

当时，，整理得，

所以是以9为首项，3为公比的等比数列，故.

(2)由（1）知，，则①，

所以②，

①-②得：，

故.

【一隅三反】

1．（2022·河南）已知在数列中，，，．

(1)求的通项公式；

(2)记，求数列的前n项和．

【答案】(1)(2)

【解析】(1)由题意，可知当时，，故，

当时，，故．综上所述，．

(2)依题意，．

故，

，

两式相减可得，

化简可得．

2．（2022·四川省内江市第六中学）已知数列的前项和为，满足，．

(1)求证：数列为等比数列并求数列的通项公式；

(2)设，求前项和．

【答案】(1)证明见解析，(2)

【解析】(1)，①，当时，②，①减去②得，

，，

可得数列是首项为1，公比为2的等比数列．．

(2)，，

①，②

①减去②得，

．

3．（2022·江西·上饶市第一中学二模）在等差数列中，，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和.

【答案】(1)(2)

【解析】(1)设等差数列的公差为，由，，

得：，解得：数列的通项公式为：.

(2)由（1）知：，

所以①

②

①减去②得：

，所以.

考点三 分组求和

【例3-1】（2022·甘肃兰州）在①，②是和的等比中项，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．

问题：已知公差d不为0的等差数列的前n项和为，．

(1)______，求数列的通项公式；

(2)若数列，，求数列的前n项和．

【答案】(1)答案见详解；(2)

【解析】(1)选①：由于，

所以，又，所以，故

所以；

选②：是和的等比中项，则，

所以，又，解得，（舍去）

所以；

(2)，，则

【例3-2】（2022·福建三明·模拟预测）设数列的前项和为，，，．

(1)求证：是等比数列；

(2)设，求数列的前项和．

【答案】(1)证明见解析(2)

【解析】(1)证明：对任意的，，

当时，则有，解得，

当时，由可得，

上述两个等式作差得，所以，，则，

所以，且，所以，数列是等比数列，且首项和公比均为.

(2)解：由（1）可知，所以，，

所以，

.

【一隅三反】

1．（2022·四川攀枝花）在①，②是，的等差中项，③．这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．

已知正项等比数列的前n项和为，，且满足______（只需填序号）．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)设正项等比数列的公比为，

选①，由，得，

∴，又，

∴，

解得或（舍去），

∴；

选②，是，的等差中项，

∴，又，

∴，即，

∴，

∴；

选③，，

当时，，

∴或（舍去），

∴，

当时，，

故数列的通项公式为；

(2)

∵，

∴，

∴，

∴

.

2．（2022·重庆·二模）设为数列的前项和，已知，.若数列满足，，.

(1)求数列和的通项公式；

(2)设，求数列的前项的和.

【答案】(1)，(2)

【解析】(1)由，①，得：

当时，,解得或（负值舍去），

当时，②，

得：，

所以，所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列.

所以.

因为数列满足，，.

所以数列是等比数列，首项为2，公比为2.

所以.

(2)因为，所以，

所以

.

3．（2022·陕西宝鸡·三模）已知数列中，，且．记﹒

(1)求证：数列是等比数列；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)证明见解析；(2)﹒

【解析】

(1)∵，

且，∴是以2为首项，2为公比的等比数列；

(2)由(1)知，，则，

令的前项和为，

则.

考点四 倒序相加

【例4】（2021·全国·高三专题练习）已知函数，利用课本中推导等差数列的前项和的公式的方法，可求得（       ）.

A．25 B．26 C．13 D．

【答案】C

【解析】，，即，

设，①

则，②

则①＋②得：，

故.故选：C.

【一隅三反】

1．（2022·全国·高三专题练习）已知若等比数列满足则（       ）

A． B．1010 C．2019 D．2020

【答案】D

【解析】

等比数列满足

即2020

故选：D

2．（2022·全国·高三专题练习）设函数，利用课本（苏教版必修）中推导等差数列前项和的方法，求得的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，，

设，

则，

两式相加得，因此，.

故选：B.

3．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，数列是正项等比数列，且，______．

【答案】

【解析】由数列是正项等比数列，

且，可得，

因为，

可设，

又，

两式相加可得

，

所以．

故答案为：．

4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，________.

【答案】

【解析】，

，

令，①

，②

①②得：，

，即．

故答案为：.