统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练19三角函数的图像与性质理

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练19三角函数的图像与性质理，共6页。


[基础强化]
一、选择题
1．[2023·安徽省蚌埠市质检] 已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜ eq \f(π,2))的图像如图所示，则ω的值为( )
A．2 B．1
C． eq \f(1,2) D． eq \f(1,4)
2．[2021·全国乙卷]函数f(x)＝sin eq \f(x,3)＋cs eq \f(x,3)最小正周期和最大值分别是( )
A．3π和 eq \r(2) B．3π和2
C．6π和 eq \r(2) D．6π和2
3．已知函数f(x)＝2a cs (2x－ eq \f(π,3))(a≠0)的定义域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，最小值为－2，则a的值为( )
A．1 B．－1
C．－1或2 D．1或2
4．下列函数中最小正周期为π且图像关于直线x＝ eq \f(π,3)对称的是( )
A.y＝2sin (2x＋ eq \f(π,3))
B．y＝2sin (2x－ eq \f(π,6))
C．y＝2sin ( eq \f(x,2)＋ eq \f(π,3))
D．y＝2sin ( eq \f(x,2)－ eq \f(π,3))
5．设函数f(x)＝cs (ωx＋ eq \f(π,6))在[－π，π]的图像大致如图，则f(x)的最小正周期为( )
A． eq \f(10π,9) B． eq \f(7π,6)
C． eq \f(4π,3)D． eq \f(3π,2)
6．函数f(x)＝ eq \f(tan x,1＋tan2x)的最小正周期为( )
A． eq \f(π,4) B． eq \f(π,2)
C．π D．2π
7．已知函数f(x)＝sinx＋a cs x(a∈R)满足f(0)＝f( eq \f(π,2))，则函数g(x)＝( eq \r(3)－1)sin x＋f(x)的图像的一条对称轴方程是( )
A．x＝ eq \f(2π,3)B．x＝ eq \f(π,4)
C．x＝－ eq \f(π,3) D．x＝－ eq \f(2π,3)
8．2023年春节期间，G市某天从8～16时的温度变化曲线(如图)近似满足函数f(x)＝2 eq \r(2)cs (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π，x∈[8，16])的图像．下列说法正确的是( )
A．8～13时这段时间温度逐渐升高
B．8～16时最大温差不超过5 ℃
C．8～16时0 ℃以下的时长恰为3小时
D．16时温度为－2 ℃
9．[2023·全国乙卷(理)]已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)在区间( eq \f(π,6)， eq \f(2π,3))单调递增，直线x＝ eq \f(π,6)和x＝ eq \f(2π,3)为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f(－ eq \f(5π,12))＝( )
A．－ eq \f(\r(3),2) B．－ eq \f(1,2)
C． eq \f(1,2) D． eq \f(\r(3),2)
二、填空题
10．函数f(x)＝2cs x＋sin x的最大值为________．
11．设函数f(x)＝cs (ωx－ eq \f(π,6))(ω>0)，若f(x)≤f( eq \f(π,4))对于任意的实数x都成立，则ω的最小值为________.
12．[2021·全国甲卷]已知函数f(x)＝2cs (ωx＋φ)的部分图像如图所示，则满足条件(f(x)－f(－ eq \f(7π,4)))(f(x)－f( eq \f(4π,3)))>0的最小正整数x为________．
[能力提升]
13．[2023·山西省高三模拟]已知函数f(x)＝sin (ωx＋ eq \f(π,3))(ω>0)在[0，π]上恰有3个零点，则ω的取值范围是( )
A．[ eq \f(5,3)， eq \f(8,3)) B．[ eq \f(5,3)， eq \f(8,3)]
C．[ eq \f(8,3)， eq \f(11,3)] D．[ eq \f(8,3)， eq \f(11,3))
14．[2023·江西省赣州市一模]已知函数f(x)＝sin (ωx－ eq \f(π,4))(ω>0)在区间(0，π)上有且仅有2个不同的零点，给出下列三个结论：
①f(x)在区间[0，π]上有且仅有2条对称轴；
②f(x)在区间(0， eq \f(π,3))上单调递增；
③ω的取值范围是( eq \f(5,4)， eq \f(9,4)].
其中正确的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
15．[2023·广西桂林模拟]设函数y＝sin eq \f(πx,3)在[t，t＋1]上的最大值为M(t)，最小值为N(t)，则M(t)－N(t)在 eq \f(3,2)≤t≤ eq \f(7,2)上最大值为________．
16．[2022·全国乙卷(理)，15] 记函数f(x)＝cs (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T，若f(T)＝ eq \f(\r(3),2)，x＝ eq \f(π,9)为f(x)的零点，则ω的最小值为________．
专练19 三角函数的图像与性质
1．C 由图像可知，函数的半周期是2π，所以 eq \f(π,ω)＝2π，
得ω＝ eq \f(1,2).
2．C 因为函数f(x)＝sin eq \f(x,3)＋cs eq \f(x,3)
＝ eq \r(2)( eq \f(\r(2),2)sin eq \f(x,3)＋ eq \f(\r(2),2)cs eq \f(x,3))
＝ eq \r(2)(sin eq \f(x,3)cs eq \f(π,4)＋cs eq \f(x,3)sin eq \f(π,4))
＝ eq \r(2)sin ( eq \f(x,3)＋ eq \f(π,4))，
所以函数f(x)的最小正周期T＝ eq \f(2π,\f(1,3))＝6π，最大值为 eq \r(2).
3．C ∵0≤x≤ eq \f(π,2)，∴－ eq \f(π,3)≤2x－ eq \f(π,3)≤ eq \f(2,3)π.
∴－ eq \f(1,2)≤cs (2x－ eq \f(π,3))≤1，又f(x)的最小值为－2，
当a＞0时，f(x)min＝－a＝－2，∴a＝2.
当a＜0时，f(x)min＝2a，∴a＝－1.
4．B 最小正周期为π的只有A、B，又当2sin (2× eq \f(π,3)－ eq \f(π,6))＝2取得最大值，故y＝2sin (2x－ eq \f(π,6))的图像关于直线x＝ eq \f(π,3)对称．
5．C 解法一：设函数f(x)的最小正周期为T，由题图可得T<π－(－ eq \f(4π,9))且 eq \f(T,2)>(－ eq \f(4π,9))－(－π)，所以 eq \f(10π,9)解法二(五点法)：由函数f(x)的图像知，ω×(－ eq \f(4π,9))＋ eq \f(π,6)＝－ eq \f(π,2)，解得ω＝ eq \f(3,2)，所以函数f(x)的最小正周期为 eq \f(4π,3)，故选C.
6．C f(x)＝ eq \f(\f(sin x,cs x),1＋\f(sin2x,cs2x))＝ eq \f(sinx cs x,sin2x＋cs2x)＝ eq \f(1,2)sin2x，
∴T＝ eq \f(2π,2)＝π.
7．D 由f(0)＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))，得sin 0＋a cs 0＝0＋a＝1，解得a＝1，所以f(x)＝sin x＋cs x，所以g(x)＝( eq \r(3)－1)sin x＋f(x)＝( eq \r(3)－1)sin x＋sin x＋cs x＝ eq \r(3)sin x＋cs x＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))).令x＋ eq \f(π,6)＝kπ＋ eq \f(π,2)(k∈Z)，得x＝kπ＋ eq \f(π,3)(k∈Z)，令k＝－1，得函数g(x)的图像的一条对称轴是x＝－ eq \f(2π,3).故选D.
8．D 由图像可知：8～13时这段时间温度先下降再升高，A错误；
8～16时最大温度2 eq \r(2)℃，最小温度－2 eq \r(2)℃，最大温差为4 eq \r(2)℃，B错误；
8～16时0 ℃以下的时长超过3小时，C错误；
T＝4×(13－11)＝8＝ eq \f(2π,ω)，ω＝ eq \f(π,4)，又过点(13，2 eq \r(2))，
故2 eq \r(2)cs ( eq \f(π,4)·13＋φ)＝2 eq \r(2)，解得φ＝ eq \f(3π,4)，
故f(x)＝2 eq \r(2)cs ( eq \f(π,4)x＋ eq \f(3π,4))，f(16)＝2 eq \r(2)cs ( eq \f(π,4)·16＋ eq \f(3π,4))＝－2，故16时温度为－2 ℃，D正确．
9．D 由题意得 eq \f(1,2)× eq \f(2π,ω)＝ eq \f(2π,3)－ eq \f(π,6)，解得ω＝2，易知x＝ eq \f(π,6)是f(x)的最小值点，所以 eq \f(π,6)×2＋φ＝ eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，得φ＝ eq \f(7π,6)＋2kπ(k∈Z)，于是f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(7π,6)＋2kπ))＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(7π,6)))，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,12)))＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,12)×2＋\f(7π,6)))＝sin eq \f(π,3)＝ eq \f(\r(3),2)，故选D.
10. eq \r(5)
解析：∵f(x)＝ eq \r(22＋12)sin (x＋φ)＝ eq \r(5)sin (x＋φ)，
∴f(x)max＝ eq \r(5).
11. eq \f(2,3)
解析：∵f(x)≤f( eq \f(π,4))对任意的实数x都成立，
∴f( eq \f(π,4))＝1，∴ eq \f(π,4)ω－ eq \f(π,6)＝2kπ，k∈Z，∴ω＝8k＋ eq \f(2,3)(k∈Z)，又ω>0，∴当k＝0时，ω取得最小值 eq \f(2,3).
12．2
解析：由题图可知， eq \f(3,4)T＝ eq \f(13π,12)－ eq \f(π,3)＝ eq \f(3π,4)(T为f(x)的最小正周期)，得T＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝2cs (2x＋φ).点( eq \f(π,3)，0)可看作“五点作图法”中的第二个点，则2× eq \f(π,3)＋φ＝ eq \f(π,2)，得φ＝－ eq \f(π,6)，所以f(x)＝2cs (2x－ eq \f(π,6))，所以f(－ eq \f(7π,4))＝2cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2×（－\f(7π,4)）－\f(π,6)))＝2cs (－ eq \f(11π,3))＝2cs eq \f(π,3)＝1，f( eq \f(4π,3))＝2cs (2× eq \f(4π,3)－ eq \f(π,6))＝2cs eq \f(5π,2)＝0，所以(f(x)－f(－ eq \f(7π,4)))(f(x)－f( eq \f(4π,3)))>0，即(f(x)－1)f(x)>0，可得f(x)>1或f(x)<0，所以cs (2x－ eq \f(π,6))> eq \f(1,2)或cs (2x－ eq \f(π,6))<0.当x＝1时，2x－ eq \f(π,6)＝2－ eq \f(π,6)∈( eq \f(π,3)， eq \f(π,2))，cs (2x－ eq \f(π,6))∈(0， eq \f(1,2))，不符合题意；当x＝2时，2x－ eq \f(π,6)＝4－ eq \f(π,6)∈(π， eq \f(7π,6))，cs (2x－ eq \f(π,6))<0，符合题意．所以满足题意的最小正整数x为2.
13．D 函数f(x)＝sin (ωx＋ eq \f(π,3))(ω>0)在[0，π]上恰有3个零点， 则3π≤ωπ＋ eq \f(π,3)<4π，求得 eq \f(8,3)≤ω< eq \f(11,3).
14．C 对于③，∵x∈(0，π)，ωx－ eq \f(π,4)∈(－ eq \f(π,4)，ωπ－ eq \f(π,4))，令f(x)＝sin (ωx－ eq \f(π,4))＝0，得ωx－ eq \f(π,4)＝kπ，k∈Z，
由函数f(x)在区间(0，π)上有且仅有2个不同的零点，即ωx－ eq \f(π,4)取得0，π，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,4)>π,ωx－\f(π,4)≤2π))，解得 eq \f(5,4)<ω≤ eq \f(9,4)，故③正确；
对于①，当x∈[0，π]，ωx－ eq \f(π,4)∈[－ eq \f(π,4)，ωπ－ eq \f(π,4)]，
由 eq \f(5,4)<ω≤ eq \f(9,4)，知ωπ－ eq \f(π,4)∈(π，2π]，
令ωx－ eq \f(π,4)＝ eq \f(π,2)＋kπ，由于ω值不确定，
所以ωπ－ eq \f(π,4)＝ eq \f(3π,2)不一定取到，故①错误；
对于②，当x∈(0， eq \f(π,3))时，ωx－ eq \f(π,4)∈(－ eq \f(π,4)， eq \f(ωπ,3)－ eq \f(π,4))，
由 eq \f(5,4)<ω≤ eq \f(9,4)，知 eq \f(ωπ,3)－ eq \f(π,4)∈( eq \f(π,6)， eq \f(π,2)]
即(－ eq \f(π,4)， eq \f(ωπ,3)－ eq \f(π,4))⊆[－ eq \f(π,2)， eq \f(π,2)]，
即f(x)在区间(0， eq \f(π,3))上单调递增，故②正确；
所以正确的个数为2个．
15．1
解析：函数y＝sin eq \f(πx,3)的周期为6，函数y＝sin eq \f(πx,3)在[ eq \f(3,2)， eq \f(9,2)]上单调递减，
当 eq \f(3,2)≤t≤ eq \f(7,2)时，[t，t＋1]⊆[ eq \f(3,2)， eq \f(9,2)]
M(t)－N(t)＝sin eq \f(πt,3)－sin eq \f(π（t＋1）,3)
＝2cs ( eq \f(πt,3)＋ eq \f(π,6))sin (－ eq \f(π,6))＝－cs ( eq \f(πt,3)＋ eq \f(π,6))，
因为 eq \f(3,2)≤t≤ eq \f(7,2)，所以 eq \f(2π,3)≤ eq \f(π,3)t＋ eq \f(π,6)≤ eq \f(4π,3)，
所以－1≤cs ( eq \f(π,3)t＋ eq \f(π,6))≤－ eq \f(1,2)，
所以 eq \f(1,2)≤M(t)－N(t)≤1，
当t＝ eq \f(5,2)时取最大值1.
16．3
解析：因为T＝ eq \f(2π,|ω|)，ω>0，所以ω＝ eq \f(2π,T).由f(T)＝ eq \f(\r(3),2)，得cs (2π＋φ)＝ eq \f(\r(3),2)，即cs φ＝ eq \f(\r(3),2).又因为0<φ<π，所以φ＝ eq \f(π,6).因为x＝ eq \f(π,9)为f(x)的零点，所以 eq \f(ωπ,9)＋ eq \f(π,6)＝kπ＋ eq \f(π,2)，k∈Z，解得ω＝9k＋3，k∈Z.又因为ω>0，所以当k＝0时ω取得最小值，ω的最小值为3.