统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练20函数y＝Asinωx+φ的图像及三角函数模型理

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练20函数y＝Asinωx+φ的图像及三角函数模型理，共9页。

[基础强化]
一、选择题
1．要得到函数y＝sin (4x－ eq \f(π,3))的图像，只需将函数y＝sin 4x的图像( )
A．向左平移 eq \f(π,12)个单位
B．向右平移 eq \f(π,12)个单位
C．向左平移 eq \f(π,3)个单位
D．向右平移 eq \f(π,3)个单位
2．把函数y＝cs 2x＋1的图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是( )
3．将函数y＝sin (2x＋ eq \f(π,5))的图像向右平移 eq \f(π,10)个单位长度，所得图像对应的函数( )
A．在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上单调递增
B．在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0))上单调递减
C．在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递增
D．在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上单调递减
4.
函数y＝A sin (ωx＋φ)的部分图像如图所示，则( )
A．y＝2sin (2x－ eq \f(π,6))
B．y＝2sin (2x－ eq \f(π,3))
C．y＝2sin (x＋ eq \f(π,6))
D．y＝2sin (x＋ eq \f(π,3))
5．[2023·江西省南昌市第十中学月考]将函数y＝sin 2x＋ eq \r(3)cs 2x的图像沿x轴向左平移φ(φ>0)个单位后，得到关于y轴对称的图像，则φ的最小值为( )
A． eq \f(π,12) B． eq \f(π,6) C． eq \f(π,4) D． eq \f(5π,12)
6.
函数y＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，－ eq \f(π,2)<φ< eq \f(π,2))的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是( )
A．2，－ eq \f(π,3) B．2，－ eq \f(π,6)
C．4，－ eq \f(π,6) D．4， eq \f(π,3)
7．[2021·全国乙卷]把函数y＝f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的 eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 eq \f(π,3)个单位长度，得到函数y＝sin (x－ eq \f(π,4))的图像，则f(x)＝( )
A.sin ( eq \f(x,2)－ eq \f(7π,12)) B. sin ( eq \f(x,2)＋ eq \f(π,12))
C. sin (2x－ eq \f(7π,12)) D. sin (2x＋ eq \f(π,12))
8．已知曲线C1：y＝cs x，C2：y＝sin (2x＋ eq \f(2π,3))，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 eq \f(π,6)个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 eq \f(π,12)个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 eq \f(π,6)个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 eq \f(π,12)个单位长度，得到曲线C2
9．[2023·安徽省示范高中皖北协作区联考]将函数f(x)＝2sin (2x－ eq \f(π,3))的图像向右平移 eq \f(π,6)个单位后所得到的函数记为g(x)，则下列结论中正确的是( )
A．g(x)的对称中心为( eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,6)，0)(k∈Z)
B．g(x)＝2sin (2x＋ eq \f(π,3))
C．g(x)在( eq \f(π,12)， eq \f(7π,12))上单调递减
D．g(x)的图像关于x＝ eq \f(π,12)对称
二、填空题
10.
已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的一段图像如图所示，则函数f(x)的解析式为f(x)＝________．
11．[2023·南昌市模拟]已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|< eq \f(π,2))的图像与x轴在原点右侧的第一个交点为(1，0)，在y轴右侧的第一个最高点为(3，2)，则f(－1)＝________．
12．将函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，－ eq \f(π,2)≤φ< eq \f(π,2))图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移 eq \f(π,6)个单位长度得到y＝sin x的图像，则f( eq \f(π,6))＝________．
[能力提升]
13．[2023·安徽芜湖模拟]已知函数f(x)＝A cs (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|< eq \f(π,2))
的大致图像如图所示，将函数f(x)的图像上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移 eq \f(π,2)个单位长度，得到函数g(x)的图像，则函数g(x)的单调递增区间为( )
A．[－ eq \f(3π,2)＋3kπ，3kπ](k∈Z)
B．[3kπ，3kπ＋ eq \f(3π,2)](k∈Z)
C.[－ eq \f(7π,4)＋3kπ，－ eq \f(π,4)＋3kπ](k∈Z)
D．[－ eq \f(π,4)＋3kπ， eq \f(5π,4)＋3kπ](k∈Z)
14．[2023·陕西省西安中学模拟]已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图像如图所示，现将f(x)的图像向左平移 eq \f(π,12)个单位长度得到y＝g(x)的图像，则方程2g(x)＝ eq \r(2)在[0，2π]上实数解的个数为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
15．[2023·西南大学附中模拟]水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1 000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3 eq \r(3))出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝R sin (ωt＋φ)(t≥0，ω>0，|φ|< eq \f(π,2))，则下列叙述正确的是( )
A．水斗作周期运动的初相为－ eq \f(π,6)
B．在水斗开始旋转的60秒(含)中，其高度不断增加
C．在水斗开始旋转的60秒(含)中，其最高点离平衡位置的纵向距离是3 eq \r(3)
D．当水斗旋转100秒时，其和初始点A的距离为6
16．[2022·全国甲卷(理)，11]设函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是( )
A． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，\f(13,6))) B． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，\f(19,6)))
C． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(13,6)，\f(8,3))) D． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(13,6)，\f(19,6)))
专练20 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图像及三角函数模型
1．B ∵y＝sin (4x－ eq \f(π,3))＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4（x－\f(π,12)）))，∴要得到y＝sin (4x－ eq \f(π,3))的图像，只需将y＝sin 4x的图像向右平移 eq \f(π,12)个单位．
2．A y＝cs 2x＋1 eq \(――→,\s\up7(横坐标伸长2倍),\s\d5(纵坐标不变))y＝cs x＋1 eq \(――→,\s\up7(向左平移1个),\s\d5(单位长度))y＝cs (x＋1)＋1 eq \(――→,\s\up7(向下平移1),\s\d5(个单位长度))y＝cs (x＋1).函数图像过( eq \f(π,2)－1，0)，结合选项可知，选A.
3．A 将y＝sin (2x＋ eq \f(π,5))的图像向右平移 eq \f(π,10)个单位长度，得到y＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2（x－\f(π,10)）＋\f(π,5)))＝sin 2x，令2kπ－ eq \f(π,2)≤2x≤2kπ＋ eq \f(π,2)(k∈Z)，得kπ－ eq \f(π,4)≤x≤kπ＋ eq \f(π,4)(k∈Z)，∴y＝sin 2x在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)上单调递增，当k＝0时，得到y＝sin 2x的一个单调增区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，故A正确，B不正确，由2kπ＋ eq \f(π,2)≤2x≤2kπ＋ eq \f(3,2)π(k∈Z)，得y＝sin 2x的单调减区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(3,4)π))(k∈Z)，结合选项可知C、D不正确．
4．A 由图知A＝2， eq \f(T,2)＝ eq \f(π,3)－(－ eq \f(π,6))＝ eq \f(π,2)，
∴T＝π，∴ω＝2.
将( eq \f(π,3)，2)坐标代入，得2× eq \f(π,3)＋φ＝2kπ＋ eq \f(π,2)，k∈Z，
∴φ＝2kπ－ eq \f(π,6)，k∈Z.取k＝0，得φ＝－ eq \f(π,6).
5．A ∵函数y＝sin 2x＋ eq \r(3)cs 2x＝2sin (2x＋ eq \f(π,3))，
将函数y＝sin 2x＋ eq \r(3)cs 2x的图像沿x轴向左平移φ个单位后，得到函数y＝2sin (2x＋2φ＋ eq \f(π,3))，
因为函数是偶函数，
∴2φ＋ eq \f(π,3)＝kπ＋ eq \f(π,2)(k∈Z)∴φ＝ eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,12)(k∈Z).
当k＝0时，φ＝ eq \f(π,12).则φ的最小值为 eq \f(π,12).
6．A 由题意得 eq \f(5,12)π＋ eq \f(π,3)＝ eq \f(3,4)T，
∴T＝π，又T＝ eq \f(2π,ω)，∴ω＝2，
又当x＝ eq \f(5,12)π时，2sin (2× eq \f(5,12)π＋φ)＝2，
∴φ＝－ eq \f(π,3)＋2kπ(k∈Z)，又－ eq \f(π,2)<φ< eq \f(π,2)，
∴φ＝－ eq \f(π,3).
7．B 依题意，将y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))的图像向左平移 eq \f(π,3)个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图像，
所以y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))
y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))的图像 eq \(――――――――――――――→,\s\up7(所有点的横坐标扩大到原来的2倍))
f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,12)))的图像．
8．D y＝sin (2x＋ eq \f(2π,3))＝cs (2x＋ eq \f(2π,3)－ eq \f(π,2))
＝cs (2x＋ eq \f(π,6))＝cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2（x＋\f(π,12)）))，
由y＝cs x的图像得到y＝cs 2x的图像，需将曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的 eq \f(1,2)，纵坐标不变；由y＝cs 2x的图像得到y＝cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2（x＋\f(π,12)）))的图像，需将y＝cs 2x的图像上的各点向左平移 eq \f(π,12)个单位长度，故选D.
9．D 函数f(x)＝2sin (2x－ eq \f(π,3))的图像向右平移 eq \f(π,6)个单位得到g(x)＝2sin [2(x－ eq \f(π,6))－ eq \f(π,3)]＝2sin (2x－ eq \f(2π,3))，
g(x)＝2sin (2x－ eq \f(2π,3))＝2sin (2x＋ eq \f(π,3)－π)＝－2sin (2x＋ eq \f(π,3))，B选项错误．
2x＋ eq \f(π,3)＝kπ，x＝ eq \f(kπ,2)－ eq \f(π,6)，所以g(x)的对称中心为( eq \f(kπ,2)－ eq \f(π,6)，0)(k∈Z)，A选项错误．
eq \f(π,12)g( eq \f(π,12))＝－2sin ( eq \f(π,6)＋ eq \f(π,3))＝－2sin eq \f(π,2)＝－2，所以g(x)的图像关于x＝ eq \f(π,12)对称，D选项正确．
10．2sin (2x＋ eq \f(3π,4))
解析：由题图可知，f(x)max＝2，f(x)min＝－2，
故A＝2，
最小正周期T＝2× eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)－（－\f(π,8)）))＝π，
故ω＝ eq \f(2π,π)＝2，
所以f(x)＝2sin (2x＋φ).
又曲线y＝f(x)过点(－ eq \f(π,8)，2)，
所以2sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2×（－\f(π,8)）＋φ))＝2，
即φ－ eq \f(π,4)＝ eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z.又|φ|<π，
所以φ＝ eq \f(3π,4).
故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin (2x＋ eq \f(3π,4)).
11．－2
解析：由与x轴在原点右侧的第一个交点为(1，0)，在y轴右侧的第一个最高点为(3，2)知 eq \f(T,4)＝3－1，T＝8，或 eq \f(3T,4)＝3－1，T＝ eq \f(8,3)，
当T＝8时，ω＝ eq \f(2π,T)＝ eq \f(π,4)，A＝2，∴f(x)＝2sin ( eq \f(π,4)x＋φ)，代入点(1，0)，2sin ( eq \f(π,4)＋φ)＝0，又|φ|< eq \f(π,2)，
∴φ＝－ eq \f(π,4)，
f(x)＝2sin ( eq \f(π,4)x－ eq \f(π,4))，f(－1)＝－2；当T＝ eq \f(8,3)时，ω＝ eq \f(2π,T)＝ eq \f(3π,4)，A＝2，∴f(x)＝2sin ( eq \f(3π,4)x＋φ)，代入点(1，0)，
2sin ( eq \f(3π,4)＋φ)＝0，又|φ|< eq \f(π,2)，∴φ＝ eq \f(π,4)，f(x)＝2sin ( eq \f(3π,4)x＋ eq \f(π,4))，f(－1)＝－2.
综上，f(－1)＝－2.
12. eq \f(\r(2),2)
解析：由题意得将y＝sin x的图像向左平移 eq \f(π,6)个单位，得到y＝sin (x＋ eq \f(π,6))，再纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sin ( eq \f(1,2)x＋ eq \f(π,6))，即f(x)＝sin ( eq \f(1,2)x＋ eq \f(π,6))，∴f( eq \f(π,6))＝sin eq \f(π,4)＝ eq \f(\r(2),2).
13．C 依题意， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＋b＝1，,－A＋b＝－3，))
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＝2，,b＝－1，))
故f(x)＝2cs (ωx＋φ)－1，
而f ( eq \f(π,12))＝1，f ( eq \f(π,3))＝－1，
∴ eq \f(T,4)＝ eq \f(π,3)－ eq \f(π,12)＝ eq \f(π,4)，
故T＝π＝ eq \f(2π,ω)，则ω＝2；
∴2cs ( eq \f(π,6)＋φ)－1＝1，
故 eq \f(π,6)＋φ＝2kπ(k∈Z)，
又|φ|< eq \f(π,2)，故φ＝－ eq \f(π,6)，
∴f(x)＝2cs (2x－ eq \f(π,6))－1；
将函数f(x)的图像上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，
得到y＝2cs ( eq \f(2,3)x－ eq \f(π,6))－1，
再向左平移 eq \f(π,2)个单位长度，
得到g(x)＝2cs ( eq \f(2,3)x＋ eq \f(π,3)－ eq \f(π,6))－1
＝2cs ( eq \f(2,3)x＋ eq \f(π,6))－1，
令－π＋2kπ≤ eq \f(2,3)x＋ eq \f(π,6)≤2kπ(k∈Z)，
故－ eq \f(7π,4)＋3kπ≤x≤－ eq \f(π,4)＋3kπ(k∈Z)，故函数g(x)的单调递增区间为[－ eq \f(7π,4)＋3kπ，－ eq \f(π,4)＋3kπ](k∈Z).
14．B 根据函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)，(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图像，
可得 eq \f(1,2)· eq \f(2π,ω)＝ eq \f(11π,12)－ eq \f(7π,12)，∴ω＝3.所以f(x)＝A sin (3x＋φ),
结合五点法作图，3× eq \f(7π,12)＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，∴φ＝ eq \f(π,4)＋2kπ，k∈Z，因为|φ|<π，∴φ＝ eq \f(π,4)，故f(x)＝A sin (3x＋ eq \f(π,4)).
再把点( eq \f(π,2)，－1)代入，可得－1＝A sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋\f(π,4)))，
即－1＝－A cs eq \f(π,4)，∴A＝ eq \r(2)，
所以f(x)＝ eq \r(2)sin (3x＋ eq \f(π,4)).
现将f(x)的图像向左平移 eq \f(π,12)个单位长度，
得到函数y＝g(x)＝ eq \r(2)sin [3(x＋ eq \f(π,12))＋ eq \f(π,4)]＝ eq \r(2)cs 3x，
因为2g(x)＝ eq \r(2)，即cs 3x＝ eq \f(1,2)，所以3x＝ eq \f(π,3)＋2k1π，k1∈Z或3x＝－ eq \f(π,3)＋2k2π，k2∈Z，
解得x＝ eq \f(π,9)＋ eq \f(2k1π,3)，k1∈Z或x＝－ eq \f(π,9)＋ eq \f(2k2π,3)，k2∈Z，
因为x∈[0，2π]，所以x＝ eq \f(π,9)或 eq \f(7π,9)或 eq \f(13π,9)或 eq \f(5π,9)或 eq \f(11π,9)或 eq \f(17π,9)，
故方程2g(x)＝ eq \r(2)在[0，2π]上实数解的个数为6个．
15．D 由A(3，－3 eq \r(3))，
知R＝ eq \r(32＋（－3\r(3)）2)＝6，
又T＝120，所以ω＝ eq \f(2π,T)＝ eq \f(π,60).
当t＝0时，点P在点A位置，有－3 eq \r(3)＝6sin φ，
解得sin φ＝－ eq \f(\r(3),2)，
又|φ|< eq \f(π,2)，
所以φ＝－ eq \f(π,3)，故A错误；
可知f(t)＝6sin ( eq \f(π,60)t－ eq \f(π,3))，
当t∈(0，60]时， eq \f(π,60)t－ eq \f(π,3)∈(－ eq \f(π,3)， eq \f(2π,3)]，
所以函数f(t)先增后减，故B错误；
当t∈(0，60]时，
eq \f(π,60)t－ eq \f(π,3)∈(－ eq \f(π,3)， eq \f(2π,3)]，sin ( eq \f(π,60)t－ eq \f(π,3))∈(－ eq \f(\r(3),2)，1]，
所以点P到x轴的距离的最大值为6，故C错误；
当t＝100时， eq \f(π,60)t－ eq \f(π,3)＝ eq \f(4π,3)，
P的纵坐标为y＝－3 eq \r(3)，横坐标为x＝－3，
所以|PA|＝|－3－3|＝6，故D正确．
16．C 因为f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))，结合选项，只考虑ω＞0.当ωx＋ eq \f(π,3)＝ eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，即x＝ eq \f(π,6ω)＋ eq \f(kπ,ω)(k∈Z)时，f(x)取得极值．又因为f(x)在区间(0，π)上恰有三个极值点，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(π,6ω)＋\f(2π,ω)＜π，,\f(π,6ω)＋\f(3π,ω)≥π，))解得 eq \f(13,6)＜ω≤ eq \f(19,6).当ωx＋ eq \f(π,3)＝kπ(k∈Z)，即x＝－ eq \f(π,3ω)＋ eq \f(kπ,ω)(k∈Z)时，f(x)＝0.又因为f(x)在区间(0，π)上恰有两个零点，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3ω)＋\f(2π,ω)＜π，,－\f(π,3ω)＋\f(3π,ω)≥π，))解得 eq \f(5,3)＜ω≤ eq \f(8,3).综上可得，ω的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(13,6)，\f(8,3))).故选C.