统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练8指数与指数函数理

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练8指数与指数函数理，共5页。


[基础强化]
一、选择题
1．函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有( )
A．a＝1或a＝2 B．a＝1
C．a＝2 D．a>0且a≠1
2．已知函数g(x)＝3x＋t的图像不经过第二象限，则t的取值范围为( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)
C．(－∞，－3] D．[－3，＋∞)
3．若a2x＝ eq \r(2)－1，则 eq \f(a3x＋a－3x,ax＋a－x)等于( )
A．2 eq \r(2)－1 B．2－2 eq \r(2)
C．2 eq \r(2)＋1 D． eq \r(2)＋1
4．函数y＝ax(a>0且a≠1)在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a＝( )
A． eq \f(1,2)B．2
C．4 D． eq \f(1,4)
5．函数f(x)＝ax－b的图像如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．06．[2023·江西省景德镇市质检]设a＝lg52，eb＝ eq \f(1,2)，c＝ eq \f(ln 3,2)，则( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>b>c D．a>c>b
7．[2023·江西省高三二模]已知a＝lg0.62，b＝sin 1，c＝20.6，则a，b，c的大小关系为( )
A．cC．a8．函数f(x)＝的单调减区间为( )
A．(1，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－1，1)
9．Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：I(t)＝ eq \f(K,1＋e－0.23（t－53）)，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)( )
A．60 B．63
C．66 D．69
二、填空题
10．(－ eq \f(27,8))－ eq \f(2,3)＋(0.002)－ eq \f(1,2)－10( eq \r(5)－2)－1＋( eq \r(2)－ eq \r(3))0的值为________.
11．[2023·福建省高三质检]某地在20年间经济高质量增长，GDP的值P(单位，亿元)与时间t(单位：年)之间的关系为P(t)＝P0(1＋10%)t，其中P0为t＝0时的P值．假定P0＝2，那么在t＝10时，GDP增长的速度大约是________．(单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年)注：1.110≈2.59，当x取很小的正数时，ln (1＋x)≈x.
12．[2023·广东省高三三模]已知函数f(x)＝2x＋a·2－x的图像关于原点对称，若f(2x－1)> eq \f(3,2)，则x的取值范围为________．
[能力提升]
13．[2023·广东省惠州市一模] 已知f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ex－4，x≤4,（x－16）2－143，x>4))，则当x≥0时，f(2x)与f(x2)大小关系是( )
A．f(2x)≤f(x2)
B．f(2x)≥f(x2)
C．f(2x)＝f(x2)
D．不确定
14．[2023·海南省诊断性测试]设a＝2e－0.2，b＝e0.2，c＝1.2，则( )
A．aC．b15．已知常数a>0，函数f(x)＝ eq \f(2x,2x＋ax)的图像经过点P(p， eq \f(6,5))、Q(q，－ eq \f(1,5)).若2p＋q＝36pq，则a＝________.
16．已知函数y＝4x＋m·2x－2在区间[－2，2]上单调递增，则m的取值范围是________．
专练8 指数与指数函数
1．C 由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－3a＋3＝1，,a>0，,a≠1，))得a＝2.
2．A 若函数g(x)＝3x＋t的图像不经过第二象限，则当x＝0时，g(x)≤0，即30＋t≤0，解得t≤－1.故选A.
3．A eq \f(a3x＋a－3x,ax＋a－x)＝a2x＋a－2x－1＝ eq \r(2)－1＋ eq \f(1,\r(2)－1)－1＝ eq \r(2)－1＋ eq \r(2)＋1－1＝2 eq \r(2)－1.
4．B ∵y＝ax在[0，1]上单调，∴a0＋a1＝3，得a＝2.
5．D 由f(x)＝ax－b的图像知00，∴b<0.
6．A a＝lg52＝ eq \f(1,2)lg54，而0由eb＝ eq \f(1,2)，得b＝ln eq \f(1,2)c＝ eq \f(ln 3,2)，而ln 3>ln e＝1，即c> eq \f(1,2)；所以c>a>b.
7．D 因为a＝lg0.6220＝1，所以a8．C 由复合函数的单调性可知，函数f(x)的单调减区间为(－∞，0).
9．C I(t*)＝＝0.95K，整理可得e0.23(t*－53)＝19，两边取自然对数得＝ln 19≈3，解得t*≈66，故选C.
10．－ eq \f(167,9)
解析：原式＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(27,8))) eq \s\up12(－\f(2,3))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,500))) eq \s\up12(－\f(1,2))－ eq \f(10,\r(5)－2)＋1
＝
＝ eq \f(4,9)＋10 eq \r(5)－10 eq \r(5)－20＋1＝－ eq \f(167,9).
11．0.52
解析：由题可知P(t)＝2(1＋10%)t＝2×1.1t，
所以P′(t)＝2×1.1t ln 1.1，
所以P′(10)＝2×1.110ln 1.1≈2×2.59×0.1＝0.518≈0.52，
即GDP增长的速度大约是0.52.
12．x>1
解析：定义在R上的函数f(x)＝2x＋a·2－x的图像关于原点对称，
则f(0)＝20＋a·20＝0，解之得a＝－1，经检验符合题意，
y＝2x、y＝－2－x均为R上增函数，则f(x)＝2x－2－x为R上的增函数，
又f(1)＝21－2－1＝ eq \f(3,2)，
则不等式f(2x－1)> eq \f(3,2)等价于2x－1>1，解之得x>1.
13．B 由函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ex－4，x≤4,（x－16）2－143，x>4))，
得函数f(x)在(－∞，4)上递增，在(4，16)上递减，在(16，＋∞)上递增，
作出函数y＝2x和y＝x2的图像，如图所示，
令2x＝x2，得x＝2或4，
结合图像可知，当0≤x<2时，4>2x>x2≥0，则f(2x)>f(x2)，
当2≤x≤4时，4≤2x≤x2≤16，则f(2x)≥f(x2)，
当x>4时，2x>x2>16，则f(2x)>f(x2)，
综上所述，当x≥0时，f(2x)≥f(x2).
14．D 设f(x)＝ex－x－1，可得f′(x)＝ex－1，
令f′(x)＝0，解得x＝0，
当x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)>f(0)＝0，即ex>x＋1，
则a＝2e－0.2>2×(－0.2＋1)＝1.6，
b＝e0.2>0.2＋1＝1.2，所以c＝1.2最小，
又由 eq \f(b,a)＝ eq \f(e0.2,2e－0.2)＝ eq \f(e0.4,2)，因为e0.4所以 eq \f(b,a)＝ eq \f(e0.4,2)<1，所以b综上可得c15．6
解析：由题意得f(p)＝ eq \f(6,5)，f(q)＝－ eq \f(1,5)，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2p,2p＋ap)＝\f(6,5)，①,\f(2q,2q＋aq)＝－\f(1,5)，②))
①＋②，
得 eq \f(2p（2q＋aq）＋2q（2p＋ap）,（2p＋ap）（2q＋aq）)＝1，
整理得2p＋q＝a2pq，又2p＋q＝36pq，
∴36pq＝a2pq，又pq≠0，
∴a2＝36，∴a＝6或a＝－6，又a>0，得a＝6.
16. eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞))
解析：设t＝2x，则y＝4x＋m·2x－2＝t2＋mt－2.
因为x∈[－2，2]，所以t∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，4)).
又函数y＝4x＋m·2x－2在区间[－2，2]上单调递增，
即y＝t2＋mt－2在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，4))上单调递增，
故有－ eq \f(m,2)≤ eq \f(1,4)，解得m≥－ eq \f(1,2).
所以m的取值范围为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)).