统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练18同角三角函数的基本关系及诱导公式理

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练18同角三角函数的基本关系及诱导公式理，共5页。


[基础强化]
一、选择题
1．sin eq \f(25,6)π＝( )
A．－ eq \f(\r(3),2) B．－ eq \f(1,2)
C． eq \f(1,2) D． eq \f(\r(3),2)
2．[2023·辽宁二模]若 eq \f(sin （π－θ）＋cs （θ－2π）,sin θ＋cs （π＋θ）)＝ eq \f(1,2)，则tan θ＝( )
A． eq \f(1,3)B．－ eq \f(1,3)
C．－3 D．3
3．若α∈( eq \f(π,2)， eq \f(3π,2))，tan (α－7π)＝ eq \f(3,4)，则sin α＋cs α＝( )
A．± eq \f(1,5) B．－ eq \f(1,5)
C． eq \f(1,5)D．－ eq \f(7,5)
4．已知2sin α－cs α＝0，则sin2α－2sinαcs α的值为( )
A．－ eq \f(3,5) B．－ eq \f(12,5)
C． eq \f(3,5) D． eq \f(12,5)
5．[2021·新高考全国Ⅰ]若tan θ＝－2，则 eq \f(sin θ（1＋sin 2θ）,sin θ＋cs θ)等于( )
A.－ eq \f(6,5) B．－ eq \f(2,5)
C． eq \f(2,5) D． eq \f(6,5)
6．已知sin α－cs α＝ eq \f(4,3)，则sin 2α＝( )
A．－ eq \f(7,9) B．－ eq \f(2,9)
C． eq \f(2,9) D． eq \f(7,9)
7．在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边经过点P(3，4)，则sin (α－ eq \f(2 017π,2))＝( )
A．－ eq \f(4,5) B．－ eq \f(3,5)
C． eq \f(3,5) D． eq \f(4,5)
8．[2023·江西省八所中学联考]魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率π约为 eq \f(355,113)，是当时世界上最精确的圆周率结果，直到近千年后这一记录才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4cs 38°，则 eq \f(π\r(16－π2),1－2sin27°)的值为( )
A． eq \f(1,8) B．－ eq \f(1,8)
C．8 D．－8
9．已知x∈(0，π)，且cs(2x－ eq \f(π,2))＝sin2x，则tan(x－ eq \f(π,4))＝( )
A. eq \f(1,3) B．－ eq \f(1,3)
C．3 D．－3
二、填空题
10．[2023·安徽省蚌埠市质检] 已知角θ的终边过点A(4，a)，且sin (θ－π)＝ eq \f(3,5)，则tan θ＝________．
11．[2023·河南省六市三模] 设α为锐角，若cs (α＋ eq \f(π,6))＝ eq \f(4,5)，则sin (2α＋ eq \f(π,12))的值为________．
12．[2023·陕西省西安三模]已知sin 2α＝ eq \f(1,4)，且 eq \f(π,3)<α< eq \f(2π,3)，则cs α－sin α＝________．
[能力提升]
13．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cs 2α＝ eq \f(2,3)，则|a－b|＝( )
A． eq \f(1,5) B． eq \f(\r(5),5)
C． eq \f(2\r(5),5) D．1
14．[2023·江西省临川模拟]已知cs (θ－ eq \f(π,12))＝ eq \f(\r(3),3)，则sin (2θ＋ eq \f(π,3))＝( )
A．－ eq \f(2,9) B．－ eq \f(1,3)
C． eq \f(2,9)D． eq \f(1,3)
15．已知α为锐角，且2tan (π－α)－3cs ( eq \f(π,2)＋β)＋5＝0，tan (π＋α)＋6sin (π＋β)＝1，则sin β的值为________．
16．设A，B，C为△ABC的三个内角，则下列关系式中恒成立的是________(填写序号).
①cs (A＋B)＝cs C；
②cs eq \f(B＋C,2)＝sin eq \f(A,2)；
③sin (2A＋B＋C)＝－sin A.
专练18 同角三角函数的基本关系及诱导公式
1．C sin eq \f(25,6)π＝sin (4π＋ eq \f(π,6))＝sin eq \f(π,6)＝ eq \f(1,2).
2．C eq \f(sin （π－θ）＋cs （θ－2π）,sin θ＋cs （π＋θ）)＝ eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝ eq \f(1,2)，
分子分母同除以cs θ，
eq \f(tan θ＋1,tan θ－1)＝ eq \f(1,2)，
解得：tan θ＝－3.
3．D tan (α－7π)＝tan α＝ eq \f(3,4)>0，又α∈( eq \f(π,2)， eq \f(3,2)π)，
∴α∈(π， eq \f(3,2)π)，∴sin α＝－ eq \f(3,5)，cs α＝－ eq \f(4,5)，
∴sin α＋cs α＝－ eq \f(7,5).
4．A 2sin α－cs α＝0，∴tan α＝ eq \f(1,2)，∴sin2α－2sinαcs α＝ eq \f(sin2α－2sinαcs α,sin2α＋cs2α)＝ eq \f(tan2α－2tanα,1＋tan2α)＝ eq \f(\f(1,4)－1,1＋\f(1,4))＝－ eq \f(3,5).
5．C 解法一 因为tanθ＝－2，
所以角θ的终边在第二或第四象限，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(2,\r(5))，,cs θ＝－\f(1,\r(5))))或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin θ＝－\f(2,\r(5))，,cs θ＝\f(1,\r(5))，))
所以 eq \f(sin θ（1＋sin 2θ）,sin θ＋cs θ)＝ eq \f(sin θ（sin θ＋cs θ）2,sin θ＋cs θ)
＝sin θ(sin θ＋cs θ)＝sin2θ＋sinθcs θ
＝ eq \f(4,5)－ eq \f(2,5)＝ eq \f(2,5).
解法二 (弦化切法)因为tan θ＝－2，
所以 eq \f(sin θ（1＋sin 2θ）,sin θ＋cs θ)＝ eq \f(sin θ（sin θ＋cs θ）2,sin θ＋cs θ)
＝sin θ(sin θ＋cs θ)＝ eq \f(sin2θ＋sinθcs θ,sin2θ＋cs2θ)
＝ eq \f(tan2θ＋tanθ,1＋tan2θ)＝ eq \f(4－2,1＋4)＝ eq \f(2,5).
6．A 由sinα－cs α＝ eq \f(4,3)，得1－2sin αcs α＝ eq \f(16,9)，
∴2sin αcs α＝1－ eq \f(16,9)＝－ eq \f(7,9)，即sin 2α＝－ eq \f(7,9).
7．B 由题可知α为第一象限角，∴cs α＝ eq \f(3,5)，sin (α－ eq \f(2 017,2)π)＝sin (α－ eq \f(π,2))＝－cs α＝－ eq \f(3,5).
8．C 因为π≈4cs 38°，
所以 eq \f(π\r(16－π2),1－2sin27°)＝ eq \f(4cs38°\r(16－16cs238°),1－2sin27°)，
＝ eq \f(16cs38°sin 38°,cs 14°)＝ eq \f(8sin 76°,cs 14°)＝ eq \f(8cs 14°,cs 14°)＝8.
9．A ∵cs (2x－ eq \f(π,2))＝sin 2x＝2sin x cs x＝sin2x，
∴tanx＝2，
∴tan (x－ eq \f(π,4))＝ eq \f(tan x－tan \f(π,4),1＋tan x tan \f(π,4))＝ eq \f(2－1,1＋2)＝ eq \f(1,3).
10．－ eq \f(3,4)
解析：sin (θ－π)＝－sin θ＝ eq \f(3,5)，sin θ＝－ eq \f(3,5)<0，
由于角θ的终边过点A(4，a)，所以θ在第四象限，
所以cs θ＝ eq \r(1－sin 2θ)＝ eq \f(4,5)，
所以tan θ＝ eq \f(sin θ,cs θ)＝－ eq \f(3,4).
11. eq \f(17\r(2),50)
解析：α为锐角， eq \f(π,6)<α＋ eq \f(π,6)< eq \f(2π,3)， sin (α＋ eq \f(π,6))＝ eq \r(1－cs2（α＋\f(π,6)）)＝ eq \f(3,5).
sin(2α＋ eq \f(π,12))＝sin (2α＋ eq \f(π,3)－ eq \f(π,4))
＝ eq \f(\r(2),2)sin (2α＋ eq \f(π,3))－ eq \f(\r(2),2)cs (2α＋ eq \f(π,3))
＝ eq \f(\r(2),2)×2sin (α＋ eq \f(π,6))cs (α＋ eq \f(π,6))－ eq \f(\r(2),2)[2cs 2(α＋ eq \f(π,6))－1]
＝ eq \r(2)× eq \f(3,5)× eq \f(4,5)－ eq \f(\r(2),2)[2×( eq \f(4,5))2－1]＝ eq \f(12\r(2),25)－ eq \f(7\r(2),50)＝ eq \f(17\r(2),50).
12．－ eq \f(\r(3),2)
解析：因为 eq \f(π,3)<α< eq \f(2π,3)，所以sin α>cs α，
因此有cs α－sin α＝－ eq \r(（cs α－sin α）2)
＝－ eq \r(cs2α＋sin2α－2csαsin α)＝－ eq \r(1－sin 2α)，
把sin 2α＝ eq \f(1,4)代入，得cs α－sin α＝－ eq \r(1－\f(1,4))＝－ eq \f(\r(3),2).
13．B 由题意得tan α＝ eq \f(b－a,2－1)＝b－a，
又cs 2α＝cs2α－sin2α＝ eq \f(cs2α－sin2α,cs2α＋sin2α)＝ eq \f(1－（b－a）2,1＋（b－a）2)＝ eq \f(2,3)，得|b－a|＝ eq \f(\r(5),5).
14．B 由题，因为2θ＋ eq \f(π,3)＝2(θ－ eq \f(π,12))＋ eq \f(π,2)，
所以sin(2θ＋ eq \f(π,3))＝sin [2(θ－ eq \f(π,12))＋ eq \f(π,2)]
＝cs 2(θ－ eq \f(π,12))＝2cs2(θ－ eq \f(π,12))－1＝2×( eq \f(\r(3),3))2－1＝－ eq \f(1,3).
15. eq \f(1,3)
解析：2tan(π－α)－3cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))＋5＝0化为－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan (π＋α)＋6sin (π＋β)＝1化为tan α－6sin β＝1，因而sin β＝ eq \f(1,3).
16．②③
解析：由题意得A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，
∴cs (A＋B)＝cs (π－C)＝－cs C，故①不正确；
由于 eq \f(B＋C,2)＝ eq \f(π,2)－ eq \f(A,2)，∴cs eq \f(B＋C,2)＝cs ( eq \f(π,2)－ eq \f(A,2))＝sin eq \f(A,2)，故②正确；由于A＋B＋C＝π，∴2A＋B＋C＝π＋A，∴sin (2A＋B＋C)＝sin (π＋A)＝－sin A，故③正确．