统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练61二项式定理理

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练61二项式定理理，共5页。

[基础强化]
一、选择题
1．[2023·江西省九师联考]若( eq \r(x)－ eq \f(2,x))n的展开式中第3项为常数项，则该展开式中各项系数的和为( )
A．729 B．64
C．1 D．－1
2．[2023·山西省高三一模](3x3－ eq \f(1,2x))4展开式中的常数项是( )
A．－ eq \f(27,2) B．－ eq \f(3,2)
C． eq \f(3,2) D． eq \f(27,2)
3．[2023·四川省凉山诊断性检测]( eq \f(1,2)x－2y)5的展开式中x2y3的系数是( )
A．－20 B．－5
C．5 D．20
4．[2023·郑州市第二次质检](2x2－ eq \f(a,x))(x－ eq \f(2,x))4的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中的常数项为( )
A．－32 B．32
C．－64 D．64
5．[2023·皖北协作区联考]若(2x3＋y2)n的二项展开式中某项为bx6y6，则b＝( )
A．15 B．40
C．60 D．80
6．已知随机变量X～N(1，σ2)，且P(X<0)＝P(X≥a)，则二项式(x＋ eq \f(a,\r(x)))10的展开式中有理项的个数为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
7．[2023·河南省濮阳模拟] 若(a＋2x2)(1＋x)n(n∈N*)的展开式中各项系数之和为256，且常数项为2，则该展开式中x4的系数为( )
A．30 B．45
C．60 D．81
8．[2023·山西省大庆模拟]( eq \f(1,x6)－2)(x3－1)6的展开式中的常数项为( )
A．13 B．17
C．－13 D．－17
9．[2023·黑龙江省大庆质检]在(x＋ eq \f(a,x))n的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含x6的项系数为( )
A．45 B．－45
C．120 D．－120
二、填空题
10．[2023·泸州市诊断性考试](2x＋ eq \f(1,\r(x)))6的展开式中的常数项为________(用数字作答).
11．[2022·新高考Ⅰ卷，13](1－ eq \f(y,x))(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答).
12．在二项式(x＋ eq \f(a,x))8展开式中，若前三项的系数成等差数列，则实数a＝________．
[能力提升]
13．[2023·安徽省高三适应性考试](x2－2x＋3y)5的展开式中x3y2的系数为________．
14．[2023·福建省名校联考]二项式( eq \r(x)－ eq \r(3,x))5的展开式中含x2的项的系数是________．(用数字作答)
15．[2023·海南省高三诊断性测试]若(2x－1)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n＝________．(写出一个即可)
16．[2023·嘉兴市模拟考试]已知多项式(a＋x)4＋(2x－1)5＝a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5(a∈R)，则a＝________，a4＋a5＝________．
专练61 二项式定理
1．C 因为T3＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ( eq \r(x))n－2(－ eq \f(2,x))2＝4C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) x eq \s\up6(\f(n－6,2))为常数项，所以 eq \f(n－6,2)＝0，所以n＝6.令x＝1，得( eq \r(x)－ eq \f(2,x))6展开式的各项系数和为(1－2)6＝1.
2．B (3x3－ eq \f(1,2x))4展开式的通项为Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(4)) (3x3)4－r·(－ eq \f(1,2x))r＝34－r·(－ eq \f(1,2))r·C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(4)) ·x12－4r，
令12－4r＝0，则r＝3，
所以(3x3－ eq \f(1,2x))4展开式中的常数项是3×(－ eq \f(1,8))×C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ＝－ eq \f(3,2).
3．A 由二项展开式的通项可得，第四项T4＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ( eq \f(1,2)x)2·(－2y)3＝－20x2y3，故x2y3的系数为－20.
4．C 令x＝1得(2－a)(1－2)4＝3，解得a＝－1，其中(x－ eq \f(2,x))4的通项公式为Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(4)) x4－r(－2x－1)r＝(－2)rC eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(4)) x4－2r，令4－2r＝－2得r＝3，所以T4＝(－2)3C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) x－2＝－32x－2，则2x2·(－32)x－2＝－64，令4－2r＝1，此时r＝ eq \f(3,2)，不合题意，综上，该展开式中的常数项为－64.
5．B 由题意，二项式(2x3＋y2)n展开式的通项为Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(n)) (2x3)n－r(y2)r＝2n－rC eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(n)) x3(n－r)y2r，因为(2x3＋y2)n的二项展开式中某项为bx6y6，可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2r＝6,3（n－r）＝6))，解得n＝5，r＝3，所以b＝22·C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ＝40.
6．B 由题可知，x轴上，0和a关于1对称，故a＝2；
(x＋ eq \f(a,\r(x)))10的通项为Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(10)) ·x10－r·(2·x－ eq \f(1,2))r＝2r·C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(10)) ·x10－ eq \f(3r,2)，
当r＝0，2，4，6，8，10时，为有理项．
7．C 令x＝0，得a＝2，所以(a＋2x2)(1＋x)n＝(2＋2x2)(1＋x)n，令x＝1，得4×2n＝256，所以n＝6，故该展开式中x4的系数为2C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(6)) ＋2C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ＝60.
8．A (x3－1)6的展开式通项为Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(6)) ·(x3)6－k·(－1)k＝Ck6·(－1)k·x18－3k，
因为( eq \f(1,x6)－2)(x3－1)6＝ eq \f(1,x6)(x3－1)6－2(x3－1)6，
在 eq \f(1,x6)Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(6)) ·(－1)k·x12－3k中，令12－3k＝0，可得k＝4，
在2Tr＋1＝2C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(6)) ·(－1)r·x18－3r中，令18－3r＝0，可得r＝6，
所以，( eq \f(1,x6)－2)(x3－1)6的展开式中的常数项为C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(6)) －2C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(6)) ＝13.
9．A ∵在(x＋ eq \f(a,x))n的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，
∴在(x＋ eq \f(a,x))n的展开式有11项，即n＝10；
而展开式的所有项的系数和为0，
令x＝1，代入(x＋ eq \f(a,x))n＝0, 即(1＋a)10＝0，所以a＝－1.
∴(x－ eq \f(1,x))10是展开式的通项公式为
Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(10)) x10－r(－ eq \f(1,x))r＝(－1)rC eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(10)) x10－2r，
要求含x6的项，只需10－2r＝6，解得r＝2，所以系数为(－1)2·C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) ＝ eq \f(10×9,2×1)＝45.
10．60
解析：二项展开式的通项公式为
Tr＋1＝Ceq \\al(\s\up1(r),\s\d1(6))(2x)6－r( eq \f(1,\r(x)))r＝26－rC eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(6)) x6－ eq \f(3,2)r，
令6－ eq \f(3,2)r＝0，则r＝4，故常数项为22C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ＝60.
11．－28
解析：(1－ eq \f(y,x))(x＋y)8＝(x＋y)8－ eq \f(y,x)(x＋y)8，由二项式定理可知其展开式中x2y6的系数为C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(8)) －C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(8)) ＝－28.
12. eq \f(1,2)或 eq \f(1,14)
解析：二项式(x＋ eq \f(a,x))8的展开式的通项公式为C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(8)) ·x8－r·(ax－1)r＝ar·Cr8·x8－2r，
前三项的系数a0·C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(8)) ，a1·C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(8)) ，a2·C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(8)) 成等差数列，所以2a1·C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(8)) ＝a0·C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(8)) ＋a2·C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(8)) ，即28a2－16a＋1＝0，
解得a＝ eq \f(1,2)或 eq \f(1,14).
13．－720
解析：由题意可知(x2－2x＋3y)5＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（x2－2x）＋3y)) eq \s\up12(5)，
展开式的通项公式为Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(5)) (x2－2x)5－r(3y)r＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(5)) · eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(C eq \\al(\s\up1(t),\s\d1(5－r)) （x2）5－r－t（－2x）t))·(3y)r＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(5)) ·C eq \\al(\s\up1(t),\s\d1(5－r)) ·(－2x)t·(x2)5－r－t·(3y)r＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(5)) ·C eq \\al(\s\up1(t),\s\d1(5－r)) ·(－2)t·3r·x10－2r－t·yr，由于要求展开式中x3y2的系数，所以r＝2，t＝3.
则展开式中x3y2的系数为C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ·C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ·(－2)3·32＝－720.
14．－10
解析：因为( eq \r(x)－ eq \r(3,x))5展开式的通项为Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(5)) ( eq \r(x))5－r(－ eq \r(3,x))r＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(5)) x eq \s\up6(\f(15－r,6))(－1)r，令 eq \f(15－r,6)＝2，解得r＝3，所以T4＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) x2(－1)3＝－10x2，故展开式中x2项的系数为－10.
15．8(答案不唯一)
解析：由题意，二项式(2x－1)n的展开式中第5项的二项式系数最大，
可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(n)) ≥C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(n)) ,C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(n)) ≥C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(n)) ))，
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(n（n－1）（n－2）（n－3）,4×3×2×1)≥\f(n（n－1）（n－2）,3×2×1),\f(n（n－1）（n－2）（n－3）,4×3×2×1)≥\f(n（n－1）（n－2）（n－3）（n－4）,5×4×3×2×1)))，
解得7≤n≤9，所以n＝7或8或9.
16．±1 －47
解析：因为多项式(a＋x)4＋(2x－1)5＝a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5(a∈R)，
所以C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(4)) a4＋C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) (－1)5＝0，
即a4＝1，解得a＝±1，
又a4＝C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) 24(－1)＝－79，a5＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(5)) 25＝32，
所以a4＋a5＝－79＋32＝－47.