2022-2023学年上海市杨浦区重点中学高二（下）月考数学试卷（6月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年上海市杨浦区重点中学高二（下）月考数学试卷（6月份）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市杨浦区重点中学高二（下）月考数学试卷（6月份）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知是平面的一条斜线，直线，则(    )A. 存在唯一的一条直线，使得 B. 存在无限多条直线，使得
C. 存在唯一的一条直线，使得 D. 存在无限多条直线，使得2.  从名男医生、名女医生中选名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有(    )A. 种 B. 种 C. 种 D. 种3.  在梯形中，，，，将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(    )A.  B.  C.  D. 4.  设，均为非零实数，则直线和在同一坐标系下的图形可能是(    )A.  B.
C.  D. 二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.  半径为的球的表面积是______．6.  双曲线的两条渐近线的夹角大小为______ ．7.  在正方体中，直线与平面所成的角是______．8.  从，，，，，，，，这个数中任取个不同的数，其和为偶数，则不同的取法有______ 种？9.  已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为______ ．10.  两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为______ ．11.  已知双曲线方程为，点是该双曲线上的点，、分别是它的左、右焦点，若，则的大小为______ ．12.  设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则_______．13.  已知样本容量为的样本的平均数为，方差为，在此基础上获得新数据，把新数据加入原样本得到样本容量为的新样本，则该新样本的方差为______ ．14.  若方程的系数、、可以从，，，，，这个数中任取个不同的数而得到，则这样的方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是______ 结果用数值表示15.  已知三棱锥中，，，两两垂直，且长度相等．若点，，，都在半径为的球面上，则球心到平面的距离为          16.  点是椭圆上的动点且点不在坐标轴上，称动点构成的轨迹为曲线若圆与曲线无公共点，则实数的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
某电子商务公司对名网络购物者年度的消费情况进行统计，发现消费金额单位：万元都在区间内，其频率分布直方图如图所示．
求直方图中的；
在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数为______．
18.  本小题分
如图，在中，，，，可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角动点在线段上．
当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；
求与平面所成角的最大值．
19.  本小题分
已知椭圆的方程为，、分别是它的左、右焦点．
求椭圆的长轴长以及离心率；
过点的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，若直线的斜率为且，求直线的方程．20.  本小题分
我国古代数学名著九章算术中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广刍，草也甍，窟盖也”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱刍甍的字面意思为茅草屋顶”
现有一个“刍甍”如图所示，四边形为正方形，四边形、为两个全等的等腰梯形，，，，．
设过点且与直线垂直的平面为平面，且平面与直线、分别交于、两点，求的周长；
求四面体的体积；
点在线段上且满足试问：在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21.  本小题分
已知椭圆的方程为常数，点为椭圆短轴的上端点，点是椭圆上异于点的一个动点若动点到定点的距离的最大值仅在点为短轴得另一顶点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知．
若，判断椭圆是否为“圆椭圆”；
若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围；
已知椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，点关于原点的对称点为点点也异于点，且直线、分别与轴交于、两点试问以线段为直径的圆是否过定点？证明你的结论．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：平面内的直线与平面的一条斜线在面内的投影垂直，
则与斜线垂直，这样的平行线有无数多条，所以不正确，B正确，
面内的直线若有与斜线平行的则斜线与面平行，显然不可能的，
所以，不正确．
故选：．
面内与平面的斜线在面内的投影垂直的直线与斜线垂直，这样的直线时一组平行线，有无数多条；面内的直线与斜线只有相交和异面两种情况，没有平行的可能．
考查斜线与面内直线的位置关系，只有相交和异面两种情况．属于简单题．
 2.【答案】 【解析】解：根据题意可知分两类：
一男两女，有种，
两男一女，有种，
共计种．
故选：．
选名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，方法共有两类，一是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】【分析】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，画出几何体的直观图是解题的关键，属于基础题．
画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：

旋转体是底面半径为，高为的圆柱，挖去一个相同底面高为的倒圆锥，
几何体的体积为：．
故选：．  4.【答案】 【解析】解：假设，得到直线一定经过二、四象限时，二次函数开口向下，则、不正确；
假设，，得到二次函数的对称轴，则不正确；A正确，
假设，，则直线不经过不经过第四象限，所以不正确，得到二次函数的对称轴，即对称轴在轴的左侧，则不正确；
故选：．
假设一次函数的图象正确，根据与的正负来讨论二次函数的开口方向向上或向下、对称轴在轴的左侧或右侧，利用排除法得到正确答案即可．
本题考查一次函数与二次函数的图象的判断，此题的解题思路是假设一次函数的图象正确来判断二次函数的正确与否，做题的方法是排除法．
 5.【答案】 【解析】解：由题意，半径为的球的表面积是．
故答案为．
直接利用球的表面积公式，即可得出结论．
本题考查球的表面积公式，考查学生的计算能力，比较基础．
 6.【答案】 【解析】解：双曲线的两条渐近线方程为，
两渐近线互相垂直，两条渐近线的夹角大小为．
故答案为：．
求得双曲线的两渐近线方程，可求两条渐近线的夹角大小．
本题考查双曲线的几何性质，属基础题．
 7.【答案】或 【解析】解：连接，交于点，再连接，
因为是在正方体中，
所以平面，
所以是直线与平面 所成的角．
设正方体的边长为，
所以在中，，，
所以，
所以直线与平面 所成的角的大小等于．
故答案为：或
连接，交于点，再连接，根据几何体的结构特征可得：平面，所以是直线与平面 所成的角，再利用解三角形的有关知识求出答案即可．
解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，以及空间角的做法与解法，是中档题．
 8.【答案】 【解析】解：要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，
当取得个偶数时，有种结果，
当取得个奇数时，有种结果，
当取得奇偶时，有种结果，
所以共有种结果．
故答案为：．
要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得个偶数时，当取得个奇数时，当取得奇偶时，分别用组合数表示出各种情况的结果，再根据分类加法原理计算即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
 9.【答案】 【解析】解：设圆锥的母线长为，高为，
由题意可得，，
解得，
所以，
所以该圆锥的体积为．
故答案为：．
利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，列式求解即可．
本题考查了圆锥的侧面展开图的理解与应用，考查了圆锥的体积公式，同时考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：分别记两个实习生加工一个零件为一等品的事件为，，
则由已知可得，，且，相互独立，
两个零件中恰有一个一等品的概率为
故答案为：．
分别记两个实习生加工一个零件为一等品的事件为，，则由已知可得，，且，相互独立，两个零件中恰有一个一等品的概率为．
本题主要考查了相互独立事件的概率公式的求解：若，相互独立，则；还利用了对立事件的概率公式，要注意该方法在解决概率问题时，若正面情况较多时，可以利用此方法．
 11.【答案】 【解析】解：双曲线方程为，，，焦点坐标，，
，
．
．
故答案为：．
先根据双曲线的定义得到，再由余弦定理得到的值，进而可得到的大小．
本题主要考查双曲线的基本性质和余弦定理的应用，考查基础知识的简单应用．
 12.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查直线和圆的位置关系，弦长公式、点到直线的距离公式的应用，属于中档题．
由弦长公式可得圆心到直线的距离为，再由点到直线的距离公式可得，由此求得的值．
【解答】
解：由于圆的圆心，半径等于，且圆截直线所得的弦的长为，
故圆心到直线的距离为，
即，解得，
故答案为．  13.【答案】 【解析】解：设这个数据分别为，，，，则，
方差为，所以，
加入一个新数据，
此时这个数的平均数为，方差为，
所以，
．
故答案为：．
利用平均数、方差的定义直接求解即可．
本题考查了平均数、方差的计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
 14.【答案】 【解析】解：方程表示椭圆，
，，
、、 从，，，中任意选取个，
所有的选法，
满足条件的选法，
方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是；
故答案为．
由题意知，，，所有的选法，满足条件的选法；由古典概型的公式计算可得答案．
本题考查椭圆的性质、等可能时间的概率．
 15.【答案】 【解析】【分析】本题考查空间几何体的外接球，几何体的体积以及点线面距离的求法，属于中档题．
三棱锥中，，，两两垂直，且长度相等，此三棱锥的外接球即以，，为三边的正方体的外接球，球心到截面的距离即正方体中心到截面的距离，设到截面的距离为，利用正三棱锥的体积转化求解即可．【解答】解：三棱锥中，，，两两垂直，且长度相等，
此三棱锥的外接球即以，，为三边的正方体的外接球，
球的半径为，
正方体的边长为，
即，
球心到截面的距离即正方体中心到截面的距离，
设到截面的距离为，
则正三棱锥的体积
，
又为边长为的正三角形，
得，
，
球心即正方体中心到截面的距离为．
故答案为．  16.【答案】 【解析】解：令，，可得，，而在椭圆上，
所以可得曲线的方程为：，
若圆与曲线有公共点，
则，可得，当且仅当时取等号，
所以圆与曲线无公共点的的范围为．
故答案为：．
由题意可得曲线的方程，求出要使圆与曲线有公共点时的的范围，进而求出所求的结果．
本题考查椭圆的性质的应用及曲线方程的求法，均值不等式的应用，属于中档题．
 17.【答案】 【解析】解：由频率分布直方图及频率和等于可得：
，
解得．
消费金额在区间内频率为，
所以消费金额在区间内的购物者的人数为．
故答案为：，．
利用频率和为，求得．
由消费金额在区间内的频率，求得消费金额在区间内的购物者的人数
本题考查频数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用
 18.【答案】解：由题意可得，，平面平面，
平面平面，面，
所以面，
如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，
若为的中点，则，
所以，，
设异面直线与所成的角，
则，，
所以异面直线与所成角的大小为．
若动点在线段上，设，，，
则，，
所以，解得，
即，则，
由题意知，平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，，
因为开口向上，对称轴为，
所以当时，取到最小值，
所以的最大值为，
又因为，
所以的最大值为，
所以与平面所成角的最大值为． 【解析】建立空间坐标坐标系，利用空间向量求异面直线夹角．
设，，，利用空间向量求线面夹角，结合二次函数分析运算．
本题考查直线与平面的位置关系，解题中需要理清思路，属于中档题．
 19.【答案】解：椭圆的方程为 ，则 ，，，
即，，
所以椭圆的长轴长 ，
离心率；
椭圆右焦点 ，由题意可知过点  的直线斜率存在且不为，设直线的方程为：，
代入椭圆方程消去得：，
设 ，，则有 ，，
，，且 ，
则，
，
解得，所以直线的方程有或． 【解析】由椭圆标准方程求出，，，可得长轴长和离心率；设直线的方程为，代入椭圆方程消去，设得，利用韦达定理解出的直线方程．
本题考查直线与椭圆的综合问题，属于中档题．
 20.【答案】解：过点分别作，，分别交，于，，连接，
所以平面即为平面，

因为四边形为正方形，，所以，，
由已知得，，
所以的周长为．
过点作，垂足为．

因为，平面，平面，
所以平面因为，，所以．
因为，，平面，所以平面．
因为平面，所以．
因为，，平面，
所以平面，所以为三棱锥的高，，
因为，所以，
所以；
假设存在点当点在线段上时，连接交于，
 
则∽，因为，
所以，
因为平面，平面，平面平面，
所以，所以，
综上，在直线上存在点，使平面，的值为． 【解析】过点分别作，，连接，所以平面即为平面，分别求出，，，即可求出求的周长；
利用等体积转化，再求解点到平面的距离，即可求解体积；
当点在线段上时，分别利用线线，线面平行关系求得的值．
本题考查空间几何体的性质，考查三角形的周长，考查点的位置的确定，属中档题．
 21.【答案】解：由题意得椭圆方程：，所以，
设则，，
二次函数开口向下，对称轴，
所以时，函数值最大，故椭圆不是“圆椭圆”；
由的方法：椭圆方程：，设，则，，
由题意得，当且仅当时，函数值达到最大，
讨论：当开口向上时，满足：舍；
当开口向下时，满足，
综上，的范围是
，椭圆方程：，
由题意：设，，且，则，
则直线：
则直线：，
为直径的圆过定点则，，可得：，
令，
所以以线段为直径的圆过定点 【解析】直接判断即可，
由的方法判断，可得时，函数值达到最大，分别讨论二次项系数的正负，是否满足条件得出的取值范围；
设参数方程满足以为直径的圆过原点，使数量积为零得出定点
本题考查“圆椭圆”的定义，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．