备战2024年高考数学一轮复习（一隅三反基础版新高考专用）4-4 求和方法（精练）（基础版）（解析版）

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4.4 求和方法（精练）（基础版）1．（2022·安徽滁州·二模）已知数列满足：，设，．则__________．【答案】【解析】依题意，，所以数列是首项，公比为的等比数列，所以，.，也满足，所以，，所以.故答案为：2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{bn}的前n项和Sn＝2n2﹣n，设数列{}的前n项和为Kn，则K20的值为 __．【答案】【解析】当n＝1时，b1＝S1＝2﹣1＝1，当n≥2时，，且当n＝1时，4n﹣3＝1＝b1，故数列{bn}的通项公式为：bn＝4n﹣3，则，则．故答案为：．3．（2022·宁夏石嘴山·一模）已知为等比数列，前n项和为，，.(1)求的通项公式及前n项和；(2)若，求数列的前100项和.【答案】(1)；(2)【解析】(1)解：设公比为，∵，，∴，∴，∴；(2)解：∵，∴，∴.4．（2022·陕西·西安工业大学附中）设数列的前n项积为，且.(1)求证数列是等差数列；(2)设，求数列的前n项和.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)因为数列的前n项积为，且，∴当n=1时，，则，.当n≥2时，，∴，所以是以为首项，为公差的等差数列；(2)由（1）知数列，则由得，所以，所以.5．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知数列的前项和为，若（为非零常数），且.(1)求的通项公式；(2)若，求的前项和，并证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】(1)数列的前项和为 时, ,解得0 ①当时，   ②①-②得 ,则即 (常数) 所以数列是以为首项,为公比的等比数列.则又，则，所以或（舍）故.(2)由于所以=则因为，所以，所以又所以随的增大而减小所以当时，取得最大值故6．（2022·黑龙江·哈九中二模）已知数列满足，．(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)记，求的前n项和【答案】(1)证明见解析，(2)【解析】(1)当时，，得，当时，有，，相除得整理为：，即，∴为等差数列，公差，首项为；所以，整理为：.(2)，7．（2022·广东梅州·二模）已知是数列的前项和，，___________.①，；②数列为等差数列，且的前项和为.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：(1)求；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)条件选择见解析，(2)【解析】(1)解：选条件①：，，得，所以，，即数列、均为公差为的等差数列，于是，又，，，所以；选条件②：因为数列为等差数列，且的前项和为，得，所以，所以的公差为，得到，则，当，.又满足，所以，对任意的，.(2)解：因为，所以.8．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，.(1)求的通项公式；(2)若，求的前n项和.【答案】(1)(2)【解析】(1)解：由，可得，即，所以当时，，，，，将上述式子进行累加得，-将代入可得，即.当时也满足上式，所以数列的通项公式.(2)解：由（1）得，则.1．（2022·安徽黄山·二模）已知等差数列和等比数列满足，若数列的前项和为，且.(1)求数列，的通项公式；(2)若数列满足：，求数列的前n项和.【答案】(1)，;(2).【解析】(1)由①，可得（）②，由①②得（）             又也符合上式，所以，由得，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则有，令，有，令，有             解得，或者取，有，检验得（舍去）所以，；(2)由得，                    所以则两式相减得，                    2．（2022·安徽黄山·二模）已知数列、满足，若数列是等比数列，且 ．(1)求数列、的通项公式；(2)令，求的前项和为.【答案】(1)，(2)【解析】(1)        当时，， ，又，∴       是以为首项，为公比的等比数列，                  ∴当时，由累加法可得：，又当时，也适合上式，∴(2)     ∴①∴②①-②得：                    ∴3．（2022·安徽合肥·二模）记为数列的前项和，已知，且．(1)求数列的通项公式；(2)已知数列满足________，记为数列的前项和，证明：．从①   ②两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上并作答.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】(1)①，当时，，；当时，②①-②得，即又，∴数列是从第2项起的等比数列，即当时，．．(2)若选择①：，．若选择②，则③，④，③-④得，．4．（2022·江苏省昆山中学高三阶段练习）已知数列，，．(1)求，，，并求出数列的通项公式；(2)记为数列的前项和，求．【答案】(1)，，，；(2)【解析】(1)解：由题意，数列中，，，所以，，，两边同除，可得，即，设，可得，令，解得，所以，因为，所以，所以，可得，所以数列的通项公式为.(2)解：由，可得，则，可得，两式相减得到，所以.5．（2022·天津·芦台二中模拟预测）设数列的前项和为，为等比数列，且(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列前项和.【答案】(1)，；(2).【解析】（1）对数列，由，，当时，，也满足，对数列，设其公比为，，由可得，解得，故.(2)因为，故，故，，.6．（2022·安徽宣城·二模）数列的前n项和为，且，记为等比数列的前n项和，且，．(1)求数列和的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前n项和．【答案】(1)，；(2).【解析】(1)解：当时，．当时，也满足上式，故数列的通项公式为．设的公比为q，当时，由题意可知，，显然不成立．当时，依题意得，解得，所以．(2)解：由（1）得，则①，②①—②得：，所以7．（2022·陕西·模拟预测）已知等比数列为递增数列，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】(1)解：由题意，，解得或，因为等比数列为递增数列，所以，所以；(2)解：由（1）知，所以数列的前n项和为，①，②① ② 得，所以，又因为，所以，所以.8．（2022·海南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，，公比为的等比数列满足.(1)求数列、的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)，(2)【解析】(1)解：设等差数列的公差为，则，解得，所以，，，则.(2)解：因为，则，①，②①②得，因此，.9．（2022·云南·昆明一中）已知数列的前n项和.(1)判断数列是否为等比数列，说明理由；(2)若，求数列的前n项和.【答案】(1)不是等比数列，证明见解析(2)【解析】(1)当时，，因为，所以数列的通项公式：，所以，，所以，所以不是等比数列.(2)由（1）得：，所以，当时，当时，，①，②由①-②得：，所以，当时，也满足所以10．（2022·河南濮阳·一模（理））已知等差数列中，，，数列的前n项和满足．(1)求数列，的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)，(2)【解析】(1)设等差数列的公差为d．由，得．解得.故．当时，，得．当时，由，得，两式相减得，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，所以．(2)依题意，，所以，，两式相减，得 解得．11．（2022·湖南常德·一模）设各项非负的数列的前项和为，已知，且成等比数列.(1)求的通项公式；(2)若，数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】(1)当时，，当时，①，②.①-②得，即，∵，∴，∴数列从第2项起是公差为1的等差数列.∴，又，，成等比数列，∴，即，解得，∴，∵，∴，适合上式，∴数列的通项公式为.(2)，∴数列的前项的和为③④③-④得，∴.1．（2022·陕西商洛·一模）已知正项等比数列{}满足(1)求{}的通项公式：(2)求数列{}的前n项和.【答案】(1)(2)【解析】(1)由，得，解得：又，所以，因为，所以，所以(2)2．（2022·广东·翠园中学）已知数列是公比为2的等比数列，是和的等差中项．(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前n项和．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)由题意，且公比所以，，，所以；(2)由（1），．3．（2022·重庆巴蜀中学）已知等差数列中，公差d为整数，其前n项和为．满足，且是和的等比中项．(1)求的通项公式；(2)设的前n项和为，求．【答案】(1)，(2)【解析】(1)由题：，∴由于是和的等比中项，故则，又d为整数，解得，所以∴，；(2)；∴．4．（2022·河北唐山·二模）已知等比数列满足，，．(1)求的通项公式；(2)记，，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【解析】(1)解：因为等比数列满足，，设公比为，所以，解得，所以；(2)解：由（1）知，，所以数列的前n项和.5．（2022·福建省福州第一中学）已知等差数列中，．(1)求；(2)设，求的前项和．【答案】(1)(2)【解析】(1)设等差数列的公差为，∵，所以，可得，两式相减可得：，所以所以可得：；(2)由（1）知：，所以，6．（2022·浙江·杭州市余杭中学）已知为等差数列，为等比数列，，，．(1)求和的通项公式；(2)记的前项和为，求证：；(3)对任意的正整数，设，求数列的前项和．【答案】(1)，(2)证明见解析(3)【解析】(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为．∵，，可得．∴．∵，，且，可得，解得，∴．(2)由题可知，故，，作差得：，因此，.(3)由题可知，故当为奇数时，，故记.当偶数时，记，，故，因此，；故所求.7．（2022·广东韶关·二模）已知数列前项和为，(1)证明：(2)设 求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)解：由题可知，当时，解得，所以又因为，将其与两式相减得：，因为，有.当时，上式也成立，综上，.(2)解：当n为大于1的奇数时，有，，，…，累加得又满足上式，所以n为奇数时；当n为大于2的偶数时，有，，，…，累加得，满足上式，又，综上可知.8．（2022·北京市房山区房山中学）已知数列为等差数列，是公比为的等比数列，且满足，．(1)求数列和的通项公式；(2)令，求数列的前项的和．【答案】(1)，；(2).【解析】(1)由题设，所以，而，则，由，则，故.综上，，.(2)由（1）知：，所以.1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，正项等比数列满足，则等于______．【答案】【解析】因为，所以．因为数列是等比数列，所以，即．设 ①，又＋…＋ ②，①+②，得，所以．2．（2022·山西）设函数，数列满足，则______.【答案】【解析】由题得,，两式相加得，考虑一般情况，设,则所以故答案为：3．（2022·河南）已知，等差数列的前项和为，且，则的值为___________.【答案】【解析】因为等差数列的前项和为，且，所以，解得：，则，（且）因为，则，所以设，则，由上述两式相加得：，则故答案为：1009.4（2022·陕西）已知函数，数列满足，则数列的前2019项和为______.【答案】【解析】依题意，函数，，所以，数列满足，所以，.，设此数列前2019项的和，则有：，，所以，即.故答案为：.5．（2022·全国·高三专题练习）定义在上的函数,,,则______.【答案】【解析】函数，，可得，即有：，又，可得：，，即有.故答案为：.