统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练43直线平面垂直的判定与性质理

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练43直线平面垂直的判定与性质理，共6页。

[基础强化]
一、选择题
1．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．[2023·哈尔滨模拟]设m，n是两条不同的直线，α是平面，m，n不在α内，下列结论中错误的是( )
A．m⊥α，n∥α，则m⊥n
B．m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．m⊥n，n∥α，则m⊥α
3．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是( )
A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CD的中点，则( )
A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD
C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC
5．[2023·安徽省蚌埠市质检]已知平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，过平面α和β外的一点P作直线m⊥l，则“m∥α”是“m⊥β”的( )
A.充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )
A．m∥l B．m∥n
C．n⊥lD．m⊥n
8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，AA1＝5，则A1C与平面ABCD所成角的正切值为( )
A． eq \f(\r(2),2) B． eq \f(4,3) C． eq \f(3,5) D．1
9.
如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E为AC的中点，则下列命题中正确的是( )
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BCD
C．平面ABC⊥平面BDE且平面ACD⊥平面BDE
D.平面ABC⊥平面ACD且平面ACD⊥平面BDE
二、填空题
10．在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC，则P在平面ABC中的射影O为△ABC的________心．
11．已知平面α、β、γ是空间中三个不同的平面，直线l、m是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m则
①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.
由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上).
12．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，则这个四棱锥的五个面中两两互相垂直的共有________对．
[能力提升]
13.
如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是( )
A．PB⊥AD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．直线BC∥平面PAE
D．直线PD与平面ABC所成的角为45°
14．[2023·全国乙卷(理)]已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C­AB­D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为( )
A． eq \f(1,5) B． eq \f(\r(2),5) C． eq \f(\r(3),5) D． eq \f(2,5)
15．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥面ABCD，底面各边都相等，M为PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.
16.
如图，VA⊥平面ABC，△ABC的外接圆是以边AB的中点O为圆心的圆，点M、N、P分别为VA、VC、VB的中点，则下列结论正确的是________．(把正确结论的序号都填上)
①MN∥平面ABC；
②OC⊥平面VAC；
③MN与BC所成的角为60°；
④MN⊥OP；
⑤平面VAC⊥平面VBC.
专练43 直线、平面垂直的判定与性质
1．D
如图ABCD为矩形，PA⊥面ABCD时，△PAB，△PAD为直角三角形，
又AD⊥DC，PA⊥DC，PA∩AD＝A，
∴CD⊥面PAD，∴CD⊥PD，∴△PCD为直角三角形，同理△PBC为直角三角形，共4个直角三角形．
2．D 对于A，∵n∥α，由线面平行的性质定理可知，过直线n的平面β与平面α的交线l平行于n，
∵m⊥α，l⊂α，∴m⊥l，
∴m⊥n，故A正确；
对于B，若m⊥α，n⊥α，由直线与平面垂直的性质，
可得m∥n，故B正确；
对于C，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，又n⊄α，∴n∥α，故C正确；
对于D，若m⊥n，n∥α，则m∥α或m与α相交或m⊂α，而m⊄α，则m∥α或m与α相交，故D错误．
3．C 当α∥β，b⊥β时，b⊥α，又a⊂α，∴b⊥a，故C正确.
4．C ∵A1B1⊥面BCC1B1，
BC1⊂面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1，
又BC1⊥B1C且B1C∩A1B1＝B1，
∴BC1⊥面A1B1CD，又A1E⊂面A1B1CD，
∴BC1⊥A1E.
5．C 当m∥α时，过m作平面γ∩α＝n，则m∥n，结合α⊥β，得n⊥β，从而m⊥β；当m⊥β时，在α内作直线n⊥l，结合α⊥β，得n⊥β，所以m∥n，又m⊄α，n⊂α，所以m∥α.
6．B 由“m⊥α且l⊥m”推出“l⊂α或l∥α”，但由“m⊥α且l∥α”可推出“l⊥m”，所以“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件，故选B.
7．C ∵α∩β＝l，∴l⊂β，又∵n⊥β，
∴n⊥l.
8．D 如图所示，连接AC，∵AA1⊥平面ABCD，∴A1C与平面ABCD所成的角为∠ACA1，∵AB＝4，BC＝3，
∴AC＝5，∵AA1＝5，
∴tan ∠ACA1＝1，故选D.
9．C ∵AB＝BC，E为AC的中点，∴EB⊥AC，同理DE⊥AC，又DE∩EB＝E，∴AC⊥平面BDE，又AC⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDE，同理平面ABC⊥平面BDE.
10．外
解析：连结OA，OB，OC，OP，
∴△POA，△POB，△POC为直角三角形，
又PA＝PB＝PC，
∴OA＝OB＝OC，
∴O为△ABC的外心．
11．②④
解析：∵γ∩β＝l，∴l⊂γ，又α⊥γ，γ∩α＝m，l⊥m，∴l⊥α，∵γ∩β＝l，∴l⊂β，又l⊥α，∴α⊥β，∴②④正确．
12．5
解析：
∵PA⊥面ABCD，又PA⊂面PAD，
∴面PAD⊥面ABCD；同理面PAB⊥面ABCD，
又PA⊥面ABCD，∴PA⊥CD，
又CD⊥AD，AD∩PA＝A，
∴CD⊥面PAD，
又CD⊂面PCD，
∴面PCD⊥面PAD，同理面PBC⊥面PAB，面PAB⊥面PAD，共有5对．
13．D ∵AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，∴A不成立．又平面PAB⊥平面PAE，∴平面PAB⊥平面PBC也不成立．∵BC∥AD，∴BC∥平面PAD，
∴直线BC∥平面PAE也不成立．在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∠PDA＝45°，∴D正确．
14．C
如图所示，取AB的中点为M，连接CM，DM，则CM⊥AB，DM⊥AB，又CM，DM⊂平面CMD，CM∩DM＝M，于是AB⊥平面CMD，∠CMD即为二面角C－AB－D的平面角，于是∠CMD＝150°.设AB＝2，则CM＝1，MD＝ eq \r(3)，在△CMD中，由余弦定理可得CD＝ eq \r(3＋1－2×\r(3)×1×（－\f(\r(3),2)）)＝ eq \r(7).延长CM，过点D作CM的垂线，设垂足为H，则∠HMD＝30°，DH＝ eq \f(1,2)DM＝ eq \f(\r(3),2)，MH＝ eq \f(\r(3),2)DM＝ eq \f(3,2)，所以CH＝1＋ eq \f(3,2)＝ eq \f(5,2).因为DH⊂平面CMD，则AB⊥DH，又DH⊥CM，AB，CM⊂平面ABC，AB∩CM＝M，所以DH⊥平面ABC，∠DCM即为直线CD与平面ABC所成角，于是在Rt△DCH中，tan ∠DCM＝ eq \f(DH,CH)＝ eq \f(\r(3),5)，故选C.
15．BM⊥PC(DM⊥PC)
解析：
当BM⊥PC时，面MBD⊥面PCD，证明如下：
如图所示，∵PA⊥面ABCD，AB＝AD，
∴PB＝PD，又BC＝CD，
∴△PBC≌△PCD，∴当BM⊥PC时，
DM⊥PC，∴PC⊥面MBD，又PC⊂面PCD，
∴平面MBD⊥面PCD.
16．①④⑤
解析：对于①，因为点M，N分别为VA，VC的中点，所以MN∥AC，又MN⊄平面ABC，所以MN∥平面ABC，故①正确；对于②，若OC⊥平面VAC，则OC⊥AC，而由题意知AB是圆O的直径，则BC⊥AC，故OC与AC不可能垂直，故②不正确；对于③，因为MN∥AC，且BC⊥AC，所以MN⊥BC，即MN与BC所成的角为90°，故③不正确；对于④，易得OP∥VA，VA⊥MN，所以MN⊥OP，故④正确；对于⑤，因为VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以VA⊥BC，又BC⊥AC，且AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC，又BC⊂平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC，故⑤正确．综上，应填①④⑤.