统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练63离散型随机变量及其分布列理

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练63离散型随机变量及其分布列理，共5页。

[基础强化]
一、选择题
1．设随机变量X的分布列如下：
则p为( )
A． eq \f(1,6) B． eq \f(1,3) C． eq \f(2,3) D． eq \f(1,2)
2．随机变量ξ的分布列如下：
其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝1)等于( )
A． eq \f(1,3) B． eq \f(1,4) C． eq \f(1,2) D． eq \f(2,3)
3．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是( )
A.第5次击中目标 B．第5次未击中目标
C.前4次未击中目标 D．第4次击中目标
4．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为( )
A．25 B．10 C．7 D．6
5．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝m( eq \f(2,3))k，k＝1，2，3，则m的值是( )
A． eq \f(17,36) B． eq \f(27,38) C． eq \f(17,19) D． eq \f(27,19)
6．一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球，从中任意摸出两个球，用0表示两个球都是白球，用1表示两个球不全是白球，则满足条件X的分布列为( )
7．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝ eq \f(i,2a)(i＝1，2，3)，则P(X＝2)＝( )
A. eq \f(1,9) B． eq \f(1,6) C． eq \f(1,3) D． eq \f(1,4)
8．若随机变量X的分布列为
则当P(XA．(－∞，2] B．[1，2]
C．(1，2] D．(1，2)
9．[2023·山西省长治模拟]从装有3个白球m个红球n个黄球(这些小球除颜色外完全相同)的布袋中任取两个球，记取出的白球的个数为X，若E(X)＝ eq \f(3,5)，取出一白一红的概率为 eq \f(1,3)，则取出一红一黄的概率为( )
A． eq \f(2,9) B． eq \f(1,3) C． eq \f(4,15) D． eq \f(1,5)
二、填空题
10．已知离散型随机变量X的分布列如下：
则常数C＝________．
11．设随机变量X的概率分布列为
则P(|X－3|＝1)＝________．
12．从装有3个红球2个白球的袋中随机取出2个球，其中有X个红球，则随机变量X的分布列为________．
[能力提升]
13．某贫困县所辖15个小镇中有9个小镇交通比较方便，有6个不太方便．现从中任意选取10个小镇，其中有X个小镇交通不太方便．下列概率中等于 eq \f(C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(6)) C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(9)) ,C eq \\al(\s\up1(10),\s\d1(15)) )的是( )
A．P(X＝4) B．P(X≤4)
C．P(X＝6) D．P(X≤6)
14．甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是 eq \f(1,2)外，其余每局甲队获胜的概率都是 eq \f(2,3)，则甲队获胜的概率为( )
A． eq \f(8,27) B． eq \f(16,27) C． eq \f(4,9) D． eq \f(20,27)
15．已知随机变量X的概率分别为P1，P2，P3，且依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．
16．[2023·嘉兴市高三模拟]袋中有大小相同、质地均匀的1个红球、1个绿球和n个黄球．现从袋中每次随机取出一个且不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为 ξ，若P(ξ＝0)＝ eq \f(1,4)，则n＝________，E(ξ)＝________．
专练63 离散型随机变量及其分布列
1．B 由分布列的性质可知 eq \f(1,6)＋ eq \f(1,3)＋ eq \f(1,6)＋p＝1.
∴p＝ eq \f(1,3).
2．D ∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b，由分布列的性质可知a＋b＋c＝1，∴b＝ eq \f(1,3)，∴P(|ξ|＝1)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)＝1－ eq \f(1,3)＝ eq \f(2,3).
3．C
4．C 从5个球中任取2个球，则2个球号码之和可能取的值为3，4，5，6，7，8，9共有7个值．
5．B 由题意得，m( eq \f(2,3)＋ eq \f(4,9)＋ eq \f(8,27))＝1，∴m＝ eq \f(27,38).
6．A 由题可知P(X＝0)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) )＝ eq \f(3,21)＝ eq \f(1,7)，
P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝1－ eq \f(1,7)＝ eq \f(6,7).
7．C 由分布列的性质可知， eq \f(1,2a)＋ eq \f(2,2a)＋ eq \f(3,2a)＝ eq \f(6,2a)＝1，得a＝3，P(X＝2)＝ eq \f(2,2a)＝ eq \f(1,3).
8．C P(X<2)＝P(X＝－2)＋P(X＝－1)＋P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.8.
∴1＜a≤2.
9．A 依题意，X的可能值为0，1，2，则有P(X＝0)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(m＋n)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(m＋n＋3)) )，P(X＝1)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(m＋n)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(m＋n＋3)) )，P(X＝2)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(m＋n＋3)) )，于是得E(X)＝1· eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(m＋n)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(m＋n＋3)) )＋2· eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(m＋n＋3)) )＝ eq \f(6（m＋n）＋12,（m＋n＋3）（m＋n＋2）)＝ eq \f(6,m＋n＋3)＝ eq \f(3,5)，解得m＋n＝7，袋中共有10个球，因此，取出一白一红的概率为 eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(m)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) )＝ eq \f(3m,45)＝ eq \f(m,15)＝ eq \f(1,3)，解得m＝5，则n＝2，所以取出一红一黄的概率为 eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) )＝ eq \f(10,45)＝ eq \f(2,9).
10. eq \f(1,3)
解析：由9C2－C＋3－8C＝1，得C＝ eq \f(1,3)或C＝ eq \f(2,3)，
又当C＝ eq \f(2,3)时，9C2－C＝9× eq \f(4,9)－ eq \f(2,3)>1，不合题意，当C＝ eq \f(1,3)时符合题意．
∴C＝ eq \f(1,3).
11. eq \f(5,12)
解析：由分布列的性质知 eq \f(1,3)＋m＋ eq \f(1,4)＋ eq \f(1,6)＝1，得m＝ eq \f(1,4).
P(|X－3|＝1)＝P(X＝4)＋P(X＝2)＝ eq \f(1,6)＋ eq \f(1,4)＝ eq \f(5,12).
12.
解析：由题意得，X可取的值为0，1，2，
则P(X＝0)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) )＝ eq \f(1,10)，P(X＝1)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) )＝ eq \f(6,10)＝ eq \f(3,5)，P(X＝2)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) )＝ eq \f(3,10).
13．A
14．D 若甲队以3∶0获胜，
则P1＝( eq \f(2,3))3＝ eq \f(8,27)；若甲队以3∶1获胜，则P2＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ( eq \f(2,3))2(1－ eq \f(2,3))× eq \f(2,3)＝ eq \f(8,27)；
若甲队以3∶2获胜，
则P3＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ( eq \f(2,3))2×(1－ eq \f(2,3))2× eq \f(1,2)＝ eq \f(4,27).
∴甲队获胜的概率P＝P1＋P2＋P3＝ eq \f(20,27)，故选D.
15. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,3)))
解析：∵P1，P2，P3成等差数列，且P1＋P2＋P3＝1，
∴P2＝ eq \f(1,3)，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(P1＝\f(1,3)－d≥0，,P2＝\f(1,3)＋d≥0，))得－ eq \f(1,3)≤d≤ eq \f(1,3).
16．3 eq \f(3,2)
解析：由题意，此过程中取到黄球的个数为ξ，
可得ξ＝0表示取到红球后(停止取球)，还没有取到黄球，有以下两种情况：
第一次取到红球，概率为P1＝ eq \f(1,n＋2)；
第一次取到绿球，第二次取到红球，概率为P2＝ eq \f(1,n＋2)· eq \f(1,n＋1)，
所以P(ξ＝0)＝P1＋P2＝ eq \f(1,n＋2)＋ eq \f(1,n＋2)· eq \f(1,n＋1)＝ eq \f(1,4)，解得n＝3，
所以随机变量ξ允许取的值为0，1，2，3，
可得P(ξ＝0)＝ eq \f(1,4)，P(ξ＝1)＝ eq \f(3,5)× eq \f(1,4)＋ eq \f(3,5)× eq \f(1,4)× eq \f(1,3)＋ eq \f(1,5)× eq \f(3,4)× eq \f(1,3)＝ eq \f(1,4)，
P(ξ＝2)＝ eq \f(3,5)× eq \f(2,4)× eq \f(1,3)＋ eq \f(3,5)× eq \f(2,4)× eq \f(1,3)× eq \f(1,2)＋ eq \f(3,5)× eq \f(1,4)× eq \f(2,3)× eq \f(1,2)＋ eq \f(1,5)× eq \f(3,4)× eq \f(2,3)× eq \f(1,2)＝ eq \f(1,4)，
P(ξ＝3)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝ eq \f(1,4)，
所以随机变量ξ的分布列为：
所以期望为E(ξ)＝0× eq \f(1,4)＋1× eq \f(1,4)＋2× eq \f(1,4)＋3× eq \f(1,4)＝ eq \f(3,2).
X
1
2
3
4
P
eq \f(1,6)
eq \f(1,3)
eq \f(1,6)
p
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
X
0
1
P
9C2－C
3－8C
X
1
2
3
4
P
eq \f(1,3)
m
eq \f(1,4)
eq \f(1,6)
X
0
1
2
P
eq \f(1,10)
eq \f(3,5)
eq \f(3,10)
ξ
0
1
2
3
P
eq \f(1,4)
eq \f(1,4)
eq \f(1,4)
eq \f(1,4)