数学必修 第二册第十章 概率10.1 随机事件与概率教学设计及反思

教学环节

问题或任务

师生活动

设计意图

创设情境，引入新课

[问题1] 我们一次向上抛掷红、黄、蓝三颗骰子，可能出现多少种不同的结果呢？

[问题2] 上述试验中所有不同的样本点有何特点？

教师1： 提出问题1．

学生1：学生思考．216种

教师2：提出问题2．

学生2：(1)任何两个样本点之间是互斥的，(2)所有样本点出现可能性相等.

通过创设情境，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

探索交流，解决问题

[问题3] “抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是样本点吗？

[问题4] 若一次试验的结果所包含的样本点的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？

[问题5] 掷一枚不均匀的骰子，求出现点数为偶数点的概率，这个概率模型还是古典概型吗？

教师3：小结：1.概率、古典概型的定义

(1)概率的定义：对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率．事件A的概率用P(A)表示．

(2)古典概型的特点：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．

2.古典概型的概率计算公式

样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则P(A)＝＝， 其中，n(A)与n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．

教师4：提出问题3．

学生3：不是.“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”包含一枚正面向上，两枚正面向上，所以不是样本点.

教师5：提出问题4．

学生4：不一定是，还要看每个样本点发生的可能性是否相同，若相同才是，否则不是.

教师6：提出问题5．

学生5：不是.因为骰子不均匀，所以每个样本点出现的可能性不相等.

通过具体问题的概率计算，归纳分析古典概型的特点及运算方法。发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养

典例分析，举一反三

1.古典概型的判断

例1.袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其它球的编号，从中摸出一个球.

(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作是一个样本点概率模型，该模型是不是古典概型？

(2)若按球的颜色为样本点，有多少个样本点？以这些样本点建立概率模型，该模型是不是古典概型？

2. 古典概型的计算

例2 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为I号和II号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果，

（1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；

（2）求下列事件的概率：A=“两个点数之和是5”；B=“两个点数相等”；C=“I号骰子的点数大于II号骰子的点数”.

3.古典概型的应用

例3.从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次.

(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；

(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？

[课堂练习1]

下列概率模型中，是古典概型的个数为(　　)

(1)从区间[1,10]内任取一个数，求取到1的概率；

(2)从1～10中任意取一个整数，求取到1的概率；

(3)在一个正方形ABCD内画一点P，求P刚好与点A重合的概率；

(4)向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率．

A．1      B．2

C．3      D．4

[课堂练习2]

某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.

(1)若从这6个国家中任选2个 ，求这2个国家都是亚洲国家的概率；

(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.

教师7：完成例题1.

学生6：(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号.故共有11种不同的摸法，又因为所有球大小相同.因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为样本点的概率模型为古典概型.

(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个样本点，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”.

因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为.

因为白球有5个，所以一次摸球摸中白球的可能性为.

同理可知，摸中黑球、红球的可能性均为.

显然这三个样本点出现的可能性不相等，

所以以颜色为样本点的概率模型不是古典概型.

教师8：完成例题2.

学生7：（1）抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，I号骰子的每一个结果都可与II号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果.用数字m表示I号骰子出现的点数是m，数字n表示II号骰子出现的点数是n，则数组表示这个试验的一个样本点.因此该试验的样本空间，其中共有36个样本点.

由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型.

（2）因为，所以，

从而；

因为，所以，

从而；

因为C={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),

(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)}，

所以，从而；

教师9：完成例题3．

学生8：(1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品.Ω由6个样本点组成，这些样本点的出现是等可能的.用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}.

事件A由4个样本点组成，所以P(A)＝＝.

(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)}，共9个样本点.

用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}.

事件B由4个样本点组成，所以P(B)＝.

教师10：布置课堂练习1、2．

学生9：完成课堂练习，并核对答案．

通过实例分析，让学生掌握分析古典概型的方法，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养

[课堂练习1]

巩固古典概型的判断．

[课堂练习2] 能应用古典概型解决实际问题.

课堂小结

升华认知

[问题6]通过这节课，你学到了什么知识？

在解决问题时，用到了哪些数学思想？

[课后练习] 1.下列是古典概型的是(　　)

①从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小．

②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率．

③近三天中有一天降雨的概率．

④10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．

A．①②③④

B．①②④

C．②③④

D．①③④

2、甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各个小组的可能性相同)，则两人参加同一个学习小组的概率为　(　　)

A.　 B.  C.  D.

3、从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都当选的概率为(　　)

A.　B.  C.　D.

4、在1，2，3，4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________．

教师11：提出问题6．

学生10：

学生11：学生课后进行思考，并完成课后练习．

【答案】1.B    2.A     3.C      4.

师生共同回顾总结．引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．

课后练习是对定理巩固，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．