备战2024年高考数学一轮复习（一隅三反基础版新高考专用）6-6 分布列基础（精讲）（基础版）（解析版）

6.6 分布列基础（精讲）（基础版）

考点一 超几何分布

【例1】（2022·四川绵阳）某校高一，高二年级的学生参加书法比赛集训，高一年级推荐了4名男生，2名女生，高二年级推荐了3名男生，5名女生，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队参加市上比赛.

(1)求高一恰好有1名学生入选代表队的概率；

(2)正式比赛时，从代表队的6名队员中随机抽取2人参赛，设表示参赛的男生人数，求的分布列和数学期望

【答案】(1)；(2)的分布列见解析，.

【解析】(1)从参加集训的男生中随机抽取人，

女生中随机抽取人组成代表队的抽取方法数为，

代表队中恰好有名高一学生的抽取方式中，

恰有名高一学生，若学生为男生，则抽取方法数为，

若学生为女生，则抽取方法数为，

高一恰好有1名学生入选代表队的概率；

(2)依题意得，的所有可能取值为，

则，

，

，

的分布了如下：

.

【一隅三反】

1．（2022·全国·高三专题练习）一个袋中装有大小相同的8个小球，其中5个红球，3个黑球，现从中随机摸出3个球．

(1)求至少摸到个红球的概率；

(2)求摸到红球的个数的概率分布及数学期望．

【答案】(1).(2)分布列见解析，.

【解析】(1)设至少摸到1个红球为事件A，则.

(2)服从超几何分布，，

，，

，.

所以摸到红球的个数的概率分布列为

.

2．（2022·北京·景山学校模拟预测）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率；

(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；

(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中，1，2，…，10．当最大时，写出k的值．（只需写出结论）

【答案】(1)0.20(2)的分布列见解析，数学期望为(3)5

【解析】(1)由频率分布直方图得：，

解得，，所以日平均阅读时间在内的概率为0.20；

(2)由频率分布直方图得：

这500名学生中日平均阅读时间在，，，，，三组内的学生人数分别为：人，人，人，若采用分层抽样的方法抽取了10人，

则从日平均阅读时间在，内的学生中抽取：人，

现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，

，

，

，

，

的分布列为：

数学期望.

(3)，理由如下：

由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在内的概率为0.50，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，恰有k名学生日平均阅读时间在内的分布列服从二项分布，，由组合数的性质可得时最大.

3．（2022·全国·高三专题练习）新高考按照“3＋1＋2”的模式设置，其中“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有考生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、政治、地理四科中选择两科.某校为了解该校考生的选科情况，从首选科目为物理的考生中随机抽取10名（包含考生甲和考生乙）进行调查.假设考生选择每个科目的可能性相等，且他们的选择互不影响.

(1)求考生甲和考生乙都选择了地理作为再选科目的概率；

(2)已知抽取的这10名考生中，女生有4名，从这10名考生中随机抽取5名，记X为抽取到的女生人数，求X的分布列与数学期望.

【答案】(1)(2)分布列见解析，

【解析】(1)考生可在化学、生物、政治、地理四科中选择两科， 共有 种，

其中考生选择了地理作为再选科目， 共有 种，

故考生甲和考生乙都选择了地理作为再选科目的概率.

(2)由题意可得， 所有可能取值为0，1，2，3，4

 ， ，  

 ，.

故的分布列为：

故.

考点二 二项分布

【例2】（2022·河南安阳）某省会城市为了积极倡导市民优先乘坐公共交通工具绿色出行，切实改善城市空气质量，缓解城市交通压力，公共交通系统推出“2元换乘畅享公交”“定制公交”“限行日免费乘公交”“绿色出行日免费乘公交”等便民服务措施．为了更好地了解人们对出行工具的选择，交管部门随机抽取了1000人，做出如下统计表：

同时交管部门对某线路公交车统计整理了某一天1200名乘客的年龄数据，得到的频率分布直方图如下图所示：

(1)求m的值和这1200名乘客年龄的中位数；

(2)用样本估计总体，将频率视为概率，从该市所有市民中抽取4人，记X为抽到选择公共交通出行方式的人数，求X的分布列和数学期望．

【答案】(1)，中位数为；(2)分布列见解析，

【解析】(1)解：依题意可得，解得，

因为，所以中位数为于，

设中位数为，则，解得，故这1200名乘客年龄的中位数为；

(2)解：选择公共交通出行方式的频率为，

所以，则的可能取值为、、、、，

所以，，

，，

所以的分布列为：

所以；

【一隅三反】

1．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用五一假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在范围内，规定分数在80分以上（含80分）的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如下图所示．

(1)根据频率分布直方图计算所得分数的众数及中位数（中位数保留小数点后一位）

(2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X，求X的分布列及数学期望．

【答案】(1)众数65分;中位数66.4分

(2)X的分布列见解析，数学期望为

【解析】(1)由频率分布直方图，众数为65分，

又因为，所以中位数在之间，为（分）；

(2)由频率分布直方图，抽到“具有很强安全意识”的成年人的概率为，所以，故X的分布列为

期望

2．（2022·河南·模拟预测（理））某中学面向全校所有学生开展一项有关每天睡眠时间的问卷调查，调查结果显示，每天睡眠时间少于7小时的学生占到，而每天睡眠时间不少于8小时的学生只有．现从所有问卷中随机抽取4份问卷进行回访（视频率为概率）．

(1)求抽取到的问卷中至少有两份调查结果为睡眠时间不少于7小时的概率；

(2)记抽取到的问卷中调查结果为少于7小时的份数为，求的概率分布及数学期望．

【答案】(1)(2)分布列见解析，数学期望

【解析】(1)根据题意可知每位学生每天睡眠时间少于7小时的概率为，

每位学生每天睡眠时间不少于7小时的概率为，

所以4份问卷中至少有两份结果为睡眠时间不少于7小时的概率为：

．

(2)根据题意可知，

则，

，

，

，

，

所以的分布列为：

所以．

3．（2022·全国·高三专题练习）小明所在学习小组开展社会调查，记录了某快餐连锁店每天骑手的人均业务量．现随机抽取100天的数据，将样本数据分为，，，，，，七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．

(1)随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；

(2)将上图中的频率作为相应的概率，从该连锁店的骑手中任意选3人，记其中业务量不少于65单的人数为，求的分布列和数学期望．

(3)如果该连锁店的骑手每送1单可以提成3元，试估计一名骑手每天的收入．并说明理由．

【答案】(1)0.4；(2)分布列见解析，1.2；(3)186元，理由见解析.

【解析】(1)由频率分布直方图知，该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的频率为：，

所以，随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率为0.4.

(2)的可能值为0，1，2，3，依题意，，，

，，

，，

所以的分布列为：

期望.

(3)由频率分布直方图知，骑手每天送单的平均数为：，

因骑手每送1单可以提成3元，则骑手每天的收入的期望为（元）.

考点三 独立重复实验

【例3】（2022·湖北·黄冈中学三模）2022世界乒乓球团体锦标赛将于2022年9月30日至10月9日在成都举行．近年来，乒乓球运动已成为国内民众喜爱的运动之一．今有甲、乙两选手争夺乒乓球比赛冠军，比赛采用三局两胜制，即某选手率先获得两局胜利时比赛结束．根据以往经验， 甲、乙在一局比赛获胜的概率分别为、，且每局比赛相互独立．

(1)求甲获得乒兵球比赛冠军的概率；

(2)比赛开始前，工作人员买来两盒新球，分别为“装有2个白球与1个黄球”的白盒与“装有1个白球与2个黄球”的黄盒．每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，直接丢弃．裁判按照如下规则取球:每局取球的盒子颜色与上一局比赛用球的颜色一致，且第一局从白盒中取球．记甲、乙决出冠军后，两盒内白球剩余的总数为，求随机变量的分布列与数学期望．

【答案】(1)(2)分布列见解析，

【解析】(1)记事件:“甲在第局比赛中获胜”，，事件:“甲在第局比赛中末胜” .

.记事件“甲夺得冠军"，

则.

(2)设甲乙决出冠军共进行了局比赛，易知或.

则，故.

记表示第局从白盒中抽取的白色球，表示第局从黄盒中抽取的黄色球，

的所有可能取值为;

;

;

.

综上可得，的分布列如下:

数学期望为

【一隅三反】

1（2022·全国·模拟预测（理））甲和乙相约下围棋，已知甲开局时，甲获胜的概率为；乙开局时，乙获胜的概率为，并且每局下完，输者下一局开局.第1局由甲开局.

(1)如果两人连下3局，求甲至少胜2局的概率；

(2)如果每局胜者得1分，输者不得分，先得2分者获胜且比赛结束（无平局）.若两人最后的比分为，求.

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)甲至少胜2局，则第1到3局胜负情况有{乙胜,甲胜,甲胜}，{甲胜,乙胜,甲胜}，{甲胜,甲胜,乙胜}，{甲胜,甲胜,甲胜}

由第1局由甲开局，每局下完输者下一局开局，

所以甲至少胜2局的概率.

(2)由题意，可能值为0、1，

，，

所以.

2．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））灵活就业的岗位主要集中在近些年兴起的主播、自媒体、配音，还有电竞、电商这些新兴产业上．只要有网络、有电脑，随时随地都可以办公．这些岗位出现的背后都离不开互联网的加速发展和短视频时代的大背景．甲、乙两人同时竞聘某公司的主播岗位，采取三局两胜制进行比赛，假设甲每局比赛获胜的概率为，且每局比赛都分出了胜负．

(1)求比赛结束时乙获胜的概率；

(2)比赛结束时，记甲获胜的局数为随机变量X，求随机变量X的分布列．

【答案】(1)(2)答案见解析

【解析】(1)比赛结束时，乙获胜有三种情况：

①第一局甲胜，第二局乙胜，第三局乙胜，②第一局乙胜，第二局甲胜，第三局乙胜，③第一局，第二局2胜，

∴比赛结束时乙获胜的概率；

(2)由题意可得，X的所有可能取值为0，1，2，

，

，

．

∴X的分布列为

3．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））已知某射击运动员射中固定靶的概率为，射中移动靶的概率为，每次射中固定靶、移动靶分别得1分、2分，脱靶均得0分，每次射击的结果相互独立，该射击运动员进行3次打靶射击；向固定靶射击2次，向移动靶射击1次．

(1)求“该射击运动员没有射中移动靶且恰好射中固定靶1次”的概率；

(2)若该射击运动员的总得分为X，求X的分布列和数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析；期望为

【解析】（1）记“该射击运动员没有射中移动靶且恰好射中固定1次”为事件A，

则．

(2)

X的所有可能取值为0，1，2，3，4，

则，

，

，

，

，

所以X的分布列为：

所以X的数学期望．

考点四 正态分布

【例4-1】（2022·河南洛阳·模拟预测（理））已知随机变量，若，则（       ）

A．0.36 B．0.18 C．0.64 D．0.82

【答案】C

【解析】因为，所以，所以．故选:C．

【例4-2】（2022·湖北武汉·高三开学考试）为应对气候变化，我国计划在2030年前实现碳排放量到达峰值，2060年前实现“碳中和”.某市为了解本市企业碳排放情况，从本市320家年碳排放量超过2万吨的企业中随机抽取50家企业进行了调查，得到如下频数分布表，并将年碳排放量大于18万吨的企业确定为“超标”企业：

(1)假设该市这320家企业的年碳排放量大致服从正态分布，其中近似为样本平均值，近似为样本方差，经计算得，.试估计这320家企业中“超标”企业的家数；

(2)通过研究样本原始数据发现，抽取的50家企业中共有8家“超标”企业，市政府决定对这8家“超标”企业进行跟踪调查，现计划在这8家“超标”企业中任取5家先进行跟踪调查，设Y为抽到的年碳排放量至少为20.5万吨的企业家数，求Y的分布列与数学期望.

（参考数据：若X~，则，，.）

【答案】(1)51(2)分布列答案见解析，数学期望：

【解析】（1）由已知，得，，所以因为所以这320家企业中“超标”企业的家数约为51.

（2）由频数分布表可知，8家“超标”企业中碳排放量至少为20.5万吨的企业有4家，所以Y的可能取值为1，2，3，4，且所以Y的分布列为

所以

【一隅三反】

1．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学三模（理））已知随机变量服从正态分布，若，则（       ）

A．0.977 B．0.954 C．0.5 D．0.023

【答案】B

【解析】随机变量服从正态分布，

若，则依据正态曲线的性质有

故选：B

2（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））贵阳一中有2000人参加2022年第二次贵阳市模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在105分到120分（含105分和120分）之间的人数约为（       ）

A．300 B．400 C．600 D．800

【答案】C

【解析】由题意，随机变量，即，即正态分布曲线的对称轴为，因为，所以，

所以，

所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为，

故选:C．

3．（2022·广东北江实验学校模拟预测）教育部门最近出台了“双减”政策.即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担，持续规范校外培训（包括线上培训和线下培训）.“双减”政策的出合对校外的培训机构经济效益产生了严重影响.某大型校外培训机构为了规避风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2021年前200名报名学员的消费金额进行了统计整理，其中数据如表.

(1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用分层抽样的方法在消费金额为和的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的3人中消费金额为的人数的分布列和数学期望；

(2)以频率估计概率，假设该大型校外培训机构2021年所有学员的消费金额可视为服从正态分布，，分别为报名前200名学员消费的平均数x以及方差（同一区间的花费用区间的中点值替代）.

①试估计该机构学员2021年消费金额为的概率（保留一位小数）；

②若从该机构2021年所有学员中随机抽取4人，记消费金额为的人数为，求的方差.

参考数据：；若随机变量，则，，.

【答案】(1)X的分布列为：

；

(2)①．

②．

【解析】(1)由题意得，抽中的5人中消费金额为的人数为，

消费金额为的人数为，设消费金额为的人数为X，则，

所以，，，

所以X的分布列为：

；

(2)

①由题意得，

所以，

所以．

②由题意及①得，，，所以．

4．（2022·广西桂林·模拟预测（理））W企业D的产品p正常生产时，产品p尺寸服从正态分布，从当前生产线上随机抽取200件产品进行检测，产品尺寸汇总如下表．

根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在以外视为小概率事件．一旦小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在以内为正品，以外为次品．， ，．

(1)判断生产线是否正常工作，并说明理由；

(2)用频率表示概率，若再随机从生产线上取3件产品复检，正品检测费10元/件，次品检测费15元/件，记这3件产品检测费为随机变量，求的数学期望及方差．

【答案】(1)生产线没有正常工作；理由见解析

(2)数学期望是（元）；方差是

【解析】（1）依题意，有 ，所以正常产品尺寸范围为(78.5，81.5]．生产线正常工作，次品不能多于，而实际上，超出正常范围以外的零件数为10，故生产线没有正常工作．

（2）依题意尺寸在(78.5，81.5]以外的就是次品，故次品率为．记这3件产品中次品件数为，则服从二项分布，，则， ，所以的数学期望是（元），方差是．

5．（2022·安徽省舒城中学三模（理））某高中组织了1000名学生参加线上新冠肺炎防控知识竞答活动，现从参与答题的男生、女生中分别随机抽取20名学生的得分情况（满分100分）．得到如下统计图：

(1)若从这40名成绩位于的学生中随机抽取2人，记成绩在的人数为X，求X最有可能的取值；

(2)若此次知识竞答全校学生的成绩Y近似服从正态分布．若学校要对成绩不低于95分的学生进行表彰，请估计获得表彰的学生人数．

附：若随机变量，则，

，．

【答案】(1)1(2)23人

【解析】(1)40人中，成绩位于中有5人，位于有10人，

可能的值分别为0，1，2．

对应事件的概率为；

对应事件的概率为；

对应事件的概率为；

由于最大，故最可能值为1；

(2)

，

获得表彰的学生人数约为人；

综上，X最可能的值为1，获得表彰的人数约为23人.