初中苏科版第1章 一元二次方程1.3 一元二次方程的根与系数的关系随堂练习题

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1.3 一元二次方程的根与系数的关系（精选题）-苏科版数学九年级上册
一．选择题
1．若x1，x2是方程2x2﹣6x+3＝0的两个根，则的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
2．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0有（　　）
A．两个相等的实数根
B．两个不相等的正数根
C．两个不相等的负数根
D．一个正数根和一个负数根
3．若m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m3﹣4n2+17的值为（　　）
A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4
4．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根，且x1+x2＝5，x1•x2＝6，则该一元二次方程是（　　）
A．x2+5x+6＝0 B．x2﹣5x+6＝0 C．x2﹣6x+5＝0 D．x2﹣6x﹣5＝0
5．对于二次三项式x2+mxy﹣2x（m为常数），下列结论正确的个数有（　　）
①当m＝﹣1时，若x2+mxy﹣2x＝0，则x﹣y＝2
②无论x取任何实数，等式x2+mxy﹣2x＝3x都恒成立，则（x+my）2＝25
③若x2+xy﹣2x＝6，y2+xy﹣2y＝8，则x+y＝1+
④满足（x2+xy﹣2x）+（y2﹣xy﹣2y）≤0的整数解（x，y）共有8个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2022的值是（　　）
A．2023 B．2021 C．2026 D．2019
7．若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
8．已知实数α，β满足2α2+5α﹣2＝0，2β2﹣5β﹣2＝0，且αβ≠1，且的值为（　　）
A． B． C． D．
9．若x1，x2是x2+bx﹣3b＝0的两个根，且x12+x22＝7，则b的值是（　　）
A．﹣7 B．1 C．1或7 D．7或﹣1
10．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的两倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，以下说法不正确的是（　　）
A．方程x2﹣3x+2＝0是2倍根方程
B．若关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0是2倍根方程，则m+n＝0
C．若m+n＝0且m≠0，则关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0是2倍根方程
D．若2m+n＝0且m≠0，则关于x的方程x2+（m﹣n）x﹣mn＝0 是2倍根方程

二．填空题
11 ．已知方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣x22+4x2的值为 　 　．
12 ．关于x的一元二次方程x2﹣kx+4＝0的两个实数根分别是x1、x2，且满足x12+x22﹣2x1﹣2x2﹣7＝0，则k的值为 　 　．
13 ．若m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根，则m2+n2﹣mn的值是　 　．
14 ．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2m＝0有两个不相等的实数根x1、x2．若x1﹣2x2＝6，则实数m的值为　 　．
15 ．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 　 　（填序号）．
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；
③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程．

三．解答题
16 ．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m﹣2＝0．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根为x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．
17 ．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣9x+18＝0的两个根是3和6，则方程x2﹣9x+18＝0就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程x2﹣6x+k＝0是“倍根方程”，则k＝　 　；
（2）若一元二次方程nx2﹣（2n+m）x+2m＝0（n≠0）是“倍根方程”，求的值；
18 ．已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣2（n﹣1）x+n2﹣2n＝0的两个根，第三边BC的长是10．
（1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）当n为何值时；△ABC为等腰三角形？并求△ABC的周长．
（3）当n为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
19 ．设关于x的方程x2﹣5x﹣m2+1＝0的两个实数根分别为α、β．
（1）证明：无论实数m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当|α|+|β|≤6时，试确定实数m的取值范围．
20 ．阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，
则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　 　．x1x2＝　 　．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．


参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：
＝
＝
＝2．
故选：A．
2．【解答】解：x2﹣2x﹣5＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣5）＝24＞0，
所以方程有两个不相等的实数根，
设方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根为e、f，则ef＝﹣5＜0，则e和f异号，
即方程有一个正数根和一个负数根，
故选：D．
3．【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴m2+m﹣3＝0，n2+n﹣3＝0，m+n＝﹣1，
∴m2＝3﹣m，n2＝3﹣n，
∴m3＝3m﹣m2＝3m﹣3+m＝4m﹣3，4n2＝12﹣4n，
∴m3﹣4n2+17
＝4m﹣3﹣12+4n+17
＝4（m+n）+2
＝4×（﹣1）+2
＝﹣4+2
＝﹣2，
故选：A．
4．【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根，x1+x2＝5，x1•x2＝6，
∴该一元二次方程是x2﹣5x+6＝0，
故选：B．
5．【解答】解：∵x2+mxy﹣2x（m为常数）为二次三项式，
∴m≠0，
①当m＝﹣1时，x2﹣xy﹣2x＝0，
∴x（x﹣y﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣y＝2，故①错误；
②∵无论x取任何实数，等式x2+mxy﹣2x＝3x都恒成立，
∴x2+mxy﹣5x＝0，
∴x+my﹣5＝0，
∴x+my＝5，
∴（x+my）2＝25，
故②正确；
③∵x2+xy﹣2x＝6，y2+xy﹣2y＝8，
∴x2+xy﹣2x+y2+xy﹣2y＝14，
∴（x+y）2﹣2（x+y）﹣14＝0，
∴（x+y）＝1±，
故③错误；
④∵（x2+xy﹣2x）+（y2﹣xy﹣2y）≤0，
∴x2+y2﹣2x﹣2y≤0，
∴（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，
∴0≤（x﹣1）2≤2，0≤（y﹣2）2≤2，
∵x，y为整数，
∴满足（x2+xy﹣2x）+（y2﹣xy﹣2y）≤0的整数解为（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2）共9个，
故④错误；
故选：A．
6．【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴a2＝﹣a+3，a+b＝﹣1，
∴a2﹣b+2022
＝﹣a+3﹣b+2022
＝﹣（a+b）+2025
＝1+2025
＝2026．
故选：C．
7．【解答】解：将x＝n代入方程，得n2+2n﹣1＝0．
所以2n﹣1＝﹣n2．
根据根与系数的关系，得m+n＝﹣2，
所以＝＝﹣（m+n）＝﹣（﹣2）＝2．
故选：C．
8．【解答】解：方法1：∵2β2﹣5β﹣2＝0，
∴β≠0，
方程两边同时除以﹣β2，可得2（）2+5×﹣2＝0，
又2α2+5α﹣2＝0，
∴α、是方程2x2+5x﹣2＝0的两实根，
∴α+＝﹣，α•＝﹣1，
∴
＝﹣×+1+α•﹣α
＝﹣（α+）+α•+1
＝﹣×（﹣）+（﹣1）+1
＝．
方法2：
＝（+α）﹣α
＝﹣×﹣α
＝﹣×（+α）
＝﹣×（﹣）
＝．
故选：A．
9．【解答】解：∵x1、x2是关于x的方程x2+bx﹣3b＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣b，x1x2＝﹣3b．
又∵x12+x22＝7，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝b2+6b＝7，
解得b＝﹣7或1，
当b＝﹣7时，Δ＝49﹣84＜0，方程无实数根，应舍去，取b＝1．
故选：B．
10．【解答】解：A、解方程x2﹣3x+2＝0得x1＝1，x2＝2，所以A选项的说法正确，不符合题意；
B、解方程得x1＝2，x2＝﹣，当﹣＝2×2，则4m+n＝0；当﹣＝×2，则m+n＝0，所以B选项的说法错误，符合题意；
C、解方程得x1＝2，x2＝﹣，而m+n＝0，则x2＝1，所以C选项的说法正确，不符合题意；
D、解方程得x1＝﹣m，x2＝n，而2m+n＝0，即n＝﹣2m，所以x2＝2x1，所以D选项的说法正确，不符合题意．
故选：B．

二．填空题
11 ．【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，
∴x12＝2x1+2，x22＝2x2+2，x1+x2＝2．
∴x12﹣x22+4x2
＝（2x1+2）﹣（2x2+2）+4x2
＝2（x1+x2）
＝2×2
＝4．
故答案是：4．
12 ．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣kx+4＝0的两个实数根分别是x1、x2，
∴x1+x2＝k，x1x2＝4，
∵x12+x22﹣2x1﹣2x2﹣7＝0，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2）﹣7＝0，
∴k2﹣2×4﹣2k﹣7＝0，
整理得：k2﹣2k﹣15＝0，
解得：k＝5或k＝﹣3，
当k＝﹣3时，Δ＝32﹣4×1×4＝9﹣16＝﹣7＜0，则原方程无实数解，
故k＝5．
故答案为：5．
13 ．【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根，
∴m+n＝5，mn＝﹣2，
则m2+n2﹣mn
＝m2+n2+2mn﹣3mn
＝（m+n）2﹣3mn
＝52﹣3×（﹣2）
＝25+6
＝31，
故答案为：31．
14 ．【解答】解：由题意知x1+x2＝3，
∵x1﹣2x2＝6，即x1+x2﹣3x2＝6，
∴3﹣3x2＝6，
解得：x2＝﹣1，
代入到方程中，得：1+3+2m＝0，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
15 ．【解答】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得x1＝2，x2＝﹣1，得x1≠2x2，
∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；
故①不正确；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，
因此x2＝1或x2＝4，
当x2＝1时，m+n＝0，
当x2＝4时，4m+n＝0，
∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，
故②正确；
③∵pq＝2，
∴px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，
∴x1＝﹣，x2＝﹣q，
∴x2＝﹣q＝﹣＝2x1，
因此是倍根方程，
故③正确．
故答案为：②③．

三．解答题
16 ．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m﹣2）
＝4m2+4m+1﹣4m+8
＝4m2+9＞0，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：由根与系数的关系，得x1+x2＝2m+1，x1x2＝m﹣2，
由x1+x2+3x1x2＝1，得2m+1+3（m﹣2）＝1，
解得m＝．
17 ．【解答】解：（1）设一元二次方程x2﹣6x+k＝0两根为α和2α，
则，
解得，
故答案为：8；
（2）由一元二次方程nx2﹣（2n+m）x+2m＝0得（nx﹣m）（x﹣2）＝0，
∴x＝或x＝2，
∵一元二次方程nx2﹣（2n+m）x+2m＝0（n≠0）是“倍根方程”，
∴＝4或＝1，
当＝4时，m＝4n，
∴＝＝，
当＝1时，m＝n，
∴＝＝2，
综上所述，的值为或2．
18 ．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣2（n﹣1）]2﹣4（n2﹣2n）＝4＞0，
∴无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得，无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根，
∵第三边BC的长是10，
当△ABC为等腰三角形时，x＝10为一元二次方程的一个根，
当x＝10时，100﹣20（n﹣1）+n2﹣2n＝0，
解得n＝12或10，
①当n＝12时，方程变为x2﹣22x+120＝0，
设等腰三角形的底为m，
根据根与系数的关系，m+10＝22，
∴m＝12，
∴△ABC的周长为：10+10+12＝32；
②当n＝10时，方程变为x2﹣18x+80＝0，
设等腰三角形的底为n，
根据根与系数的关系，10+n＝18，
解得n＝8，
∴△ABC的周长为10+10+8＝28；
综上，当n＝12时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为32；
当n＝10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28；
（3）解：∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣2（n﹣1）x+n2﹣2n＝0的两个根，
∴AB+AC＝2（n﹣1），AB•AC＝n2﹣2n，
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC＝10，
∴AB2+AC2＝BC2，
即4（n﹣1）2﹣2（n2﹣2n）＝100，
解得n＝8或﹣6，
当n＝8时，AB+AC＝2×（8﹣1）＝14，符合题意，
当n＝﹣6时，AB+AC＝2×（﹣6﹣1）＝﹣14，不合题意，
综上，n＝8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
19 ．【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣5）2﹣4（﹣m2+1）＝4m2+21＞0，
∴无论实数m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵α+β＝5，αβ＝1﹣m2，|α|+|β|≤6，
∴α2+β2+2|αβ|≤36，
即（α+β）2﹣2αβ+2|αβ|≤36．
∴25﹣2（1﹣m2）+2|1﹣m2|≤36，
当1﹣m2≥0时，25≤36成立，
∴﹣1≤m≤1①．
当1﹣m2＜0时，
得25﹣4（1﹣m2）≤36，
∴−≤m≤②．
由①、②得−≤m≤．
20 ．【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝＝，x1x2＝＝﹣，
故答案为：，﹣；
（2）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，
∴m+n＝，mn＝﹣，
∴
＝
＝
＝
＝；
（3）∵实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，
∴s与t看作是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，
∴s+t＝，st＝﹣，
∴（s﹣t）2＝（s+t）2﹣4st，
（s﹣t）2＝（）2﹣4×（﹣），
（s﹣t）2＝，
∴s﹣t＝，
∴
＝
＝
＝
＝．