统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练45空间向量的应用理

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练45空间向量的应用理，共8页。

[基础强化]
一、选择题
1．若两不重合直线l1和l2的方向向量分别为V1＝(1，0，－1)，V2＝(－3，0，3)，则l1和l2的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．垂直 D．不确定
2．若a＝(2，－2，－2)，b＝(2，0，4)，则a与b的夹角的余弦值为( )
A． eq \f(4\r(85),85)B． eq \f(\r(69),85)
C．－ eq \f(\r(15),15) D．0
3．若直线l的一个方向向量a＝(2，2，－2)，平面α的一个法向量b＝(1，1，－1)，则( )
A．l⊥α B．l∥α
C．l⊂α D．A，C都有可能
4．在空间直角坐标系中，已知A(1，－2，1)，B(2，2，2)，点P在z轴上，且满足| eq \(PA,\s\up6(→))|＝| eq \(PB,\s\up6(→))|，则P点坐标为( )
A．(3，0，0) B．(0，3，0)
C．(0，0，3) D．(0，0，－3)
5．若平面α，β的法向量分别为m＝(2，－3，5)，n＝(－3，1，－4)，则( )
A．α∥β B．α⊥β
C．α，β相交，但不垂直 D．以上均不正确
6.
如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC＝( )
A．6 eq \r(2) B．6
C．12 D．144
7.
如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与AB1夹角的余弦值为( )
A． eq \f(\r(5),5) B． eq \f(\r(5),3) C． eq \f(2\r(5),5) D． eq \f(3,5)
8．[2023·宁夏石嘴山三模]在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A­BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝CD，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为( )
A． eq \f(\r(3),3) B． eq \f(\r(2),3) C． eq \f(\r(3),2) D． eq \f(\r(2),2)
9.
[2023·浙江温州二模]如图，在四面体ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，过EF的平面α分别交棱DA、BC于G、H(不同于A、B、C、D)，P、Q分别是棱BC、CD上的动点，则下列命题错误的是( )
A．存在平面α和点P，使得AP∥平面α
B．存在平面α和点Q，使得AQ∥平面 α
C．对任意的平面α，线段EF平分线段GH
D．对任意的平面α，线段GH平分线段EF
二、填空题
10．已知四边形ABCD为平行四边形，且A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(3，7，－5)，则顶点D的坐标为________．
11．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)，则以 eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AC,\s\up6(→))为邻边的平行四边形的面积为________．
12．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则D1点到平面A1BD的距离为________．
[能力提升]
13．[2023·湖北鄂南模拟预测]已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2 eq \r(3).以D为坐标原点，以DA为x轴正半轴，DC为y轴正半轴，DD1为z轴正半轴建立空间直角坐标系，动点M(a，b，0)满足直线MD1与AA1所成夹角为 eq \f(π,6)，ab的最大值为( )
A． eq \f(1,4) B． eq \f(1,2) C．1 D．2
14．[2023·浙江嘉兴模拟预测]如图，在矩形ABCD中，AB＝ eq \r(3)BC，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，将△EBF，△GDH分别沿直线EF，HG翻折形成四棱锥B′­AEFC，D′­ACGH，下列说法正确的是( )
A．异面直线EB′，GD′所成角的取值范围是(0， eq \f(π,6)]
B．异面直线EB′，GD′所成角的取值范围是(0， eq \f(π,2)]
C．异面直线FB′，HD′所成角的取值范围是(0， eq \f(π,2)]
D．异面直线FB′，HD′所成角的取值范围是(0， eq \f(π,3)]
15．若平面α的一个法向量n＝(2，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(1，2，3)，则α与l所成角的正弦值为________．
16.
如图所示，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC＝45°，BC＝2 eq \r(2)，AB＝2，SA＝SB＝ eq \r(3).求直线SD与平面SAB所成角的正弦值为________.
专练45 空间向量的应用
1．A ∵V1＝－ eq \f(1,3)V2，∴l1∥l2.
2．C ∵|a|＝ eq \r(22＋（－2）2＋（－2）2)＝2 eq \r(3)，
|b|＝ eq \r(22＋02＋42)＝2 eq \r(5)，
a·b＝2×2＋(－2)×0＋(－2)×4＝－4，
∴cs 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(－4,2\r(3)×2\r(5))＝－ eq \f(\r(15),15).
3．A ∵a＝2b，∴a与b共线，∴l⊥α.
4．C 由题意可设点P的坐标为(0，0，z)
由| eq \(PA,\s\up6(→))|＝| eq \(PB,\s\up6(→))|得
eq \r(（1－0）2＋（－2－0）2＋（1－z）2)
＝ eq \r(（2－0）2＋（2－0）2＋（2－z）2)
解得z＝3.
故选C.
5．C ∵m与n不共线，且m·n＝－6－3－20≠0，
∴α与β相交但不垂直．
6．C ∵AB＝BC＝6，∠ABC＝120°，∴AC＝6 eq \r(3)，
建立如图所示的空间直角坐标系，其中O为AC的中点，
则P(0，－3 eq \r(3)，6)，C(0，3 eq \r(3)，0)
∴|PC|＝
eq \r(（0－0）2＋（3\r(3)＋3\r(3)）2＋62)＝12.
7．A 设BC＝1，则B(0，0，1)，C1(0，2，0)，A(2，0，0)，B1(0，2，1)
＝(0，2，－1)，＝(－2，2，1)
·＝0×(－2)＋2×2＋(－1)×1＝3.
||＝ eq \r(5)，||＝3，
∴cs 〈，〉＝＝ eq \f(3,\r(5)×3)＝ eq \f(\r(5),5).
8.
A 如图，正方体内三棱锥A­BCD即为满足题意的鳖臑A­BCD，
以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则B(0，0，0)，A(0，0，1)，C(0，1，0)，D(1，1，0)，M( eq \f(1,2)， eq \f(1,2)， eq \f(1,2))，
则 eq \(BM,\s\up6(→))＝( eq \f(1,2)， eq \f(1,2)， eq \f(1,2))， eq \(CD,\s\up6(→))＝(1，0，0)，
cs 〈 eq \(BM,\s\up6(→))， eq \(CD,\s\up6(→))〉＝ eq \f(\(BM,\s\up6(→))·\(CD,\s\up6(→)),|\(BM,\s\up6(→))|·|\(CD,\s\up6(→))|)＝ eq \f(\f(1,2),\r(\f(3,4)))＝ eq \f(\r(3),3)，
则异面直线BM与CD夹角的余弦值为 eq \f(\r(3),3).
9．D
对于A，当AP∥EH时，因为AP⊄平面α，EH⊂平面α，此时AP∥平面α，A对；对于B，当AQ∥FG时，因为AQ⊄平面α，FG⊂平面α，此时AQ∥平面α，B对；对于C，取AC的中点O，GH的中点为M，设 eq \(AG,\s\up6(→))＝λ eq \(AD,\s\up6(→))， eq \(CH,\s\up6(→))＝μ eq \(CB,\s\up6(→))，则有 eq \(OE,\s\up6(→))＝ eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2)( eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,2)( eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→)))，
同理可得 eq \(OF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(OC,\s\up6(→))＋ eq \(OD,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,2)(－ eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OD,\s\up6(→)))，
eq \(OM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(OG,\s\up6(→))＋ eq \(OH,\s\up6(→)))，
eq \(OG,\s\up6(→))＝ eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(AG,\s\up6(→))＝ eq \(OA,\s\up6(→))＋λ eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(OA,\s\up6(→))＋2λ eq \(OF,\s\up6(→))，
eq \(OH,\s\up6(→))＝ eq \(OC,\s\up6(→))＋ eq \(CH,\s\up6(→))＝ eq \(OC,\s\up6(→))＋μ eq \(CB,\s\up6(→))＝ eq \(OC,\s\up6(→))＋2μ eq \(OE,\s\up6(→))＝2μ eq \(OE,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→))，
所以 eq \(OG,\s\up6(→))＋ eq \(OH,\s\up6(→))＝2λ eq \(OF,\s\up6(→))＋2μ eq \(OE,\s\up6(→))，
所以， eq \(OG,\s\up6(→))＝－ eq \(OH,\s\up6(→))＋2λ eq \(OF,\s\up6(→))＋2μ eq \(OE,\s\up6(→))，
因为E、F、G、H四点共面，则2λ＋2μ－1＝1，所以λ＋μ＝1，
所以，2 eq \(OM,\s\up6(→))＝ eq \(OG,\s\up6(→))＋ eq \(OH,\s\up6(→))＝2λ eq \(OF,\s\up6(→))＋2μ eq \(OE,\s\up6(→))，则 eq \(OM,\s\up6(→))＝λ eq \(OF,\s\up6(→))＋μ eq \(OE,\s\up6(→))＝λ eq \(OF,\s\up6(→))＋(1－λ) eq \(OE,\s\up6(→))，
所以， eq \(OM,\s\up6(→))－ eq \(OE,\s\up6(→))＝λ( eq \(OF,\s\up6(→))－ eq \(OE,\s\up6(→)))，可得 eq \(EM,\s\up6(→))＝λ eq \(EF,\s\up6(→))，
即M、E、F三点共线，即GH的中点在EF上，即线段EF平分线段GH，C对；对于D选项，若线段GH平分线段EF，又因为线段EF平分线段GH，则四边形EGFH为平行四边形，事实上，四边形EGFH不一定为平行四边形，故假设不成立，D错．
10．(5，13，－3)
解析：设D(x，y，z)，由题意得 eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))，
∴(x－4，y－1，z－3)＝(1，12，－6)
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝13，,z＝－3，))∴D(5，13，－3).
11．7 eq \r(3)
解析： eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，－1，3)， eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，－3，2)，
∴ eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝－2＋3＋6＝7，| eq \(AB,\s\up6(→))|＝ eq \r(14)，
| eq \(AC,\s\up6(→))|＝ eq \r(14).
又cs 〈 eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AC,\s\up6(→))〉＝ eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝ eq \f(7,\r(14)×\r(14))＝ eq \f(1,2)，
∴sin 〈 eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AC,\s\up6(→))〉＝ eq \f(\r(3),2)，
∴平行四边形的面积S＝| eq \(AB,\s\up6(→))|×| eq \(AC,\s\up6(→))|×sin 〈 eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AC,\s\up6(→))〉＝7 eq \r(3).
12. eq \f(2\r(3),3)
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，
∴＝(2，0，0)，＝(2，0，2)， eq \(DB,\s\up6(→))＝(2，2，0).
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
13.
D 正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2 eq \r(3)，可得D1(0，0，2 eq \r(3))，＝＝(0，0，2 eq \r(3))，点M(a，b，0)，则＝(－a，－b，2 eq \r(3))，由动点M(a，b，0)满足直线MD1与AA1所成夹角为 eq \f(π,6)，可得cs 〈，〉＝ eq \f(12,2\r(3)×\r(a2＋b2＋12))＝ eq \f(\r(3),2)，整理得a2＋b2＝4，由a2＋b2＝4≥2ab，可得ab≤2，当a＝b＝ eq \r(2)时取等号，即最大值为2.
14．C 建立如图所示空间直角坐标系，由题意得，
B′和D′在平面ABCD中的投影分别在BB1和DD1上(如图所示)，
因为AB＝ eq \r(3)BC，令AB＝2 eq \r(3)，则BC＝2，
由比值可知，B′的x，y，z坐标比值为1∶ eq \r(3)∶2，所以令B′坐标为(b， eq \r(3)b，2b)，
因为B′在平面ABCD中的投影在BB1上，
所以b∈(0， eq \f(\r(3),2))，
同理可得D′坐标为(2 eq \r(3)－d，2－ eq \r(3)d，2d)，
E( eq \r(3)，0，0)，G( eq \r(3)，2，0)，F(0，1，0)，H(2 eq \r(3)，1，0)，
则 eq \(EB′,\s\up6(→))＝(b－ eq \r(3)， eq \r(3)b，2b)， eq \(GD′,\s\up6(→))＝( eq \r(3)－d，－ eq \r(3)d，2d)，cs 〈 eq \(EB′,\s\up6(→))， eq \(GD′,\s\up6(→))〉＝ eq \f(|\(EB′,\s\up6(→))·\(GD′,\s\up6(→))|,|\(EB′,\s\up6(→))|·|\(GD′,\s\up6(→))|)，
解得cs 〈 eq \(EB′,\s\up6(→))， eq \(GD′,\s\up6(→))〉＝ eq \f(|\r(3)（b＋d）－3|,3)，因为b和d的范围均为(0， eq \f(\r(3),2))，
所以cs 〈 eq \(EB′,\s\up6(→))， eq \(GD′,\s\up6(→))〉∈(0，1)，即夹角范围是(0， eq \f(π,2))，故A，B错误；
同理可得cs 〈 eq \(FB′,\s\up6(→))， eq \(HD′,\s\up6(→))〉
＝ eq \f(|\r(3)（b＋d）－1|,\r(8b2－2\r(3)b＋1)×\r(8d2－2\r(3)d＋1))∈[0，1)，因为异面直线所成角范围是(0， eq \f(π,2)]，则夹角范围是(0， eq \f(π,2)].即C正确，D错误．
15. eq \f(\r(21),6)
解析：设直线l与平面α所成的角为θ，
则sin θ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(n·a,|n||a|)))＝ eq \f(|2×1＋1×2＋1×3|,\r(22＋12＋12)·\r(12＋22＋32))＝ eq \f(\r(21),6).
16. eq \f(\r(22),11)
解析：
如图所示，作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD.
由SA＝SB，可得OA＝OB.又由∠ABC＝45°，得△ABO为等腰直角三角形，OA⊥OB.建立如图所示空间直角坐标系O－xyz，则A( eq \r(2)，0，0)，B(0， eq \r(2)，0)，C(0，－ eq \r(2)，0)，S(0，0，1)，D( eq \r(2)，－2 eq \r(2)，0)， eq \(DS,\s\up6(→))＝(－ eq \r(2)，2 eq \r(2)，1)， eq \(SA,\s\up6(→))＝( eq \r(2)，0，－1)， eq \(SB,\s\up6(→))＝(0， eq \r(2)，－1).
设平面SAB的法向量为n＝(x1，y1，z1)，
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(SA,\s\up6(→))＝0，,n·\(SB,\s\up6(→))＝0))得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\r(2)x1－z1＝0，,\r(2)y1－z1＝0，))
令z1＝ eq \r(2)，得n＝(1，1， eq \r(2)).
设直线SD与平面SAB所成角为θ，
则sin θ＝|cs 〈 eq \(DS,\s\up6(→))，n〉|＝ eq \f(|\(DS,\s\up6(→))·n|,|\(DS,\s\up6(→))||n|)＝ eq \f(|－\r(2)＋2\r(2)＋\r(2)|,\r(11)×2)＝ eq \f(\r(22),11).
所以直线SD与平面SAB所成角的正弦值为 eq \f(\r(22),11).