统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练6函数的奇偶性与周期性理

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练6函数的奇偶性与周期性理，共6页。


[基础强化]
一、选择题
1．设函数f(x)＝ eq \f(1－x,1＋x)，则下列函数中为奇函数的是( )
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
2．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．f(x)|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|g(x)是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg2x，则f(－8)＝( )
A.3 B． eq \f(1,3)
C．－ eq \f(1,3) D．－3
4．[2023·安徽省高三质检] 已知定义域为R的偶函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，f( eq \f(1,2))＝1，则f(－ eq \f(3,2))＝( )
A．－ eq \f(3,2) B．－1
C．1 D． eq \f(3,2)
5．[2023·江西省高三联考]设函数f(x)＝ln eq \f(2,x)，则下列函数中为奇函数的是( )
A．f(x＋1)－f(1－x)
B．f(x－1)＋f(x＋1)
C．f(x＋1)＋1
D．f(x－1)－1
6．[2023·全国乙卷(理)]已知f(x)＝ eq \f(xex,eax－1)是偶函数，则a＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
7．[2023·东北三省三校联考]定义域为R的奇函数f(x)满足f(x)＝f(－x＋2)，则f(2 022)＝( )
A．0 B．－1
C．1 D．不确定
8．[2023·安徽淮南二模] 对任意的x∈R，函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝4.若函数g(x)＝f(x)＋ eq \f(sin x,sin2x＋1)在区间[－2022，2 022]上既有最大值又有最小值，则函数g(x)的最大值与最小值之和为( )
A．0 B．2
C．4 D．8
9．[2023·河南省高三三模]已知f(x－1)为定义在R上的奇函数，f(1)＝0，且f(x)在[－1，0)上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减，则不等式f(2x－5)<0的解集为( )
A．(2，lg26)
B．(－∞，1)∪(2，lg26)
C．(lg26，＋∞)
D．(1，2)∪(lg26，＋∞)
二、填空题
10．[2023·四川省成都二诊]函数f(x)是定义在R上的奇函数，当－111．[2023·全国甲卷(理)]若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin (x＋ eq \f(π,2))为偶函数，则a＝________．
12．[2023·贵州省适应性考试]已知定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＝－f(x)，且当x> eq \f(1,2)时，f(x)＝x＋ eq \f(1,x)＋m，若f(x)的值域为R，则实数m的取值范围为________．
[能力提升]
13．[2022·全国乙卷(理)，12]已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图像关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则f(k)＝( )
A．－21 B．－22
C．－23 D．－24
14．[2023·江西省临川高三模拟]已知定义在R上的函数y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)，函数y＝f(x＋1)为偶函数，且当x∈[0，1]时，f(x)＝lg2(x＋a)，则f(2 022)＋f(2 023)＝( )
A．－1 B．1
C．504 D．无法确定
15．[2023·贵州省高三适应性测试] 函数y＝f(x)(x∈R)的图像关于点(0，0)与点(1，0)对称．当x∈(－1，0]时，f(x)＝－x2，则f( eq \f(3,2))＝( )
A．－ eq \f(1,4) B．－ eq \f(1,2)
C．－ eq \f(3,4) D．－ eq \f(9,4)
16．[2023·陕西省西安中学高三三模]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝sin πx，且满足当x>1时，f(x)＝2f(x－2)，若对任意x∈[－m，m]，f(x)≤2 eq \r(3)成立，则m的最大值为( )
A． eq \f(23,6) B． eq \f(10,3)
C． eq \f(25,6) D． eq \f(13,3)
专练6 函数的奇偶性与周期性
1．B 通解 因为f(x)＝ eq \f(1－x,1＋x)，所以f(x－1)＝ eq \f(1－（x－1）,1＋（x－1）)＝ eq \f(2－x,x)，f(x＋1)＝ eq \f(1－（x＋1）,1＋（x＋1）)＝ eq \f(－x,x＋2).
对于A，F(x)＝f(x－1)－1＝ eq \f(2－x,x)－1＝ eq \f(2－2x,x)，定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)；
对于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝ eq \f(2－x,x)＋1＝ eq \f(2,x)，定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)；
对于C，f(x＋1)－1＝ eq \f(－x,x＋2)－1＝ eq \f(－x－x－2,x＋2)＝－ eq \f(2x＋2,x＋2)，定义域不关于原点对称；
对于D，f(x＋1)＋1＝ eq \f(－x,x＋2)＋1＝ eq \f(－x＋x＋2,x＋2)＝ eq \f(2,x＋2)，定义域不关于原点对称．
故选B.
光速解 f(x)＝ eq \f(1－x,1＋x)＝ eq \f(2－（x＋1）,1＋x)＝ eq \f(2,1＋x)－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图像向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图像对应的函数为y＝f(x－1)＋1，故选B.
2．B
3．D ∵f(x)为奇函数，∴f(－8)＝－f(8)＝－lg28＝－3.
4．C 因为函数f(x)是定义域为R的偶函数，
所以f(x)＝f(－x)，
又因为f(1＋x)＝f(1－x)，
所以f(2－x)＝f(x)，
则f(2－x)＝f(－x)，即f(2＋x)＝f(x)，
所以周期为T＝2，
因为f( eq \f(1,2))＝1，f(－ eq \f(3,2))＝f(2－ eq \f(3,2))＝f( eq \f(1,2))＝1.
5．A 由题进行化简：f(x)＝ln eq \f(2,x)＝ln 2－ln x，
令g(x)＝f(1＋x)－f(1－x)＝ln 2－ln (1＋x)－ln 2＋ln (1－x)＝ln (1－x)－ln (1＋x)，
g(－x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)＝－g(x)，符合定义，故A正确；令g(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)＝ln 2－ln (1－x)＋ln 2－ln (1＋x)＝2ln 2－ln (1－x)－ln (1＋x)，
g(－x)＝2ln 2－ln (1＋x)－ln (1－x)≠－g(x)，故B错误；令g(x)＝f(x＋1)＋1＝ln 2－ln (x＋1)＋1，g(－x)＝ln 2－ln (－x＋1)＋1≠－g(x)，故C错误；令g(x)＝f(x－1)－1＝ln 2－ln (x－1)－1，g(－x)＝ln 2－ln (－x－1)－1≠－g(x)，故D错误．
6．D 方法一 f(x)的定义域为{x|x≠0}，因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即 eq \f(xex,eax－1)＝ eq \f(－xe－x,e－ax－1)，即e(1－a)x－ex＝－e(a－1)x＋e－x，即e(1－a)x＋e(a－1)x＝ex＋e－x，所以a－1＝±1，解得a＝0(舍去)或a＝2，故选D.
方法二 f(x)＝ eq \f(xex,eax－1)＝ eq \f(x,e（a－1）x－e－x)，f(x)是偶函数，又y＝x是奇函数，所以y＝e(a－1)x－e－x是奇函数，故a－1＝1，即a＝2，故选D.
7．A 因为函数f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以由f(x)＝f(－x＋2)⇒f(－x)＝f(x＋2)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝－f(x＋2)⇒f(x)＝f(x＋4)，所以该函数的周期为4，
所以f(2 022)＝f(505×4＋2)＝f(2)＝f(－2＋2)＝f(0)＝0.
8．C 依题意对任意的x∈R，函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝4，f(x)－2＋f(－x)－2＝0，所以函数F(x)＝f(x)－2为奇函数，
g(x)＝f(x)＋ eq \f(sin x,sin2x＋1)，
令G(x)＝g(x)－2＝f(x)－2＋ eq \f(sinx,sin2x＋1)＝F(x)＋ eq \f(sinx,sin2x＋1)(x∈R)，
G(－x)＝F(－x)＋ eq \f(－sinx,sin2x＋1)＝－F(x)＋ eq \f(－sinx,sin2x＋1)＝－G(x)，
所以G(x)为奇函数，
所以G(x)在区间[－2022，2 022]上的最大值与最小值之和为0，
所以g(x)＝G(x)＋2，所以函数g(x)的最大值与最小值之和4.
9．D 因为f(x－1)为定义在R上的奇函数，所以f(x)的图像关于点(－1，0)对称，
且f(－1)＝0，又f(1)＝0，所以f(－3)＝0.
依题意可得，当－31时，f(x)<0.
所以f(2x－5)<0等价于－3<2x－5<－1或2x－5>1，
解得1lg26.
10．－ eq \f(1,2)
解析：因为lg32∈(0，1)，所以－lg32∈(－1，0)，
由f(x)为奇函数得f(lg32)＝－f(－lg32)
＝－f(lg3 eq \f(1,2))＝＝－ eq \f(1,2).
11．2
解析：方法一 因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(－x－1)2－ax＋sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x＋\f(π,2)))＝(x－1)2＋ax＋sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))，得a＝2.
方法二 因为f(x)为偶函数，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－1)) eq \s\up12(2)－ eq \f(π,2)a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－1)) eq \s\up12(2)＋ eq \f(π,2)a，得a＝2.
12．(－∞，－2]
解析：当x> eq \f(1,2)时，f(x)＝x＋ eq \f(1,x)＋m≥2 eq \r(x·\f(1,x))＋m，当且仅当x＝ eq \f(1,x)，即x＝1时等号成立，
故当x> eq \f(1,2)时，f(x)∈[2＋m，＋∞)，又由f(1－x)＝－f(x)可得f(x)关于( eq \f(1,2)，0)对称，且由f(1－ eq \f(1,2))＝－f( eq \f(1,2))可得f( eq \f(1,2))＝0，
故[2＋m，＋∞)只需包含区间(0＋∞)即可，故2＋m≤0，
故m∈(－∞，－2].
13．D 若y＝g(x)的图像关于直线x＝2对称，则g(2－x)＝g(2＋x).因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(－x)＋g(2＋x)＝5，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．由g(2)＝4，f(0)＋g(2)＝5，得f(0)＝1.由g(x)－f(x－4)＝7，得g(2－x)＝f(－x－2)＋7，代入f(x)＋g(2－x)＝5，得f(x)＋f(－x－2)＝－2，所以f(x)的图像关于点(－1，－1)中心对称，所以f(1)＝f(－1)＝－1.由f(x)＋f(－x－2)＝－2，f(－x)＝f(x)，得f(x)＋f(x＋2)＝－2，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2，所以f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)为周期函数，且周期为4.由f(0)＋f(2)＝－2，得f(2)＝－3.又因为f(3)＝f(－1)＝f(1)＝－1，所以f(4)＝－2－f(2)＝1，所以f(k)＝6f(1)＋6f(2)＋5f(3)＋5f(4)＝6×(－1)＋6×(－3)＋5×(－1)＋5×1＝－24.故选D.
14．A 因为函数y＝f(x)的定义域为R，且f(－x)＝－f(x)，
所以函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝lg2a＝0，解得a＝1，
即f(x)＝lg2(x＋1)，f(1)＝lg22＝1；
因为y＝f(x＋1)为偶函数，
所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，
即y＝f(x)的图像关于x＝1对称，
又y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)，
所以f(x＋1)＝－f(x－1)，
则f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
即函数y＝f(x)是周期函数，周期为4，
则f(2 022)＋f(2 023)＝f(2)＋f(3)＝－f(0)－f(1)＝－1.
15．A 因为y＝f(x)图像关于点(0，0)与点(1，0)对称，所以f(－x)＋f(x)＝0，且f(2－x)＋f(x)＝0，所以f(2－x)＝f(－x)，即f(x)＝f(x＋2)，所以f(x)是以2为周期的周期函数，当x∈(－1，0]时，f(x)＝－x2，所以f( eq \f(3,2))＝f(－ eq \f(1,2)＋2)＝f(－ eq \f(1,2))＝－(－ eq \f(1,2))2＝－ eq \f(1,4).
16．B 由题意，函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝sin πx，
当x∈[－1，0)时，f(x)＝－f(－x)＝－sin (－πx)＝sin πx，即f(x)＝sin πx，x∈[－1，1]，又由当x>1时，f(x)＝2f(x－2)，可画出函数图像，如图所示．
由图知，当3≤x≤5时，f(x)＝4f(x－4)＝4sin (πx－4π)＝4sin πx；
则当－5≤x≤－3时，f(x)＝－f(－x)＝4sin πx；
当－5≤x≤－3时，令4sin πx＝2 eq \r(3)，
解得x1＝－ eq \f(10,3)，x2＝－ eq \f(11,3)(舍去)，
若对任意x∈[－m，m]，f(x)≤2 eq \r(3)成立，所以m的最大值为 eq \f(10,3).