四川省内江市2022届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试卷（含答案）

四川省内江市2022届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，，则(   )

A.  B.

C.  D.

2、已知复数，则(   )

A. B. C. D.

3、“，”是“”的条件.

A.充分不必要  B.必要不充分

C.充要  D.既不充分也不必要

4、已知，则(   )

A. B. C. D.

5、如图，长方体中，点E，F分别是棱，上的动点（异于所在棱的端点）.给出以下结论：①在F运动的过程中，直线能与AE平行；②直线与EF必然异面；③设直线AE，AF分别与平面相交于点P，Q，则点可能在直线PQ上.其中所有正确结论的序号是(   )

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③

6、《算法统宗》是由明代数学家程大位所著的一部应用数学著作，其完善了珠算口诀，确立了算盘用法，并完成了由筹算到珠算的彻底转变，该书清初又传入朝鲜、东南亚和欧洲，成为东方古代数学的名著.书中卷八有这样一个问题：“今有物靠壁，一面尖堆，底脚阔一十八个，问共若干？”如图所示的程序框图给出了解决该题的一个算法，执行该程序框图，输出的S即为该物的总数S，则总数(   )

A.136 B.153 C.171 D.190

7、已知直线l过点，与圆相交于B，C使得，则满足条件的直线l的条数为(   )

A.0 B.1 C.2 D.3

8、函数的图象大致为(   )

A.

B.

C. 

D.

9、设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则(   )

A. B. C. D.

10、2022年第24届冬季奥林匹克运动会（即2022年北京冬季奥运会）的成功举办，展现了中国作为一个大国的实力和担当，“一起向未来”更体现了中国推动构建人类命运共同体的价值追求.在北京冬季奥运会的某个比赛日，某人欲在冰壶（●）、冰球（●）、花样滑冰（）、跳台滑雪（）、自由式滑雪（）这5个项目随机选择2个比赛项目现场观赛（注：比赛项目后括号内为“●”表示当天不决出奖牌的比赛，“”表示当天会决出奖牌的比赛），则所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的概率为(   )

A. B. C. D.

11、已知双曲线C的一条渐近线为直线，C的右顶点坐标为，右焦点为F.若点M是双曲线C右支上的动点，点A的坐标为，则的最小值为(   )

A. B. C. D.

12、设，，，则a，b，c的大小关系正确的是(   )

A.  B.

C.  D.

二、填空题

13、已知向量，，若，则实数t的值为_______________.

14、函数（）的图象向右平移后所得函数图象关于y轴对称，则______．

15、已知抛物线C以坐标原点O为顶点，以为焦点，直线与抛物线C交于两点A，B，直线AB上的点满足，则抛物线C的方程为______________.

16、已知P，A，B，C，D都在同一个球面上，平面平面ABCD，ABCD是边长为2的正方形，，当四棱锥的体积最大时，该球的半径为______．

三、解答题

17、某县为了解乡村经济发展情况，对全县乡村经济发展情况进行调研，现对2012年以来的乡村经济收入y（单位：亿元）进行了统计分析，制成如图所示的散点图，其中年份代码x的值1—10分别对应2012年至2021年．

（1）若用模型①，②拟合y与x的关系，其相关系数分别为，，试判断哪个模型的拟合效果更好？

（2）根据（1）中拟合效果更好的模型，求y关于x的回归方程（系数精确到0.01），并估计该县2025年的乡村经济收入（精确到0.01）．

参考数据：，，，，

参考公式：对于一组数据，，…，，回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

18、已知数列中，，，设.

（1）求，，；

（2）判断数列是不是等比数列，并说明理由；

（3）求数列的前n项和.

19、如图所示，已知是边长为6的等边三角形，点M、N分别在AB，AC上，，O是线段MN的中点，将沿直线MN进行翻折，A翻折到点P，使得平面平面MNCB，如图所示.

（1）求证：；

（2）若，求点M到平面PBC的距离.

20、已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设是椭圆C上第一象限的点，直线l过P且与椭圆C有且仅有一个公共点.

①求直线l的方程（用，表示）；

②设O为坐标原点，直线l分别与x轴，y轴相交于点M，N，求面积的最小值.

21、已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若a为整数，当时，，求a的最小值．

22、在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的方程为．以坐标原点O的极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求直线l及曲线C的极坐标方程；

（2）设直线l与曲线C相交于M，N两点，满足，求直线l的斜率．

23、已知函数．

（1）若存在，使得，求实数a的取值范围；

（2）令最小值为M．若正实数a，b，c满足，求证：．

参考答案

1、答案：B

解析：由，解得，

即，

因为，

所以.

故选：B

2、答案：D

解析：由复数，可得，

所以.

故选：D.

3、答案：A

解析：当，时，成立，

当时，取，满足，但是不满足，，

所以“，”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

4、答案：C

解析：，，

.

故选：C.

5、答案：B

解析：长方体中，，,

连接，，当点E，F分别是棱，中点时，由勾股定理得：，故，同理可得：，故四边形是平行四边形，所以在F运动的过程中，直线能与AE平行，与EF相交，①正确，②错误；

以为坐标原点，，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则当点E，F分别是棱，中点且长方体为正方体时，设棱长为2，则，，，则，，则，又两向量有公共点，所以,M,N三点共线，故则点可能在直线PQ上，③正确.

故选：B

6、答案：C

解析：由图可知，输出

故选：C

7、答案：B

解析：由题设，，故圆心，半径，则，

又，故A在圆M内部，且，

所以过A的直线与圆M相交的最短弦长为，

此时，直线l，则直线l有且仅有一条.

故选：B

8、答案：B

解析：因为函数的定义域为R，，

即函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除A；

由于幂函数增长速度最快，所以时，，故排除D；

由于，

当时，显然，即在单调递增，故排除C；

故选：B.

9、答案：D

解析：由题意知，，

，

，

，

由正弦定理，得，

又，所以，

即，由，得.

故选：D

10、答案：D

解析：分别为a,b,c,d,e表示冰壶（●）、冰球（●）、花样滑冰（）、跳台滑雪（）、自由式滑雪（）这5个项目，则这5个项目随机选择2个比赛项目的所有情况有：ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,de，共10种，

其中所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的有：ab,ac,ad,ae,bc,bd,be，共7种，

所以所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的概率为，

故选：D

11、答案：B

解析：设双曲线方程为，则，所以，

双曲线方程为，由，得，，

因此在双曲线外部（不含焦点的部分），

又，所以，

在中，由三边之间的关系可知当M是线段AF与双曲线的交点，

即A,M,F三点共线时，取得最小值，

且最小值为，

故选：B.

12、答案：D

解析：设，则，

所以在上递减，所以，即，

设，则，递增，

则，即，

所以，

令，则，，

当时，，则递减，又，

所以当时，，递减，

则，即，

因为，则，

所以，即，

故，

故选：D

13、答案：1

解析：，又，故

即，解得

故答案为：1

14、答案：

解析：由的图象向右平移后，可得

的图象，

因为的图象关于y轴对称，

所以,解得,

因为，解得，

当时，.

故答案为：.

15、答案：

解析：由题意可知，当时，，

即直线恒过定点，

所以，且，

因为，

所以，

即，解得，

所以抛物线C的方程为：，

故答案为：.

16、答案：

解析：如图，过点P作于Q，

平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，，故四棱锥的体积最大，即PQ最大，，PQ最大，即面积最大，由,，得，，得，当且仅当时取等号，此时面积最大，为等边三角形.取的外心为，

正方形ABCD的外心为，过,分别作所在平面的垂线，交点为O，O即为四棱锥外接球的球心，四边形为矩形， ，，设外接球半径为R，则.

故答案为：.

17、答案：（1）的拟合效果更好

（2），88.88亿元

解析：因为更接近1，所以的拟合效果更好.

根据题中所给数据得，

则，

所以回归方程为，

2025年的年份代码为14，

当时，，

所以估计该县2025年的乡村经济收入为88.88元.

18、答案：（1），，；

（2）是等比数列，理由见解析；

（3）.

解析：(1)由题设，，，

所以，，.

(2)由题设，，而，

所以是首项为-1，公比为的等比数列，又，

所以是首项为-1，公比为的等比数列.

(3)由（2）知：，则.

19、答案：（1）证明见解析；

（2）

解析：(1)证明：因为是边长为6的等边三角形，且，

在中，可得，

又因为点O是线段MN的中点，所以，

因为平面平面MNCB，且平面PMN，平面平面，

所以平面MNCB，

又因为平面MNCB，所以.

（2）由是边长为6的等边三角形，可得的高为，

因为,，可得，,

则的面积为，

又由平面MNCB，且，

所以三棱锥的体积为，

在直角中，，可得，

所以的面积为，

设点O到平面PBC的距离为d，

因为，可得，解得，

又由，且平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，

则点M到平面PBC的距离与点O到平面PBC的距离相等，

所以点M到平面PBC的距离为.

20、答案：（1）；

（2）；.

解析：(1)由题意知，

椭圆的离心率为，且过点，

则，解得，

所以椭圆的标准方程为；

（2）①因为是椭圆在第一象限的点，

所以，即，

设直线l方程为，

则，消去y，

整理得，

则，

整理，得，

即，则，解得，

所以直线l方程，即；

②令，得，令，得，

即，由，

得，当且仅当即，时等号成立，

所以，得，

所以，此时，

故当点P的坐标为，的面积最小，最小值为.

21、答案：（1）

（2）2

解析：(1)当时，，

所以，

又因为，其中，

则在点处的切线斜率，

所以切线方程为

(2)由题知，其中，

设，则，

可知为上的增函数，则，

所以为上的增函数，则.

①当，即时，，即，所以为上的增函数，

则，

由于a为整数，可知时，恒成立，符合题意.

②当时，，，

则的最小值为，又，

由于为上的增函数，则存在使得（即），

当时，，即，为减函数；

当时，，即，为增函数，

则，其中，

令，则，

当时，，在上单调递减，

则，即.

所以也符合题意.

③当时，，由于为上的增函数，

则存在实数，且，使得，即，故为上的减函数，

则当时，，

故不符合题意，舍去.

综上所述，a的最小值为2.

22、答案：（1）；；

（2）.

解析：(1)；

；

直线l的方程为：；

曲线C的方程为：；

(2)将代入曲线C的方程得，①，

则M、N的极径,为方程①的两根，

则，，

,均为负数，

，

，

直线l的斜率.

23、答案：（1）；

（2）证明见解析．

解析：(1)，

所以在上递减，在上递增，

所以，

，解得；

(2)由（1）得，a,b,，

所以，

当且仅当,,时等号成立．