2022-2023学年河南省洛阳市强基联盟高二（下）联考数学试卷（6月份）（含解析）

2022-2023学年河南省洛阳市强基联盟高二（下）联考数学试卷（6月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知随机变量的分布列如表：

则实数(    )

A.  B.  C.  D.

2.  五一期间，人民商场推出促销活动：将购买商品的顾客分成人一组，在每组名顾客中随机选出名赠送纪念品，则顾客甲得到纪念品的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  根据分类变量与的抽样数据，计算得到依据的独立性检验则下面说法正确的是(    )

A. 变量与不独立，该推断犯错误的概率不超过
B. 变量与不独立，该推断犯错误的概率不低于
C. 变量与独立，该推断犯错误的概率不超过
D. 变量与独立，该推断犯错误的概率不低于

5.  已知某地市场上供应的洗衣机中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一台合格洗衣机的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知直线与曲线相切，则实数(    )

A.  B.  C.  D.

7.  名研究人员在个无菌研究舱同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少人，至多人，则不同的安排方案共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

8.  已知函数的定义域为，为的导函数，且，则不等式的解集是(    )

A.  B.
C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知两个变量，的数据如下表：

其中数据，，，，和数据，，，，的平均数分别为，并且计算得相关系数，经验回归方程为，则(    )

A. 变量，负相关 B.
C. 一定成立 D. 一定成立

10.  若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如、等都是“凸数”，用，，，，这五个数字组成无重复数字的三位数，则(    )

A. 组成的三位数的个数为
B. 在组成的三位数中，奇数的个数为
C. 在组成的三位数中，偶数的个数为
D. 在组成的三位数中，“凸数”的个数为

11.  设随机变量的分布列为，为常数，则(    )

A.  B.
C.  D.

12.  有一座高度是级第级第级台阶的楼梯，小明在楼梯底部第级从下往上走，每跨一步只能向上级或者向上级，且每步向上级与向上级的概率相同，设第步后小明所在台阶级数为随机变量，则(    )

A.  B.
C.  D. 中最大

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知随机变量服从两点分布，且，则 ______ ．

14.  已知随机变量，若，则 ______ ．

15.  某校排球队假期集训，集训前共有个排球，其中个是新球即没有用过的球，个是旧球即至少用过一次的球每次训练，都从中任意取出个球，用完后放回，则第二次训练时恰好取到一个新球的概率为______ ．

16.  一个笔袋内装有支同型号签字笔，其中黑色签字笔有支，蓝色签字笔有支，若从笔袋内每次随机取出支笔，取后不放回，取到蓝色签字笔就停止，最多取次，记取出的签字笔个数为，则 ______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
某医药研究小组在研究治疗某疾病的药品的临床实验中得到了如下数据：服用药品的患者有名，其中治愈名；服用安慰剂的患者有名，其中未治愈名．
根据所给数据，完成以下列联表单位：人：

根据小概率值的独立性检验，能否认为药品对治疗此疾病有效？
参考公式，其中．

18.  本小题分
在的展开式中，第项的二项式系数是第项的二项式系数的倍．
求的值；
求的展开式中的常数项．

19.  本小题分
盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机属性，只有打开才会知道自己抽到了什么但有些经营者用盲盒清库存，损害消费者合法权益，扰乱市场年月日，上海市消费者权益保护条例对盲盒等随机销售经营行为作出规范，明确经营者采取随机抽取的方式向消费者销售特定范围内商品或者提供服务的，应当按照规定以显著方式公示抽取规则、商品或者服务分布、提供数量、抽取概率等关键信息现有一款盲盒套装，有个不同的盲盒，其中有男孩卡通人物个，女孩卡通人物个，现从盲盒套装中随机取个不同的盲盒．
求取出的个盲盒中，至少有个男孩卡通人物的概率；
在取出的个盲盒中，女孩卡通人物的个数设为，求随机变量的分布列和数学期望．

20.  本小题分
在政策的扶持下，小华计划在某乡开快递站，为了解市场行情，在该市调查了家农村快递站，统计得到了它们的营业面积单位：和日均客流量单位：人的数据，初步判断与线性相关，并计算得．
求与的样本相关系数结果精确到；
现有营业面积为的商铺正在出租，小华准备租用此商铺开快递站，请预估小华的快递站的日均客流量结果精确到个位数．
参考公式：样本相关系数，回归直线方程中，，参考数据．

21.  本小题分
年月日第二届全民阅读大会在杭州举办，目的是为了弘扬全民阅读风尚，共建共享书香中国某市响应号召，推进全体学生阅读，在全市名学生中抽取名学生调查每周阅读时间，得到频率分布直方图如下图：
由频率分布直方图可以认为该市学生每周阅读时间服从正态分布，其中可以近似为名学生的每周阅读时间的平均值同组数据用该组数据区间的中点值表示，．
试估计全市学生中每周阅读时间不高于小时的人数；
若从全市学生中随机抽取名学生进行座谈，设选出的人中每周阅读时间在小时以上的学生人数为，求随机变量的分布列，均值与方差．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．

22.  本小题分
已知函数，．
若函数在上单调递增，求的取值范围；
若，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得，，解得．
故选：．
根据离散型随机变量分布列的性质求解即可．
本题考查离散型随机变量的分布列的性质，是中档题．
 

2.【答案】 

【解析】解：从名顾客中随机选出名顾客有种方法，
其中甲被选中有种方法，
所以顾客甲得到纪念品的概率．
故选：．
先求出从名顾客中随机选出名顾客的选法，然后求出甲被选中的选法，由古典概率公式可求．
本题主要考查了古典概率公式的应用，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由条件概率的公式，得，
所以．
故选：．
直接利用条件概率公式求解．
本题主要考查了条件概率公式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
所以变量与不独立，该推断犯错误的概率不超过．
故选：．
根据题干中的观测值，结合题意，即可得出正确的结论．
本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：记事件“买到的洗衣机是甲厂产品”，事件“买到的洗衣机是乙厂产品”，事件“买到的洗衣机是合格品”，
所以，
即从该地市场上买到一台合格洗衣机的概率是．
故选：．
根据条件概率公式及全概率公式计算即可．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，是中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：设切点坐标为，
由，得，
由题意可得，，
联立解得．
故选：．
设切点坐标为，求出原函数的导函数，由题意可得关于与的两个方程，联立求解得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：每个舱各安排人，共有种不同的方案；
方案二：分别安排人，人，人，共有种不同的方案．
所以共有种不同的安排方案．
故选：．
方案一：每个舱各安排人，共有种不同的方案；方案二：分别安排人，人，人，共有种不同的方案，共有种不同的安排方案．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意，构造函数，
则，
所以函数在上单调递增，
又，即，
所以，即，解得．
故选：．
构造，由导函数得到其单调性，从而由单调性解不等式求出答案．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：相关系数，变量，正相关，经验回归方程中，，
故A错误，B正确；
由经验回归方程恒过样本点的中心，一定成立，故C正确；
由经验回归方程求出的值是估计值，则不一定等于，故D错误．
故选：．
由相关系数可判断与；由经验回归方程恒过样本点的中心判断；由经验回归方程求出的值是估计值判断．
本题考查经验回归方程的性质及应用，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：个数组成无重复的三位数的个数为，故A正确；
个位为，或时，三位数是奇数，则奇数的个数为，故B错误；
偶数有个，故C错误；
将这些“凸数”分为三类：
十位为，则有种，
十位为，则有种，
十位为，则有种，
所以在组成的三位数中，“凸数”的个数为，故D正确．
故选：．
根据位置特殊限制的排列问题和“凸数”的概念分析，结合选项依次求解即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，随机变量的分布列为，
则有，
变形可得，
则A正确；
对于，由的结论，，则，
，
则B错误；
对于，由于，则，C正确；
对于，由于，则，D正确．
故选：．
根据题意，由分布列的性质求出的值，可得A正确，由此求出的期望和方差，可得B错误，进而分析和的值，可得CD正确，综合可得答案．
本题考查随机变量的分布列，涉及随机变量的期望和方差，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：小明每步向上级和向上级的概率都是，
“跨步，每步向上个台阶”，
，故A正确；
的可能取值为，，，
，，，
所以，故B正确；
“跨步到达第级台阶，且步每步向上个台阶，剩余步每步向上个台阶”，
；
“跨步到第级台阶，有步向上个台阶，剩余步每步向上个台阶”，
，故C错误；
由题意，，表示跨步到达第级台阶，每步向上个台阶，，
“跨步到达第级台阶，有步每步向上个台阶，剩余步每步向上个台阶”，
，
依次类推得：，，，，
所以时的概率最大，故D正确．
故选：．
对于，表示跨步到达第级台阶，由此算出对应概率；
对于，的值可能为，，，再求出各自的概率，再利用期望公式求解；
对于，，说明这四步有两步一阶，两步两阶，结合二项分布的知识求出，同理算出，即可判断结论；
对于，可以取，，，，，，分别算出对应的概率，比较即可．
本题考查利用二项分布的知识与方法，计算随机变量对应事件的概率和随机变量的期望，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得，，，
解得．
故答案为：．
根据离散型随机变量的分布列的性质列式计算即可．
本题考查离散型随机变量的分布列的性质，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为随机变量，，
所以，
所以．
故答案为：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：记事件为第一次训练取到新球，事件为第二次训练取到新球，
由全概率公式得，．
故答案为：．
根据条件概率公式和全概率公式计算即可．
本题考查条件概率公式，考查全概率公式，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据黑色签字笔有支，蓝色签字笔有支，若从笔袋内每次随机取出支笔，取后不放回，取到蓝色签字笔就停止，最多取次可知，
的可能取值是，，，，，
，
，
，
，
，
所以．
故答案为：．
根据题意可知，的可能取值是，，，，，计算对应概率，求出期望即可．
本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
 

17.【答案】解：根据所给数据，得到列联表如下：

，
根据小概率值的独立性检验，认为药品对治疗此疾病有效． 

【解析】根据题目所给的数据填写列联表即可；
计算，对照题目中的表格，得出统计结论．
本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题．
 

18.【答案】解：由二项展开式通项公式可知，，
所以由题意知，解得；
由知二项展开式的通项公式为，
令，解得，
故展开式中的常数项为． 

【解析】根据二项展开式的通项公式及二项式系数的概念求解；
由二项展开式通项公式，令求解即可．
本题主要考查二项式定理，考查转化能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：从盲盒套装中随机取个不同的盲盒的试验有个基本事件，
其中至少有个男孩卡通人物的事件，其对立事件有个基本事件，
所以至少有个男孩卡通人物的概率．
依题意，的可能值为，，，
，
所以随机变量的分布列为：

数学期望为． 

【解析】根据给定条件，利用古典概率求出没有男孩卡通人物的概率，再利用对立事件概率公式求解作答．
求出的可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答．
本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：，，

；
由已知数据可得：，
．
关于的线性回归方程为．
当时，．
即预估小华的快递站的日均客流量为人． 

【解析】由已知直接利用相关系数公式求解；
利用最小二乘法求得与的值，可得线性回归方程，取求解值即可．
本题考查相关系数与线性回归方程，考查运算求解能力，是基础题．
 

21.【答案】解：样本中名学生每周阅读时间的均值为：
，即，又，所以，
所以，
所以全市学生中每周阅读时间不高于小时的人数大约为：人；
因为，所以成功概率，可得，
故，
，
，
，
，
，
随机变量的分布列为：

故，． 

【解析】由直方图求出均值，结合服从正态分布，计算，则全市学生中每周阅读时间不高于小时的人数可求；
显然服从二项分布，则先算出成功概率，再利用二项分布的知识与性质求出分布列、均值与方差．
本题考查正态分布与二项分布的性质和应用，属于中档题．
 

22.【答案】解：由题意得，
函数在上单调递增，
在上恒成立，
又在上单调递增，则，
故，解得，
故的取值范围是；
证明：，，要证，只需证，
令，则．
当时，，即函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
当时，取得极小值也是最小值，即，
令，则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
当时，取得极小值也是最小值，即，
故当时，，即．
故． 

【解析】对求导后，问题转化为在上恒成立，进而求得的最小值，即可得出答案；
由可得只需证明，令，求导后求得；令，求导后求得，从而可得，即可证明结论．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．