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+福建省福州市长乐区2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷（含答案）
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这是一份+福建省福州市长乐区2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年福建省福州市长乐区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）菱形不具有的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．四个角都相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
3．（4分）甲、乙、丙、丁参加体育训练，近期10次跳绳测试的平均成绩都是每分钟170下，其方差如下表：
选手
甲
乙
丙
丁
方差
0.023
0.015
0.020
0.026
这四个人发挥最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（4分）由下列线段为边组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．13，14，15 D．30，40，50
5．（4分）已知一次函数y＝kx+1（k≠0），y随x的增大而减小，则它的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．+＝ B．2﹣＝2 C．2÷＝ D．（2）2＝6
7．（4分）一组数据：2，4，4，4，6，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
8．（4分）若关于x的一元二次方程（x﹣2）2+m＝0有实数解，则m的取值是（ ）
A．m≤0 B．m＝0 C．m＞0 D．全体实数
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上（不与端点重合），且BF＝CE，BE与AF相交于点G，则下列结论不正确的是（ ）
A．BE＝AF B．∠DAF＝∠BEC C．AG＝EG D．AG⊥EG
10．（4分）在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y＝x上的动点，A（2，0），B（4，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为（ ）
A．2+2 B．2 C．2 D．6
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
12．（4分）滨海中学规定学生学期体育成绩按课外活动成绩、期中成绩、期末成绩2：3：5的比计算．小明同学本学期三项成绩依次为90分、80分、90分，则小明同学本学期的体育成绩是 分．
13．（4分）如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD＝ ．
14．（4分）已知x＝是关于x的方程x2﹣x+m＝0的一个根，则m的值为 ．
15．（4分）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为 ．
16．（4分）甲、乙二人从学校出发去冰心文学馆，甲步行一段时间后，乙骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行，他们的路程差s（m）与甲出发时间t（min）之间的函数关系如图所示，下列说法：①甲先到达冰心文学馆；②乙的速度是甲速度的3倍；③b＝480：④a＝20其中，正确的是 （填序号）．
三、解答题（本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：．
18．（8分）解方程：x2﹣4x﹣4＝0．（用配方法解答）
19．（8分）如图，要从电线杆离地面5m处向地面拉一条7m的钢缆，求地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离（结果保留小数点后一位）．
20．（8分）已知一次函数y＝x+2．
（1）在平面直角坐标系中，画出该函数图象；
（2）把该函数图象向下平移3个单位，判断点（﹣3，﹣2）是否在平移后的直线上．
21．（8分）实施乡村振兴计划以来，我区农村经济发展进入了快车道，为了解南阳村今年一季度经济发展状况，镇扶贫办从该村300户家庭中随机抽取了20户，收集到他们一季度家庭人均收入的数据如下（单位：万元）：
0.69 0.73 0.74 0.80 0.81 0.98 0.93 0.81 0.89 0.69
0.74 0.99 0.98 0.78 0.80 0.89 0.83 0.89 0.94 0.89
对以上数据进行了整理分析，得到下表：
统计量
平均数
中位数
众数
数值
0.84
a
b
（1）表格中：a＝ ，b＝ ；
（2）试估计今年一季度南阳村家庭人均收入不低于0.8万元的户数；
（3）该村老王家今年一季度人均收入为0.83万元，能否超过村里一半以上的家庭？请说明理由．
22．（10分）一个矩形周长为56cm．
（1）当矩形面积为180cm2时，边长分别为多少？
（2）能围成面积为200cm2的矩形吗？请说明理由．
23．（10分）如图，在菱形ABCD中，AB＝3，∠DAB＝60°，点E是边AD的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME到N，使得NE＝ME，连接MD，AN，DN．
（1）求证：点C，D，N在同一条直线上；
（2）填空：①当AM的值为 时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为 时，四边形AMDN是菱形．
24．（12分）我们把对角线互相垂直的四边形叫做互垂四边形．
（1）判断：在①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形中，一定是互垂四边形的有 ；（填序号）
（2）如图1，互垂四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；
（3）如图2，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接GE，若AC＝3，AB＝5，求GE的长．
25．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+6分别与x轴，y轴交于B，A两点，AC平分∠BAO，交x轴于点C．
（1）求△AOB的面积；
（2）求OC的长；
（3）点P在直线AC上，若△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．
2021-2022学年福建省福州市长乐区八年级（下）期末数学试卷（参考答案）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用最简二次根式的定义：被开方数不含分母，分母中不含根号，被开方数中不含能开的尽方的因数，判断即可．
【解答】解：A、是最简根式，符合题意；
B、原式＝＝，不符合题意；
C、原式＝5，不符合题意；
D、原式＝，不符合题意．
故选：A．
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的判断方法是解本题的关键．
2．（4分）菱形不具有的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．四个角都相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
【分析】利用菱形的性质可直接求解．
【解答】解：∵菱形具有的性质：有对边平行且相等，对角线互相平分且垂直，四边相等，
∴菱形不具有的性质是四个角都相等，
故选：B．
本题考查了菱形的性质，掌握这些性质是解题的关键．
3．（4分）甲、乙、丙、丁参加体育训练，近期10次跳绳测试的平均成绩都是每分钟170下，其方差如下表：
选手
甲
乙
丙
丁
方差
0.023
0.015
0.020
0.026
这四个人发挥最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．
【解答】解：∵S甲2＝0.023，S乙2＝0.015，S丙2＝0.020，S丁2＝0.026，
∴S乙2＜S丙2＜S甲2＜S丁2，
∴这四个人发挥最稳定的是乙．
故选：B．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
4．（4分）由下列线段为边组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．13，14，15 D．30，40，50
【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形．
【解答】解：（）2+（）2≠（）2，故选项A不符合题意；
（）2+（）2≠（）2，故选项B不符合题意；
132+142≠152，故选项C不符合题意；
302+402＝502，故选项D符合题意；
故选：D．
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
5．（4分）已知一次函数y＝kx+1（k≠0），y随x的增大而减小，则它的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据一次函数y＝kx+1（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，可以得到k＜0，b＞0，根据一次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+1（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∴函数图象经过第二、四象限，
又∵b＝1＞0，
∴函数图象经过第一象限，
∴一次函数y＝kx+1（k≠0）的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确当k＜0，b＞0，一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限是解题的关键．
6．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．+＝ B．2﹣＝2 C．2÷＝ D．（2）2＝6
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：A、与不是同类二次根式，故A错误．
B、原式＝，故B错误．
C、原式＝，故C正确．
D、原式＝12，故D错误．
故选：C．
本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
7．（4分）一组数据：2，4，4，4，6，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】根据众数，中位数，平均数，方差的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可．
【解答】解：原数据2，4，4，4，6的平均数为×（2+4+4+4+6）＝4，中位数为4，众数为4，
方差为×[（﹣4）2+（4﹣4）2×3+（5﹣4）2]＝0.4；
新数据3，4，4，5的平均数为×（3+4+5+4）＝4，中位数为4，众数为4，
方差为×[23﹣4）2+（4﹣4）2×2+（5﹣4）2]＝0.5；
故选：D．
本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
8．（4分）若关于x的一元二次方程（x﹣2）2+m＝0有实数解，则m的取值是（ ）
A．m≤0 B．m＝0 C．m＞0 D．全体实数
【分析】先把方程变形为（x﹣2）2＝﹣m，利用平方的意义得到﹣m≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵（x﹣2）2+m＝0，
∴（x﹣2）2＝﹣m，
∵方程有实数解，
∴﹣m≥0，
解得m≤0，
即m的取值范围为m≤0．
故选：A．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上（不与端点重合），且BF＝CE，BE与AF相交于点G，则下列结论不正确的是（ ）
A．BE＝AF B．∠DAF＝∠BEC C．AG＝EG D．AG⊥EG
【分析】根据正方形证明△ABF≌△BCE，利用三角形全等可证明．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABF＝∠C＝90°，AB＝BC，
∵BF＝CE，
∴△ABF≌△BCE（SAS），
∴AF＝BE，
故选项A不符合题意；
∵△ABF≌△BCE，
∴∠BAF＝∠CBE，
∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠CBE+∠BEC＝90°，
∴∠DAF＝∠BEC，
故选项B不符合题意；
∵△ABF≌△BCE，
∴AF＝BE，
∴AG+FG＝EG+BG，
∵FG≠BG，
∴AG≠EG，
故选项C符合题意；
∵∠BAF＝∠CBE，∠BAF+∠AFB＝90°，
∴∠CBE+∠AFB＝90°，
∴AG⊥BE，
故选项D不符合题意；
故选：C．
此题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定，证得△ABF≌△BCE是解决问题的关键．
10．（4分）在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y＝x上的动点，A（2，0），B（4，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为（ ）
A．2+2 B．2 C．2 D．6
【分析】首先作出点A关于y＝x的对称点A′，从而得到PA＝PA′，故此PA+PB＝PA′+PB，由两点之间线段最短可知A′B即为所求．
【解答】解：取在y轴上点A′使OA′＝OA，连接A′B．
∴点A′的坐标为（0，2）．
∴点A′与点A关于y＝x对称．
∴PA′＝PA．
∴PA+PB＝PA′+PB．
由两点之间线段最短可知：当点A′、P、B在一条直线上时，PA+PB有最小值．
在Rt△A′OB中，A′B＝＝＝2．
故选：B．
本题主要考查的是最短线路问题，勾股定理，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x﹣1≥0，解不等式可求x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
此题主要考查函数自变量的取值范围，解决本题的关键是当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
12．（4分）滨海中学规定学生学期体育成绩按课外活动成绩、期中成绩、期末成绩2：3：5的比计算．小明同学本学期三项成绩依次为90分、80分、90分，则小明同学本学期的体育成绩是 87 分．
【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．
【解答】解：小明同学本学期的体育成绩是＝87（分），
故答案为：87．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
13．（4分）如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD＝ 12 ．
【分析】根据中位线的性质求出BO长度，再依据矩形的性质BD＝2BO进行求解．
【解答】解：∵M、N分别为BC、OC的中点，
∴BO＝2MN＝6．
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝2BO＝12．
故答案为12．
本题主要考查了矩形的性质以及三角形中位线的定理，解题的关键是找到线段间的倍分关系．
14．（4分）已知x＝是关于x的方程x2﹣x+m＝0的一个根，则m的值为 ﹣2 ．
【分析】把x＝代入关于的x方程x2﹣x+m＝0，得到关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．
【解答】解：∵x＝是关于的x方程x2﹣x+m＝0的一个根，
∴2﹣+m＝0，
解得m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
15．（4分）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为 4 ．
【分析】先证四边形ABCD是菱形，再由勾股定理可求BO的长，然后由菱形的面积公式可求解．
【解答】解：过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O，如图所示：
∵两条纸条宽度相同，
∴AE＝AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S▱ABCD＝BC•AF＝CD•AE．
又∵AE＝AF．
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝1，BO＝DO，AC⊥BD，
∴AC＝2AO＝2，BO＝＝＝2，
∴BD＝2BO＝4，
∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×2×4＝4，
故答案为：．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定和性质以及勾股定理等知识，证得四边形ABCD为菱形是解题的关键．
16．（4分）甲、乙二人从学校出发去冰心文学馆，甲步行一段时间后，乙骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行，他们的路程差s（m）与甲出发时间t（min）之间的函数关系如图所示，下列说法：①甲先到达冰心文学馆；②乙的速度是甲速度的3倍；③b＝480：④a＝20其中，正确的是 ②③ （填序号）．
【分析】明确每个节点代表了两个人什么样的运动状态，根据已知点的坐标分别求出两人的速度，利用路程＝速度×时间公式判断正误．
【解答】解：如图，由图可知：
O～A：甲先出发，乙未出发，A点时乙开始出发；
A～B：乙追甲并在B点相遇；
B～C：乙在甲前面，C点时乙到达冰心文学馆；
C～D：甲一个人在路上，D点时到达冰心文学馆．
∴乙先到达冰心文学馆，
①错误．
V甲＝＝80（m/s），
相遇时S相遇＝80×12＝960m，
∴V乙＝960÷（12﹣8）＝240（m/s），
∵240÷80＝3，
∴乙的速度是甲速度的3倍，
②正确．
80×（15﹣12）＝240（m），
240×（15﹣12）＝720（m），
∴b＝720﹣240＝480（m），
③正确．
全长S＝240×（15﹣8）＝1680m，
t甲＝1680÷80＝21（s），
∴a＝21，
④错误．
故答案为：②③．
本题以一次函数为背景考查了一次函数的实际运用，考查学生在函数图象中数形结合的能力，本题难度适中，常为考试题出现，解决此类问题的关键是明确每个节点代表的实际意义，利用已知点和路程公式判断结论是否正确．
三、解答题（本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：．
【分析】根据完全平方公式、二次根式的性质以及二次根式的混合运算法则计算即可．
【解答】解：
＝2+1﹣
＝2﹣+1﹣
＝3﹣3．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．
18．（8分）解方程：x2﹣4x﹣4＝0．（用配方法解答）
【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方后求解可得．
【解答】解：∵x2﹣4x＝4，
∴x2﹣4x+4＝4+4，即（x﹣2）2＝8，
∴x﹣2＝±2，
则x＝2±2．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
19．（8分）如图，要从电线杆离地面5m处向地面拉一条7m的钢缆，求地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离（结果保留小数点后一位）．
【分析】根据电线杆与地面垂直得∠B＝90°，由题意得BC＝5m，AC＝7m，利用勾股定理求得AB的长即可．
【解答】解：地面钢缆固定点A到电杆底部B的距离为：
AB＝＝2≈4.9（米）．
答：地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为4.9米．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．
20．（8分）已知一次函数y＝x+2．
（1）在平面直角坐标系中，画出该函数图象；
（2）把该函数图象向下平移3个单位，判断点（﹣3，﹣2）是否在平移后的直线上．
【分析】（1）求出图象与坐标轴交点进而得出图象即可；
（3）将x＝﹣3，代入求出y的值，进而判断得出点是否在图象上．
【解答】（2）当y＝0，则x＝﹣2，当x＝0，则y＝2，
如图所示：
（3）把该函数图象向下平移3个单位得到y＝x+2﹣3＝x﹣1，
当x＝﹣3，则y＝﹣3﹣1＝﹣4，
∴（﹣3，﹣2）不在此函数的图象上．
此题主要考查了一次函数的图象上点的坐标特征、一次函数图象画法以及一次函数的平移，熟练记忆一次函数平移性质是解题关键．
21．（8分）实施乡村振兴计划以来，我区农村经济发展进入了快车道，为了解南阳村今年一季度经济发展状况，镇扶贫办从该村300户家庭中随机抽取了20户，收集到他们一季度家庭人均收入的数据如下（单位：万元）：
0.69 0.73 0.74 0.80 0.81 0.98 0.93 0.81 0.89 0.69
0.74 0.99 0.98 0.78 0.80 0.89 0.83 0.89 0.94 0.89
对以上数据进行了整理分析，得到下表：
统计量
平均数
中位数
众数
数值
0.84
a
b
（1）表格中：a＝ 0.82 ，b＝ 0.89 ；
（2）试估计今年一季度南阳村家庭人均收入不低于0.8万元的户数；
（3）该村老王家今年一季度人均收入为0.83万元，能否超过村里一半以上的家庭？请说明理由．
【分析】（1）根据中位数、众数的意义求出a、b的值；
（2）求出样本中，家庭人均收入不低于0.8万元所占的分率，即可求出相应的人数；
（3）根据中位数的意义进行判断即可．
【解答】解：（1）将这组数据从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝0.82，因此中位数是0.82，即a＝0.82，
这组数据中出现次数最多的是0.89，共出现4次，因此众数是0.89，即b＝0.89．
故答案为：0.82，0.89；
（2）14÷20×300＝210（户）．
答：估计今年一季度南阳村家庭人均收入不低于0.8万元的大约有210户；
（3）可以超过．理由如下：
0.69，0.73，0.74，0.74，0.74，0.78，0.80，0.80，0.81，0.81，0.83，0.89，0.89，0.89，0.89，0.93，0.94，0.98，0.98，0.99．
20户家庭收入从低到高排列来看，0.83万元是第11位．
故人均收入0.83万元已经超过了一半家庭．
本题考查中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数的意义是正确解答的关键．
22．（10分）一个矩形周长为56cm．
（1）当矩形面积为180cm2时，边长分别为多少？
（2）能围成面积为200cm2的矩形吗？请说明理由．
【分析】（1）设矩形的长为xcm，则宽为（28﹣x）cm，根据矩形的面积为180cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合长不小于宽，即可确定矩形的长和宽；
（2）设矩形的长为ycm，则宽为（28﹣y）cm，根据矩形的面积为200cm2，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣16＜0，即可得出该方程无解，即不能围成面积为200cm2的矩形．
【解答】解：（1）设矩形的长为xcm，则宽为＝（28﹣x）cm，
依题意得：x（28﹣x）＝180，
整理得：x2﹣28x+180＝0，
解得：x1＝10，x2＝18．
当x＝10时，28﹣x＝28﹣10＝18＞10，不合题意，舍去；
当x＝18时，28﹣x＝28﹣18＝10＜18，符合题意．
答：当矩形面积为180cm2时，长为18cm，宽为10cm．
（2）不能围成，理由如下：
设矩形的长为ycm，则宽为＝（28﹣y）cm，
依题意得：y（28﹣y）＝200，
整理得：y2﹣28y+200＝0．
∵Δ＝（﹣28）2﹣4×1×200＝﹣16＜0，
∴该方程无解，
∴不能围成面积为200cm2的矩形．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
23．（10分）如图，在菱形ABCD中，AB＝3，∠DAB＝60°，点E是边AD的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME到N，使得NE＝ME，连接MD，AN，DN．
（1）求证：点C，D，N在同一条直线上；
（2）填空：①当AM的值为 1.5 时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为 3 时，四边形AMDN是菱形．
【分析】（1）先证四边形DNAM是平行四边形，可得ND∥AB，通过证明∠ADC+∠ADN＝180°，可得点C，D，N在同一条直线上；
（2）①根据等边三角形的判定得出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质求出DM⊥AB，根据矩形的判定得出即可；
②求出△ABD是等边三角形，求出M和B重合，根据菱形的判定得出即可．
【解答】（1）证明：∵点E是AD的中点，
∴DE＝AE，
又∵NE＝ME，
∴四边形DNAM是平行四边形，
∴ND∥AB，
∴∠NDA＝∠DAB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∴∠ADC+∠ADN＝180°，
∴点C，D，N在同一条直线上；
（2）解：①当AM＝1.5时，四边形AMDN是矩形，
理由是：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝3，
∵∠DAB＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴AD＝BD＝3，
∵AM＝1.5，AB＝3，
∴AM＝BM，
∴DM⊥AB，
即∠DMA＝90°，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴四边形AMDN是矩形，
即当AM＝1.5时，四边形AMDN是矩形，
故答案为：1.5；
②当AM＝3时，四边形AMDN是菱形，
理由是，此时AM＝AB＝3，
即M和B重合，
由①知：△ABD是等边三角形，
∴AM＝MD，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴四边形AMDN是菱形，
故答案为：3．
本题是四边形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的性质，菱形的性质，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
24．（12分）我们把对角线互相垂直的四边形叫做互垂四边形．
（1）判断：在①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形中，一定是互垂四边形的有 ③④ ；（填序号）
（2）如图1，互垂四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；
（3）如图2，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接GE，若AC＝3，AB＝5，求GE的长．
【分析】（1）由互垂四边形的定义可求解；
（2）由勾股定理可得AB2＝AO2+BO2，CD2＝CO2+DO2，AD2＝AO2+DO2，BC2＝BO2+CO2，即可求解；
（3）先证四边形CBEG为对垂四边形，由（2）的结论可求解．
【解答】解：（1）∵菱形和正方形的对角线互相垂直，
∴菱形和正方形一定是互垂四边形，
故答案为：③④．
（2）AB2+CD2＝AD2+BC2，理由如下：
∵AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB2＝AO2+BO2，
同理可得：CD2＝CO2+DO2，AD2＝AO2+DO2，BC2＝BO2+CO2，
∴AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2＝AD2+BC2；
（3）如图2，连接CG，BE，BG，CE，设CE交BA于点M，BG与CE交于H，
∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，
∴∠CAG＝∠EAB＝90°，AG＝AC，AB＝AE，
∵∠BAG＝∠BAC+∠CAG，∠EAC＝∠BAC+∠EAB，
∴∠BAG＝∠EAC，
在△BAG和△EAC中，
，
∴△BAG≌△EAC（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
∵∠AME＝∠HMB，
∠MHB＝180°﹣∠HMB﹣∠ABG，
∠MAE＝180°﹣∠AME﹣∠AEC，
∴∠MHB＝∠MAE＝90°，
即CE⊥BG，
∴四边形CBEG为对垂四边形，
由（2）得，CB2+GE2＝CG2+BE2，
∵AC＝AG＝3，AB＝AE＝5，
在Rt△CAG中，由勾股定理得：CG2＝AC2+AG2＝18，
在Rt△BAE中，由勾股定理得：BE2＝AB2+AE2＝50，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：CB2＝AB2﹣AC2＝16，
∴GE2+BC2＝CG2+BE2，
∴GE＝2．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，灵活运用新定义解决问题是解题的关键．
25．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+6分别与x轴，y轴交于B，A两点，AC平分∠BAO，交x轴于点C．
（1）求△AOB的面积；
（2）求OC的长；
（3）点P在直线AC上，若△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．
【分析】（1）利用三角形面积公式S＝OA•OB即可得出结论．
（2）过点C 作CD⊥AB，利用勾股定理得出AB的值，设OC为x，通过角平分线的性质得出OC＝CD，再利用等积法求出CD的值即可得出结论．
（3）点P在直线AC上故求出C 所在的解析式为y＝﹣2x+6，设P（m，﹣2m+6），通过两点间距公式得出线段AP、BP的值，根据若△ABP是等腰三角形进行分类讨论即可得出结论．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+6分别与x轴，y轴交于B，A两点，
∴A（0，6）．
令y＝0，则有y＝﹣x+6＝0．
解得：x＝﹣8．
∴B（﹣8，0）．
∴OA＝6，OB＝8，
∴S△AOB＝OA•OB＝24．
（2）如图，过点C做CD⊥AB．
∵AC平分∠BAO，OC⊥CD，
∴OC＝CD．
由（1）可知OA＝6，OB＝8，
则由勾股定理得：AB＝10．
设OC为x，则CD为x，BC为（8﹣x）．
∵S△ABC＝S△ABC
∴BC×OA＝AB×CD．
即（8﹣x）•6＝10x，
解得：x＝3．
∴OC为3．
（3）由（2）可知OC＝3，
∴C（3，0）．
设直线AC所在解析式为y＝kx+6，
将点C代入得：3k+6＝0，
解得：k＝﹣2．
∴直线AC所在解析式为y＝﹣2x+6．
∵点P 在直线AC上，
∴设P（m，﹣2m+6）．
∴AP2＝（0﹣m）2+[6﹣（﹣2m+6）2]＝m2+（6+2m﹣6）2＝5m2．
BP2＝（8﹣m）2+[0﹣（﹣2m+）]2＝5m2﹣40m+100．
∵△ABP是等腰三角形，
∴如图①，当AP＝AB，
则有：AP2＝AB2，
∴5m2＝100，
解得：m＝．
P（2，﹣4+6）或P（﹣2，4+6）．
如图②，当AP＝BP，
则有：AP2＝BP2
∴5m2﹣40m+100＝5m2，
解得：m＝．
∴P（，1）．
如图③，当AB＝BP，
则有：AB2＝BP2，
∴5m2﹣40m+100＝100，
解得：m1＝0（舍去）或m2＝8．
∴P（8，﹣10）．
综上：点P的坐标为P（2，﹣4+6）或P（﹣2，4+6）或P（，1）或P（8，﹣10）．
本题考查了一次函数背景下的等腰三角形存在性问题，能熟练掌握勾股定理，等腰三角形的分类，角平分线的性质是解题的关键．
2021-2022学年福建省福州市长乐区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）菱形不具有的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．四个角都相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
3．（4分）甲、乙、丙、丁参加体育训练，近期10次跳绳测试的平均成绩都是每分钟170下，其方差如下表：
选手
甲
乙
丙
丁
方差
0.023
0.015
0.020
0.026
这四个人发挥最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（4分）由下列线段为边组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．13，14，15 D．30，40，50
5．（4分）已知一次函数y＝kx+1（k≠0），y随x的增大而减小，则它的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．+＝ B．2﹣＝2 C．2÷＝ D．（2）2＝6
7．（4分）一组数据：2，4，4，4，6，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
8．（4分）若关于x的一元二次方程（x﹣2）2+m＝0有实数解，则m的取值是（ ）
A．m≤0 B．m＝0 C．m＞0 D．全体实数
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上（不与端点重合），且BF＝CE，BE与AF相交于点G，则下列结论不正确的是（ ）
A．BE＝AF B．∠DAF＝∠BEC C．AG＝EG D．AG⊥EG
10．（4分）在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y＝x上的动点，A（2，0），B（4，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为（ ）
A．2+2 B．2 C．2 D．6
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
12．（4分）滨海中学规定学生学期体育成绩按课外活动成绩、期中成绩、期末成绩2：3：5的比计算．小明同学本学期三项成绩依次为90分、80分、90分，则小明同学本学期的体育成绩是 分．
13．（4分）如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD＝ ．
14．（4分）已知x＝是关于x的方程x2﹣x+m＝0的一个根，则m的值为 ．
15．（4分）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为 ．
16．（4分）甲、乙二人从学校出发去冰心文学馆，甲步行一段时间后，乙骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行，他们的路程差s（m）与甲出发时间t（min）之间的函数关系如图所示，下列说法：①甲先到达冰心文学馆；②乙的速度是甲速度的3倍；③b＝480：④a＝20其中，正确的是 （填序号）．
三、解答题（本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：．
18．（8分）解方程：x2﹣4x﹣4＝0．（用配方法解答）
19．（8分）如图，要从电线杆离地面5m处向地面拉一条7m的钢缆，求地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离（结果保留小数点后一位）．
20．（8分）已知一次函数y＝x+2．
（1）在平面直角坐标系中，画出该函数图象；
（2）把该函数图象向下平移3个单位，判断点（﹣3，﹣2）是否在平移后的直线上．
21．（8分）实施乡村振兴计划以来，我区农村经济发展进入了快车道，为了解南阳村今年一季度经济发展状况，镇扶贫办从该村300户家庭中随机抽取了20户，收集到他们一季度家庭人均收入的数据如下（单位：万元）：
0.69 0.73 0.74 0.80 0.81 0.98 0.93 0.81 0.89 0.69
0.74 0.99 0.98 0.78 0.80 0.89 0.83 0.89 0.94 0.89
对以上数据进行了整理分析，得到下表：
统计量
平均数
中位数
众数
数值
0.84
a
b
（1）表格中：a＝ ，b＝ ；
（2）试估计今年一季度南阳村家庭人均收入不低于0.8万元的户数；
（3）该村老王家今年一季度人均收入为0.83万元，能否超过村里一半以上的家庭？请说明理由．
22．（10分）一个矩形周长为56cm．
（1）当矩形面积为180cm2时，边长分别为多少？
（2）能围成面积为200cm2的矩形吗？请说明理由．
23．（10分）如图，在菱形ABCD中，AB＝3，∠DAB＝60°，点E是边AD的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME到N，使得NE＝ME，连接MD，AN，DN．
（1）求证：点C，D，N在同一条直线上；
（2）填空：①当AM的值为 时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为 时，四边形AMDN是菱形．
24．（12分）我们把对角线互相垂直的四边形叫做互垂四边形．
（1）判断：在①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形中，一定是互垂四边形的有 ；（填序号）
（2）如图1，互垂四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；
（3）如图2，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接GE，若AC＝3，AB＝5，求GE的长．
25．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+6分别与x轴，y轴交于B，A两点，AC平分∠BAO，交x轴于点C．
（1）求△AOB的面积；
（2）求OC的长；
（3）点P在直线AC上，若△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．
2021-2022学年福建省福州市长乐区八年级（下）期末数学试卷（参考答案）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用最简二次根式的定义：被开方数不含分母，分母中不含根号，被开方数中不含能开的尽方的因数，判断即可．
【解答】解：A、是最简根式，符合题意；
B、原式＝＝，不符合题意；
C、原式＝5，不符合题意；
D、原式＝，不符合题意．
故选：A．
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的判断方法是解本题的关键．
2．（4分）菱形不具有的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．四个角都相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
【分析】利用菱形的性质可直接求解．
【解答】解：∵菱形具有的性质：有对边平行且相等，对角线互相平分且垂直，四边相等，
∴菱形不具有的性质是四个角都相等，
故选：B．
本题考查了菱形的性质，掌握这些性质是解题的关键．
3．（4分）甲、乙、丙、丁参加体育训练，近期10次跳绳测试的平均成绩都是每分钟170下，其方差如下表：
选手
甲
乙
丙
丁
方差
0.023
0.015
0.020
0.026
这四个人发挥最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．
【解答】解：∵S甲2＝0.023，S乙2＝0.015，S丙2＝0.020，S丁2＝0.026，
∴S乙2＜S丙2＜S甲2＜S丁2，
∴这四个人发挥最稳定的是乙．
故选：B．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
4．（4分）由下列线段为边组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．13，14，15 D．30，40，50
【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形．
【解答】解：（）2+（）2≠（）2，故选项A不符合题意；
（）2+（）2≠（）2，故选项B不符合题意；
132+142≠152，故选项C不符合题意；
302+402＝502，故选项D符合题意；
故选：D．
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
5．（4分）已知一次函数y＝kx+1（k≠0），y随x的增大而减小，则它的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据一次函数y＝kx+1（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，可以得到k＜0，b＞0，根据一次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+1（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∴函数图象经过第二、四象限，
又∵b＝1＞0，
∴函数图象经过第一象限，
∴一次函数y＝kx+1（k≠0）的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确当k＜0，b＞0，一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限是解题的关键．
6．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．+＝ B．2﹣＝2 C．2÷＝ D．（2）2＝6
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：A、与不是同类二次根式，故A错误．
B、原式＝，故B错误．
C、原式＝，故C正确．
D、原式＝12，故D错误．
故选：C．
本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
7．（4分）一组数据：2，4，4，4，6，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】根据众数，中位数，平均数，方差的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可．
【解答】解：原数据2，4，4，4，6的平均数为×（2+4+4+4+6）＝4，中位数为4，众数为4，
方差为×[（﹣4）2+（4﹣4）2×3+（5﹣4）2]＝0.4；
新数据3，4，4，5的平均数为×（3+4+5+4）＝4，中位数为4，众数为4，
方差为×[23﹣4）2+（4﹣4）2×2+（5﹣4）2]＝0.5；
故选：D．
本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
8．（4分）若关于x的一元二次方程（x﹣2）2+m＝0有实数解，则m的取值是（ ）
A．m≤0 B．m＝0 C．m＞0 D．全体实数
【分析】先把方程变形为（x﹣2）2＝﹣m，利用平方的意义得到﹣m≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵（x﹣2）2+m＝0，
∴（x﹣2）2＝﹣m，
∵方程有实数解，
∴﹣m≥0，
解得m≤0，
即m的取值范围为m≤0．
故选：A．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上（不与端点重合），且BF＝CE，BE与AF相交于点G，则下列结论不正确的是（ ）
A．BE＝AF B．∠DAF＝∠BEC C．AG＝EG D．AG⊥EG
【分析】根据正方形证明△ABF≌△BCE，利用三角形全等可证明．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABF＝∠C＝90°，AB＝BC，
∵BF＝CE，
∴△ABF≌△BCE（SAS），
∴AF＝BE，
故选项A不符合题意；
∵△ABF≌△BCE，
∴∠BAF＝∠CBE，
∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠CBE+∠BEC＝90°，
∴∠DAF＝∠BEC，
故选项B不符合题意；
∵△ABF≌△BCE，
∴AF＝BE，
∴AG+FG＝EG+BG，
∵FG≠BG，
∴AG≠EG，
故选项C符合题意；
∵∠BAF＝∠CBE，∠BAF+∠AFB＝90°，
∴∠CBE+∠AFB＝90°，
∴AG⊥BE，
故选项D不符合题意；
故选：C．
此题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定，证得△ABF≌△BCE是解决问题的关键．
10．（4分）在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y＝x上的动点，A（2，0），B（4，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为（ ）
A．2+2 B．2 C．2 D．6
【分析】首先作出点A关于y＝x的对称点A′，从而得到PA＝PA′，故此PA+PB＝PA′+PB，由两点之间线段最短可知A′B即为所求．
【解答】解：取在y轴上点A′使OA′＝OA，连接A′B．
∴点A′的坐标为（0，2）．
∴点A′与点A关于y＝x对称．
∴PA′＝PA．
∴PA+PB＝PA′+PB．
由两点之间线段最短可知：当点A′、P、B在一条直线上时，PA+PB有最小值．
在Rt△A′OB中，A′B＝＝＝2．
故选：B．
本题主要考查的是最短线路问题，勾股定理，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x﹣1≥0，解不等式可求x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
此题主要考查函数自变量的取值范围，解决本题的关键是当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
12．（4分）滨海中学规定学生学期体育成绩按课外活动成绩、期中成绩、期末成绩2：3：5的比计算．小明同学本学期三项成绩依次为90分、80分、90分，则小明同学本学期的体育成绩是 87 分．
【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．
【解答】解：小明同学本学期的体育成绩是＝87（分），
故答案为：87．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
13．（4分）如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD＝ 12 ．
【分析】根据中位线的性质求出BO长度，再依据矩形的性质BD＝2BO进行求解．
【解答】解：∵M、N分别为BC、OC的中点，
∴BO＝2MN＝6．
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝2BO＝12．
故答案为12．
本题主要考查了矩形的性质以及三角形中位线的定理，解题的关键是找到线段间的倍分关系．
14．（4分）已知x＝是关于x的方程x2﹣x+m＝0的一个根，则m的值为 ﹣2 ．
【分析】把x＝代入关于的x方程x2﹣x+m＝0，得到关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．
【解答】解：∵x＝是关于的x方程x2﹣x+m＝0的一个根，
∴2﹣+m＝0，
解得m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
15．（4分）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为 4 ．
【分析】先证四边形ABCD是菱形，再由勾股定理可求BO的长，然后由菱形的面积公式可求解．
【解答】解：过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O，如图所示：
∵两条纸条宽度相同，
∴AE＝AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S▱ABCD＝BC•AF＝CD•AE．
又∵AE＝AF．
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝1，BO＝DO，AC⊥BD，
∴AC＝2AO＝2，BO＝＝＝2，
∴BD＝2BO＝4，
∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×2×4＝4，
故答案为：．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定和性质以及勾股定理等知识，证得四边形ABCD为菱形是解题的关键．
16．（4分）甲、乙二人从学校出发去冰心文学馆，甲步行一段时间后，乙骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行，他们的路程差s（m）与甲出发时间t（min）之间的函数关系如图所示，下列说法：①甲先到达冰心文学馆；②乙的速度是甲速度的3倍；③b＝480：④a＝20其中，正确的是 ②③ （填序号）．
【分析】明确每个节点代表了两个人什么样的运动状态，根据已知点的坐标分别求出两人的速度，利用路程＝速度×时间公式判断正误．
【解答】解：如图，由图可知：
O～A：甲先出发，乙未出发，A点时乙开始出发；
A～B：乙追甲并在B点相遇；
B～C：乙在甲前面，C点时乙到达冰心文学馆；
C～D：甲一个人在路上，D点时到达冰心文学馆．
∴乙先到达冰心文学馆，
①错误．
V甲＝＝80（m/s），
相遇时S相遇＝80×12＝960m，
∴V乙＝960÷（12﹣8）＝240（m/s），
∵240÷80＝3，
∴乙的速度是甲速度的3倍，
②正确．
80×（15﹣12）＝240（m），
240×（15﹣12）＝720（m），
∴b＝720﹣240＝480（m），
③正确．
全长S＝240×（15﹣8）＝1680m，
t甲＝1680÷80＝21（s），
∴a＝21，
④错误．
故答案为：②③．
本题以一次函数为背景考查了一次函数的实际运用，考查学生在函数图象中数形结合的能力，本题难度适中，常为考试题出现，解决此类问题的关键是明确每个节点代表的实际意义，利用已知点和路程公式判断结论是否正确．
三、解答题（本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：．
【分析】根据完全平方公式、二次根式的性质以及二次根式的混合运算法则计算即可．
【解答】解：
＝2+1﹣
＝2﹣+1﹣
＝3﹣3．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．
18．（8分）解方程：x2﹣4x﹣4＝0．（用配方法解答）
【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方后求解可得．
【解答】解：∵x2﹣4x＝4，
∴x2﹣4x+4＝4+4，即（x﹣2）2＝8，
∴x﹣2＝±2，
则x＝2±2．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
19．（8分）如图，要从电线杆离地面5m处向地面拉一条7m的钢缆，求地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离（结果保留小数点后一位）．
【分析】根据电线杆与地面垂直得∠B＝90°，由题意得BC＝5m，AC＝7m，利用勾股定理求得AB的长即可．
【解答】解：地面钢缆固定点A到电杆底部B的距离为：
AB＝＝2≈4.9（米）．
答：地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为4.9米．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．
20．（8分）已知一次函数y＝x+2．
（1）在平面直角坐标系中，画出该函数图象；
（2）把该函数图象向下平移3个单位，判断点（﹣3，﹣2）是否在平移后的直线上．
【分析】（1）求出图象与坐标轴交点进而得出图象即可；
（3）将x＝﹣3，代入求出y的值，进而判断得出点是否在图象上．
【解答】（2）当y＝0，则x＝﹣2，当x＝0，则y＝2，
如图所示：
（3）把该函数图象向下平移3个单位得到y＝x+2﹣3＝x﹣1，
当x＝﹣3，则y＝﹣3﹣1＝﹣4，
∴（﹣3，﹣2）不在此函数的图象上．
此题主要考查了一次函数的图象上点的坐标特征、一次函数图象画法以及一次函数的平移，熟练记忆一次函数平移性质是解题关键．
21．（8分）实施乡村振兴计划以来，我区农村经济发展进入了快车道，为了解南阳村今年一季度经济发展状况，镇扶贫办从该村300户家庭中随机抽取了20户，收集到他们一季度家庭人均收入的数据如下（单位：万元）：
0.69 0.73 0.74 0.80 0.81 0.98 0.93 0.81 0.89 0.69
0.74 0.99 0.98 0.78 0.80 0.89 0.83 0.89 0.94 0.89
对以上数据进行了整理分析，得到下表：
统计量
平均数
中位数
众数
数值
0.84
a
b
（1）表格中：a＝ 0.82 ，b＝ 0.89 ；
（2）试估计今年一季度南阳村家庭人均收入不低于0.8万元的户数；
（3）该村老王家今年一季度人均收入为0.83万元，能否超过村里一半以上的家庭？请说明理由．
【分析】（1）根据中位数、众数的意义求出a、b的值；
（2）求出样本中，家庭人均收入不低于0.8万元所占的分率，即可求出相应的人数；
（3）根据中位数的意义进行判断即可．
【解答】解：（1）将这组数据从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝0.82，因此中位数是0.82，即a＝0.82，
这组数据中出现次数最多的是0.89，共出现4次，因此众数是0.89，即b＝0.89．
故答案为：0.82，0.89；
（2）14÷20×300＝210（户）．
答：估计今年一季度南阳村家庭人均收入不低于0.8万元的大约有210户；
（3）可以超过．理由如下：
0.69，0.73，0.74，0.74，0.74，0.78，0.80，0.80，0.81，0.81，0.83，0.89，0.89，0.89，0.89，0.93，0.94，0.98，0.98，0.99．
20户家庭收入从低到高排列来看，0.83万元是第11位．
故人均收入0.83万元已经超过了一半家庭．
本题考查中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数的意义是正确解答的关键．
22．（10分）一个矩形周长为56cm．
（1）当矩形面积为180cm2时，边长分别为多少？
（2）能围成面积为200cm2的矩形吗？请说明理由．
【分析】（1）设矩形的长为xcm，则宽为（28﹣x）cm，根据矩形的面积为180cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合长不小于宽，即可确定矩形的长和宽；
（2）设矩形的长为ycm，则宽为（28﹣y）cm，根据矩形的面积为200cm2，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣16＜0，即可得出该方程无解，即不能围成面积为200cm2的矩形．
【解答】解：（1）设矩形的长为xcm，则宽为＝（28﹣x）cm，
依题意得：x（28﹣x）＝180，
整理得：x2﹣28x+180＝0，
解得：x1＝10，x2＝18．
当x＝10时，28﹣x＝28﹣10＝18＞10，不合题意，舍去；
当x＝18时，28﹣x＝28﹣18＝10＜18，符合题意．
答：当矩形面积为180cm2时，长为18cm，宽为10cm．
（2）不能围成，理由如下：
设矩形的长为ycm，则宽为＝（28﹣y）cm，
依题意得：y（28﹣y）＝200，
整理得：y2﹣28y+200＝0．
∵Δ＝（﹣28）2﹣4×1×200＝﹣16＜0，
∴该方程无解，
∴不能围成面积为200cm2的矩形．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
23．（10分）如图，在菱形ABCD中，AB＝3，∠DAB＝60°，点E是边AD的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME到N，使得NE＝ME，连接MD，AN，DN．
（1）求证：点C，D，N在同一条直线上；
（2）填空：①当AM的值为 1.5 时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为 3 时，四边形AMDN是菱形．
【分析】（1）先证四边形DNAM是平行四边形，可得ND∥AB，通过证明∠ADC+∠ADN＝180°，可得点C，D，N在同一条直线上；
（2）①根据等边三角形的判定得出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质求出DM⊥AB，根据矩形的判定得出即可；
②求出△ABD是等边三角形，求出M和B重合，根据菱形的判定得出即可．
【解答】（1）证明：∵点E是AD的中点，
∴DE＝AE，
又∵NE＝ME，
∴四边形DNAM是平行四边形，
∴ND∥AB，
∴∠NDA＝∠DAB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∴∠ADC+∠ADN＝180°，
∴点C，D，N在同一条直线上；
（2）解：①当AM＝1.5时，四边形AMDN是矩形，
理由是：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝3，
∵∠DAB＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴AD＝BD＝3，
∵AM＝1.5，AB＝3，
∴AM＝BM，
∴DM⊥AB，
即∠DMA＝90°，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴四边形AMDN是矩形，
即当AM＝1.5时，四边形AMDN是矩形，
故答案为：1.5；
②当AM＝3时，四边形AMDN是菱形，
理由是，此时AM＝AB＝3，
即M和B重合，
由①知：△ABD是等边三角形，
∴AM＝MD，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴四边形AMDN是菱形，
故答案为：3．
本题是四边形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的性质，菱形的性质，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
24．（12分）我们把对角线互相垂直的四边形叫做互垂四边形．
（1）判断：在①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形中，一定是互垂四边形的有 ③④ ；（填序号）
（2）如图1，互垂四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；
（3）如图2，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接GE，若AC＝3，AB＝5，求GE的长．
【分析】（1）由互垂四边形的定义可求解；
（2）由勾股定理可得AB2＝AO2+BO2，CD2＝CO2+DO2，AD2＝AO2+DO2，BC2＝BO2+CO2，即可求解；
（3）先证四边形CBEG为对垂四边形，由（2）的结论可求解．
【解答】解：（1）∵菱形和正方形的对角线互相垂直，
∴菱形和正方形一定是互垂四边形，
故答案为：③④．
（2）AB2+CD2＝AD2+BC2，理由如下：
∵AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB2＝AO2+BO2，
同理可得：CD2＝CO2+DO2，AD2＝AO2+DO2，BC2＝BO2+CO2，
∴AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2＝AD2+BC2；
（3）如图2，连接CG，BE，BG，CE，设CE交BA于点M，BG与CE交于H，
∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，
∴∠CAG＝∠EAB＝90°，AG＝AC，AB＝AE，
∵∠BAG＝∠BAC+∠CAG，∠EAC＝∠BAC+∠EAB，
∴∠BAG＝∠EAC，
在△BAG和△EAC中，
，
∴△BAG≌△EAC（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
∵∠AME＝∠HMB，
∠MHB＝180°﹣∠HMB﹣∠ABG，
∠MAE＝180°﹣∠AME﹣∠AEC，
∴∠MHB＝∠MAE＝90°，
即CE⊥BG，
∴四边形CBEG为对垂四边形，
由（2）得，CB2+GE2＝CG2+BE2，
∵AC＝AG＝3，AB＝AE＝5，
在Rt△CAG中，由勾股定理得：CG2＝AC2+AG2＝18，
在Rt△BAE中，由勾股定理得：BE2＝AB2+AE2＝50，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：CB2＝AB2﹣AC2＝16，
∴GE2+BC2＝CG2+BE2，
∴GE＝2．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，灵活运用新定义解决问题是解题的关键．
25．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+6分别与x轴，y轴交于B，A两点，AC平分∠BAO，交x轴于点C．
（1）求△AOB的面积；
（2）求OC的长；
（3）点P在直线AC上，若△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．
【分析】（1）利用三角形面积公式S＝OA•OB即可得出结论．
（2）过点C 作CD⊥AB，利用勾股定理得出AB的值，设OC为x，通过角平分线的性质得出OC＝CD，再利用等积法求出CD的值即可得出结论．
（3）点P在直线AC上故求出C 所在的解析式为y＝﹣2x+6，设P（m，﹣2m+6），通过两点间距公式得出线段AP、BP的值，根据若△ABP是等腰三角形进行分类讨论即可得出结论．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+6分别与x轴，y轴交于B，A两点，
∴A（0，6）．
令y＝0，则有y＝﹣x+6＝0．
解得：x＝﹣8．
∴B（﹣8，0）．
∴OA＝6，OB＝8，
∴S△AOB＝OA•OB＝24．
（2）如图，过点C做CD⊥AB．
∵AC平分∠BAO，OC⊥CD，
∴OC＝CD．
由（1）可知OA＝6，OB＝8，
则由勾股定理得：AB＝10．
设OC为x，则CD为x，BC为（8﹣x）．
∵S△ABC＝S△ABC
∴BC×OA＝AB×CD．
即（8﹣x）•6＝10x，
解得：x＝3．
∴OC为3．
（3）由（2）可知OC＝3，
∴C（3，0）．
设直线AC所在解析式为y＝kx+6，
将点C代入得：3k+6＝0，
解得：k＝﹣2．
∴直线AC所在解析式为y＝﹣2x+6．
∵点P 在直线AC上，
∴设P（m，﹣2m+6）．
∴AP2＝（0﹣m）2+[6﹣（﹣2m+6）2]＝m2+（6+2m﹣6）2＝5m2．
BP2＝（8﹣m）2+[0﹣（﹣2m+）]2＝5m2﹣40m+100．
∵△ABP是等腰三角形，
∴如图①，当AP＝AB，
则有：AP2＝AB2，
∴5m2＝100，
解得：m＝．
P（2，﹣4+6）或P（﹣2，4+6）．
如图②，当AP＝BP，
则有：AP2＝BP2
∴5m2﹣40m+100＝5m2，
解得：m＝．
∴P（，1）．
如图③，当AB＝BP，
则有：AB2＝BP2，
∴5m2﹣40m+100＝100，
解得：m1＝0（舍去）或m2＝8．
∴P（8，﹣10）．
综上：点P的坐标为P（2，﹣4+6）或P（﹣2，4+6）或P（，1）或P（8，﹣10）．
本题考查了一次函数背景下的等腰三角形存在性问题，能熟练掌握勾股定理，等腰三角形的分类，角平分线的性质是解题的关键．
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