2022-2023学年福建省泉州市石狮市重点学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省泉州市石狮市重点学校八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在式子，，，中，分式有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2.  使分式有意义的必须满足的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，小手盖住的点的坐标可能是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列曲线中表示是的函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  对于直线，下列说法不正确的是(    )

A. 随的增大而减小
B. 直线与轴交于正半轴
C. 直线经过第二、三、四象限
D. 直线向下平移个单位后经过原点

7.  如果直线与双曲线的一个交点的坐标是，则它们的另一个交点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  函数与函数在同一平面直角坐标系中的大致图象正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  函数的图象与直线在第一象限的一个交点为，则代数式的值是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在长方形中，，，，动点从点出发，沿路径运动，则的面积与点经过的路径长之间的函数关系用图象表示大致是(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  当______，分式的值为零．

12.  某种芯片每个探针单元的面积为，用科学记数法表示为______ ．

13.  分式方程有增根，则______．

14.  若点，在反比例函数的图象上，则 ______ 填“”、“”或“”号．

15.  如图，点，都在双曲线上，点是轴正半轴上的点，当的周长为最小值时，点的坐标是______．

16.  如图所示，在轴的正半轴上依次截取，过、、、、分别作轴的垂线与反比例函数的图象交于点、、、、，并设、、面积分别为、、，按此作法进行下去，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
先化简，再求值：
，其中．

19.  本小题分
解方程：．

20.  本小题分
已知一次函数，完成下列问题：
求此函数图象与轴、轴的交点坐标；
画出此函数的图象；观察图象，当时，的取值范围是______；
平移一次函数的图象后经过点，求平移后的函数表达式．

21.  本小题分
根据传染病防控制度的要求，学校必须对教室定期用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量毫克与时间分钟成正比例；药物燃烧完毕后，毫克与时间分钟成反比例，如图所示．请根据图中所提供的信息，解答下列问题：
当药物燃烧时，关于的函数关系式为______，自变量的取值范围为______；药物燃烧后，关于的函数关系式为______；
研究表明，当空气中每立方米的含药量低于毫克时学生方可进入教室，则从消毒开始，至少需要经过______分钟后，学生才能回到教室；
研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于毫克且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？

22.  本小题分
某水果批发店销售、两种水果．已知种水果每千克的批发价是种水果每千克批发价的倍．若用元购买种水果比用元购买种水果多千克．
求、两种水果每千克的批发价；
零售商小娟计划从该店购进、两种水果共千克，且种水果的购买量不少于种水果购买量的倍．若小娟将、两种水果分别按每千克元和元进行销售．请你为小娟设计一个购买方案，使得两种水果售完后能获得最大利润，并求出这个最大利润．

23.  本小题分
如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于，两点，连接，．
求一次函数和反比例函数的解析式；
的面积为______；
直接写出时的取值范围．

24.  本小题分
如图，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称．
求直线的函数解析式；
设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点．
若的面积为，求点的坐标；
连接，如图，若，求点的坐标．

 

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于第一象限的点，与轴、轴分别交于点、．
若，点的坐标为．
直接填空：的值为______，的值为______；
点是轴上一点，且位于点的右侧．若的面积为，求点的坐标；
过点作轴的平行线与函数的图象交于点，与反比例函数的图象相交于点过点作轴的平行线与直线交于点点、不重合问：当为何值时，的值为定值？并求出此时、应满足的条件．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：分式有：，共个，
故选：．
根据分式的定义即可得出答案．
本题考查了分式的定义，掌握分式的分母中含有字母是解题的关键，注意是数字．
 

2.【答案】 

【解析】解：分式有意义，则，
解得，
必须满足的条件是．
故选：．
分式有意义的条件是分母不等于零．
本题主要考查了分式有意义的条件，依据分母不等于零列不等式求解是解决问题的方法．
 

3.【答案】 

【解析】解：原式．
故选：．
直接利用分式的乘法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了分式的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由图可知，小手盖住的点在第二象限，四个选项中只有在第二象限．
故选：．
先判断出小手盖住的点在第二象限，再根据各象限内点的坐标特征解答．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了函数概念，关键是掌握在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量．根据函数的定义解答即可．
【解答】
解：、对于的每一个确定的值，有个或个值与其对应，故不能表示是的函数，故此选项不合题意；
B、对于的每一个确定的值，有个或个值与其对应，故不能表示是的函数，故此选项不合题意；
C、对于的每一个确定的值，有唯一值与其对应，故能表示是的函数，故此选项合题意；
D、对于的每一个确定的值，有个或个值与其对应，故不能表示是的函数，故此选项不符合题意；
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：在直线中，，，
一次函数的图象经过第一、二、四象限，随的增大而减小，故A正确，不合题意；不正确，符合题意；
当时，，
直线与轴的交点为，故B正确，不合题意；
直线向下平移个单位后得到，
当时，，
直线向下平移个单位后经过原点，故D正确，不合题意．
故选：．
根据一次函数的性质以及平移的规律即可判断．
本题考查了一次函数的图象与几何变换以及一次函数的性质，解题的关键是逐条分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题时，熟悉一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数的关系是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为直线与双曲线的交点均关于原点对称，
所以另一个交点坐标为．
故选D．
反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
本题考查反比例函数图象的中心对称性，即两点关于原点对称．
 

8.【答案】 

【解析】解：当时，函数的图象过一三象限，当，时，函数的图象过一二三象限，当，时，函数的图象过二三四象限，故排除，
当时，函数的图象过二四象限，当，时，函数的图象过一三四象限，当，时，函数的图象过一二四象限，故排除，
故选：．
根据一次函数和反比例函数的图象和性质即可判断．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
 

9.【答案】 

【解析】解：函数的图象与直线在第一象限的一个交点为，
把代入得：
，即，
把代入，得：
，
，
，
，
，
，
故选：．
将分别代入两个函数解析式可得，，再利用完全平方公式进行变形可得答案．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，完全平方公式的运用，分式的通分等知识，利用整体思想是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意可知
当时，，
当时，，
当时，．
根据函数解析式，可知D正确．
根据题意分三种情况：当时，当时，当时，由面积列出函数关系式即可．
本题为动点问题的函数图象探究题，考查列函数关系式以及函数图象性质，解答关键是确定动点到达临界点前后的图形变化规律．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：，且，
解得：，
故答案为：．
根据分式值为零条件可得，且．
此题主要考查了分式有意义和分式值为零的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零；分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
故答案是：．
根据科学记数法的要求，将一个数字写成的形式，其中，为整数．
本题考查用科学记数法表示较小数的方法，写成其中，为整数的形式是关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：方程两边都乘，得：

原方程有增根，
最简公分母，故增根是，
把代入整式方程，得．
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为的根．有增根，那么最简公分母，所以增根是，把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值．
增根问题可按如下步骤进行：
根据最简公分母确定增根的值；
化分式方程为整式方程；
把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
．
故答案为．
比例系数小于，两点在同一象限，根据反比例函数的图象的性质作答即可．
考查反比例函数点的坐标特征；用到的知识点为：反比例函数的比例系数小于，两点在同一象限，随的增大而增大．
 

15.【答案】 

【解析】解：点，都在双曲线上，
，
解得，
点坐标为，点坐标为，
点关于轴对称轴坐标为，
设直线解析式为，
将，代入得，
解得，
，
把代入得，
点坐标为，
故答案为：．
由点，在反比例函数图象上求出的值，从而可得点，坐标，设点关于轴对称点为，求出解析式，进而求解．
本题考查轴对称最短线路问题，解题关键是掌握反比例函数的性质，掌握函数与方程的关系．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，，
，
，，，，，
依此类推：的值为，
，
故答案是：．
根据反比例函数中的几何意义再结合图象即可解答．
主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系即．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】根据零指数次幂，负整数指数幂，算术平方根的的意义及性质求解各项的值，再相加减即可求解．
本题主要考查实数的运算，零指数次幂，负整数指数幂，算术平方根，掌握零指数次幂，负整数指数幂，算术平方根的的意义及性质是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式

，
当时，
原式
． 

【解析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
 

19.【答案】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根． 

【解析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
 

20.【答案】当时，
函数的图象与轴的交点坐标为；
当时，，解得：，
函数的图象与轴的交点坐标．


设平移后的函数表达式为，将代入得：，
，
．
答：平移后的直线函数表达式为：． 

【解析】分别求出直线与轴、轴的交点，画出函数图象即可；
函数图象如图所示．
观察图象，当时，的取值范围是．
故答案为：；
见答案
 

21.【答案】       

【解析】解：设正比例函数为，
将代入，得：
，
当药物燃烧时，关于的函数关系式为，
由图象可得：
  ，
设反比例函数为，
将代入，得：
，
药物燃烧后，关于的函数关系式为，
故答案为：；；；
当空气中每立方米的含药量低于毫克时学生方可进入教室，
，
，
解得：，
从消毒开始，至少需要经过分钟后，学生才能回到教室，
故答案为：，
此次消毒有效，理由如下：
当时，，解得，
当时，，解得，
，
此次消毒有效．
将两个函数的解析式分别设出来，利用待定系数法即可求解；
计算出每立方米的含药量为毫克时的时间，判断即可；
分别计算出两个函数每立方米的含药量为毫克时的时间，相减即为持续时间，比较大小即可．
本题考查用待定系数法求函数解析式，解题的关键是读取题干信息，利用函数解析式求解相关的量，属于中考必考题型．
 

22.【答案】解：设种水果的批发价为元千克，则种水果的批发价为元千克，依题意，得：
，
去分母，得：
，
解得；，
经检验：是原方程的解，
当时，，
答：种水果的批发价为元千克，种水果的批发价为元千克；
设小娟购进种水果千克，则她购进种水果千克，依题意，得
，
解得：．
，
．
设两种水果售完后能获得的最大利润为元，则：
．
，
随的增大而减小，
当时，最大元，
当时，．
小娟购进种水果千克，种水果千克时，售完后能获得最大利润，其最大利润为元． 

【解析】设种水果的批发价为元千克，则种水果的批发价为元千克，由题意列出分式方程，解方程即可，注意验根；
设小娟购进种水果千克，则她购进种水果千克，先求出的取值范围，再根据根据总利润等于两种水果的利润之和列出函数关系式，根据函数的性质求最值即可．
本题考查一次函数的应用和分式方程的应用，关键是根据总利润等于两种水果的利润之和列出函数关系式．
 

23.【答案】解：把代入中，
解得：，
故反比例函数的解析式为；
把代入，解得，
故B，
把，代入，
得，解得：，
故一次函数解析式为；
；
由图象可知，当或时，直线落在双曲线上方，即，
所以时的取值范围是或． 

【解析】解：见答案；
如图，设一次函数与轴交于点，
令，得．
点的坐标是，
．
故答案为；
见答案．
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，三角形的面积，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．利用了数形结合思想．
首先把代入反比例函数解析式中确定，然后把代入反比例函数的解析式确定，然后根据，两点坐标利用待定系数法确定一次函数的解析式；
求得一次函数与轴的交点，根据即可求解；
根据图象，写出直线落在双曲线上方的部分对应的自变量的取值范围即可．
 

24.【答案】解：对于
由得：，

由得：，解得，
，
点与点关于轴对称，
，
设直线的函数解析式为，，解得
直线的函数解析式为，

解：设，
则、
如图，过点作于点，
，
，
，
解得，
或；
解：如图，当点在轴的左侧时，
点与点关于轴对称
，

，

，



设，则
，，
，解得
，
当点在轴的右侧时，如图，
同理可得，
综上，点的坐标为或 

【解析】先确定出点坐标和点坐标，进而求出点坐标，最后用待定系数法求出直线解析式；
先表示出，最后用三角形面积公式即可得出结论；
分点在轴左侧和右侧，先判断出，进而利用勾股定理建立方程即可；
此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定，勾股定理，坐标轴上点的特点，分类讨论是解本题的关键．
 

25.【答案】   

【解析】解：当时，，
直线与反比例函数的图象交于第一象限的点，且点的坐标为，
，，
，
故答案为：，；
如图，

当时，，
，
设，
的面积为，
，
，
，
；
依题意得：，，
，
当时，，
，
，
如图，当点在直线的左侧时，即时，

，
，
当时，的值为定值；
，，，，
，
；
当时，的值为定值，此时、应满足的条件是；
如图，当在直线的右侧时，即时，

，
，
当时，的值为定值，
，的值为正数，
当不合题意，舍去，
综上，当时，的值为定值，此时，应该满足的条件是．
将点的坐标分别代入一次函数和反比例函数的解析式中，结合可得和的值；
设，根据的面积为，则，列方程解出可得结论；
分两种情况：如图，当点在直线的左侧时，即时，如图，当在直线的右侧时，即时，根据计算可得结论．
本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，待定系数法的运用，解题时正确画图是解题的关键．