2023年辽宁省鞍山市海城市孤山镇初级中学中考三模数学试题（含解析）

这是一份2023年辽宁省鞍山市海城市孤山镇初级中学中考三模数学试题（含解析），共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年辽宁省鞍山市海城市孤山镇初级中学中考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的绝对值是（    ）
A． B． C．－2023 D．2023
2．如图，是由7个相同的小正方体组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（    ）

A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（    ）
A． B． C． D．
4．某同学在一次数学实践活动课中将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠（如图）．折痕分别为，，若，且，则为（　　）

A． B． C． D．
5．若数组3，3，x、4，5的平均数为4，则这组数中的（　　）
A． B．中位数为4 C．众数为3 D．方差为4
6．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别是D，E，点F是边的中点，连接，，，则下列说法不正确的是（    ）
  
A． B．
C． D．四边形是平行四边形
7．如图，是一副特制的三角板，用它们可以画出一些特殊角．在，，，，的角中，能借助特制三角板画出的角有（    ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．如图，在等腰直角中，，，点O为斜边的中点，连接，点E，F分别从A，C两点同时出发，以的速度沿，运动，到点C，B时停止运动．设运动时间为，的面积为，则与的函数关系可用图象表示为（    ）

A． B．
C． D．

二、填空题
9．每个生物携带自身基因的载体是生物细胞的．分子的直径只有，它们在细胞核的染色体上，按一定顺序排列成螺旋形的独特结构．将用科学记数法表示是__________．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是______．

11．甲、乙两人负责在社区进行核酸采样，已知甲每小时比乙每小时多采样人，甲采样人所用时间与乙采样人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样人，则可列分式方程为______________．
12．已知a，b，c是三角形的三边长，化简：___________．
13．如图，O为坐标原点，点在y轴的正半轴上，点在函数位于第一象限的图象上，若，，，…，都是等边三角形，则线段的长是______．

14．如图，在平面直角坐标系中，的顶点B在x轴上，点A坐标为，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E，再分别以点D，点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内相交于点F，作射线OF交AC于点P．则点P的坐标是______．

15．如图，双曲线位于第二象限的图象上有A，B两点，过A点作轴于点C，过B点作轴于点D，若的面积为3，的面积为4，则k的值为__________；

16．如图，在菱形中，是锐角，过点作于点，作，交于点．连结、，若，，则的面积为______．


三、解答题
17．先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解．
18．如图，四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．求证：．

19．为落实双减政策，某校对九年级学生的作业负担进行了调查，随机抽取部分学生，统计他们平均每门学科的书面作业时间（单位：min），按时间长短分为四个类别：，，，，将抽样结果制成两幅不完整的统计图．

根据以上信息，回答下列问题：
(1)本次抽样的样本容量为______，
(2)扇形统计图的值为______；
(3)补全条形统计图；
(4)每门学科书面作业不低于，就认为课业负担超重，若该校九年级有900名学生，请估计该校九年级学生课业负担超重的学生人数．
20．某校在“庆祝建党100周年”系列活动中举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛．九年级某班“班级党史知识竞赛”中，有A，B，C，D四名同学的竞赛成绩为满分．
(1)若该班要随机从4名满分同学中选取1名同学参加学校的党史知识竞赛，A同学被选中的概率是______；
(2)该班4位满分同学中A和B是女生，C和D是男生，若要从4名满分同学中随机抽取两名同学参加学校的党史知识竞赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．
21．如今，不少人在购买家具时追求简约大气的风格，图1所示的是一款非常畅销的简约落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意调节，图2所示的是其侧面示意图，其中OD为镜面，EF为放置物品的收纳架，AB，AC为等长的支架，BC为水平地面，已知OA=BD=40cm，OD=120cm， ．（结果精确到1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，≈1.41，≈1.73）

(1)求支架顶点A到地面BC的距离；
(2)如图3，将镜面顺时针旋转15°，求此时收纳镜顶部端点O到地面BC的距离．
22．已知一次函数（）和反比例函数的图象如图所示．

(1)一次函数必定经过点 ________．（写点的坐标）
(2)当时，一次函数与反比例函数图象交于点A，B，与x，y轴分别交于点C，D，连接并延长，交反比例另一支于点E，求出此时A，B两点的坐标及的面积．
(3)直线绕点C旋转，直接写出当直线与反比例图象无交点时m的取值范围．
23．如图，在中，，点O在边上，以为半径的半圆O交于点D，交于点E，在边上取一点F，连接，使得．
  
(1)求证：为半圆O的切线；
(2)若，求半圆O的半径长．
24．某扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果每千克的平均批发价降低了元，产品比去年增加了，批发销售总额比去年增加了．已知去年这种水果批发销售总额为万元．
(1)设这种水果去年的产量是千克，请列方程求这种水果去年的产量是多少千克？并求出这种水果今年每千克的平均批发价？
(2)某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调研发现，若每千克的平均销售价为元，则每天可售出千克；若每千克的平均销售价每降低元，每天可多卖出千克，设水果店一天的利润为元，求：
①若该水果店采取降价催销的方式销售水果，水果店一天的利润为元，则降价多少元？
②当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大？最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计）
25．已知：点C、A、D在同一条直线上，∠ABC=∠ADE=α，线段 BD、CE交于点M．
（1）如图1，若AB=AC，AD=AE
①问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由；
②求∠BMC的大小（用α表示）；
（2）如图2，若AB= BC=kAC，AD =ED=kAE，则线段BD与CE的数量关系为 ，∠BMC= （用α表示）；
（3）在（2）的条件下，把△ABC绕点A逆时针旋转180°，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接 EC并延长交BD于点M．则∠BMC= （用α表示）．
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，且．
  
(1)试求抛物线的解析式；
(2)直线与y轴交于点D，与抛物线在第一象限交于点P，与直线交于点M，记，试求m的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，m取最大值时，是否存在x轴上的点Q及坐标平面内的点N，使得P，D，Q，N四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有满足条件的Q点和N点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：
1．A
【分析】根据正数的绝对值等于其本身求解即可．
【详解】解：的绝对值是．
故选A．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数．
2．A
【分析】根据左视图的定义（从左面观察物体所得到的视图叫做左视图）以及俯视图中各层小立方体的个数即可求解．
【详解】解：由俯视图中各层小立方体的个数得：左视图由3列组成，左边一列由2个小正方形组成，中间一列由2个小正方形组成，右边一列由1个小正方形组成．
故选A．
【点睛】本题考查了三视图，熟练掌握三视图的有关知识，具备一定的空间想象能力是解题的关键．
3．D
【分析】根据同底数幂乘除法，幂的乘方和合并同类项等计算法则求解判断即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘除法，幂的乘方和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
4．B
【分析】根据平行线的性质得出，再根据折叠得出，进而解答即可．
【详解】解：由折叠可知，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由折叠可知，，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的问题，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理，折叠就会出现对应角相等．
5．B
【分析】根据平均数的定义可以先求出x的值，进而就可以确定这组数的中位数、众数和方差，即可得到正确的选项．
【详解】解：根据平均数的定义可知，，故选项A不符合题意；
这组数按照从小到大排列是：3，3，4，5，5，
这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是4，这组数据的中位数是4，故选项B符合题意；
众数是3和5，故选项C不符合题意；
方差为，故选项D不符合题意．
故选B．
【点睛】此题考查了平均数、中位数、众数和方差，熟练掌握平均数、中位数、众数和方差的定义和计算方法是解题的关键．
6．C
【分析】由旋转的性质可得，，，，，可证是等边三角形，可得，故选项A不符合题意；由“”可证，可得，，，故选项B不符合题意；可证四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；由可得，故C符合同意，即可求解．
【详解】解：∵将绕点C按顺时针方向旋转一定角度后得到，
∴，，，，，
∴是等边三角形，
∴，故A正确，不符合题意；
∵，，点F是边的中点，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，故B正确，不符合题意；
∴，，
∴四边形是平行四边形，故D正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，故C不正确，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定等知识，灵活运用各知识点是解题的关键．
7．B
【分析】一副三角板中的度数，用三角板画出角，无非是用角度加减法，逐一分析即可．
【详解】解：，则角能画出；
不能写成、和、的和或差的形式，不能画出；
，则可以画出；
，则角能画出；
不能写成、和、的和或差的形式，不能画出；
∴能画出的角有3个．
故选：B．
【点睛】此题考查的知识点是角的计算，关键是利用三角板的已知度数，进行加减的计算．
8．B
【分析】由点，分别从，两点同时出发，以的速度沿，运动，得到，则，再根据等腰直角三角形的性质可得，，然后根据“”可判断，所以，这样，于是，然后配方得到，最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判断即可．
【详解】解：根据题意可得，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
在和中

∴
∴
∴
∴
∴与的函数图象为开口向上的抛物线一部分，顶点为，自变量为．
故选：B．
【点睛】本题考查动点问题与函数图象及二次函数图像性质，抓住问题的变化趋势、变化速度、横轴纵轴的实际意义得到正确的图象是解决此题的关键．
9．
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
10．或．
【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或，把B点的横纵坐标分别乘以或即可得到点的坐标．
【详解】∵以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，
∴点的对应点的坐标是或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了位似变换，掌握位似变换的性质是解题的关键．
11．
【分析】设甲每小时采样x人，则乙每小时采样人，由题意：甲采样170人所用时间与乙采样150人所用时间相等，列出分式方程即可．
【详解】解：设甲每小时采样x人，则乙每小时采样人，根据题意得：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
12．
【分析】根据三角形三边之间的关系得出a、b、c之间的大小关系，再根据绝对值的性质化简．
【详解】解：∵a、b、c是三角形的三边长，
∴，，，
∴，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系以及绝对值的化简，三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边．
13．
【分析】分别过作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，设，，，，则，，，再根据所求正三角形的边长，分别表示的纵坐标，逐步代入抛物线中，求的值，得出规律进行求解即可．
【详解】解：分别过，，作轴的垂线，垂足分别为、、，
设，，，由勾股定理则，
同理，，
∴，，，
把，代入中，得，解得，即，
把，代入中，得，解得，即，
把，代入中，得，解得，即，
…，

依此类推由此可得，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．勾股定理应用，掌握探究规律题的解题方法，关键是根据正三角形的性质用边长表示抛物线上点的坐标，利用抛物线解析式求正三角形的边长，得到规律．
14．/
【分析】利用勾股定理先求解 再证明 从而可得答案．
【详解】解：∵点A坐标为，
∴
∵，


由作图可得：平分




故答案为：
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，角平分线的作图与计算，等腰三角形的判定，理解题意，证明是解本题的关键．
15．
【分析】设直线交于点E，设点，可得点，，从而得到，再由四边形是矩形，，，从而得到，然后根据反比例函数比系数的几何意义，可得，再由，列出方程，即可求解．
【详解】解：如图，设直线交于点E，

设点，
∵轴， 轴，
∴点，，
∴，
∵轴， 轴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵的面积为4，
∴，，即，
∴，
∵双曲线位于第二象限的图象上有A，B两点，
∴，
∵的面积为3，的面积为4，，
∴，
解得：（舍去）或．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，矩形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
16．16
【分析】连接，根据垂直定义可得，从而可得，再利用菱形的性质可得，，，，从而可得，进而可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，，进而可得，即可得出是的垂直平分线，从而可得，最后证明字模型相似三角形，从而利用相似三角形的性质可得，进而求出的面积，的面积，的面积，即可利用的面积菱形的面积的面积的面积进行计算即可解答．
【详解】解：连接，
，
，
，
四边形是菱形，
，，，，
，
，
，
，
，，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，，
，
，
，
，
的面积的面积菱形的面积，
的面积，
，
，
的面积的面积，
的面积的面积，
的面积菱形的面积的面积的面积，

，
故答案为：16．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
17．，
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，x为不等式组的整数解和分式可以确定x的值，然后代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：原式


解不等式组：
得：
所以，不等式组的整数解为.
当时，原式
【点睛】本题考查分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
18．见解析
【分析】依据题意，证明即可得证
【详解】证明：由旋转可知，
∵是等边三角形，
∴，
∴．
即，
在和中，

，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形判定和性质，等边三角形的性质等知识，掌握旋转的性质是解题的关键．
19．(1)60
(2)20
(3)见解析
(4)该校九年级学生课业负担超重的学生人数为90人

【分析】（1）根据D类别的人数为6人，占调查人数的，求出结果即可；
（2）根据A类别人数为12人，求出占总调查人数的百分比，即可得出答案；
（3）先求出C类别人数，然后补全条形统计图即可；
（4）用总人数900乘每门学科书面作业不低于的学生所占的百分比，即可得出答案．
【详解】（1）解：本次抽样的样本容量为：；
故答案为：60．
（2）解：，
∴扇形统计图的值为20；
故答案为：20．
（3）解：C类别学生人数为：（人），

（4）解：（人），
答：该校九年级学生课业负担超重的学生人数为90人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，根据样本估计总体，解题的关键是数形结合，熟练掌握扇形统计图和条形统计图的特点，数形结合．
20．(1)
(2)

【分析】（1）根据概率公式，即可进行解答；
（2）画出树状图，数出所有的情况数和符合题意的情况数，再根据概率公式，即可求解．
【详解】（1）解：随机从4名满分同学中选取1名同学参加学校的党史知识竞赛，A同学被选中的概率是；
故答案为：．
（2）解：画树状图如图1：

共有12种等可能的结果，其中抽到一名男生一名女生的有8种结果，
P（抽到男女各一名）．
【点睛】此题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．(1)支架顶点A到地面BC的距离约为116cm
(2)端点O到地面BC的距离为150cm

【分析】（1)如图2，过点A作AM⊥BC于点M，可求出AD=80cm，AB=120cm，然后在RtΔABM中根据锐角三角函数的定义即可求出答案。
(2)如图3，延长AD与地面交于点N，过O点向地面作垂线，垂足为G，根据题意可求出∠ONM=60°，所以ON=174.57cm，从而可求出OG的长度。
【详解】（1）如图2，过点A作AM⊥BC于点M

∵OA=BD=40cm，OD=120cm，
∴AD=OD-OA=80m，
∵BD=40cm，
∴AB=OD=120cm，
∵
∴在Rt△ABM中，AM=AB·≈116(cm)
答：支架顶点A到地面BC的距离约为116cm．
（2）如图3，延长AD与地面交于点N，过O点向地面作垂线，垂足为G，

在中，AB=120cm，∠ABC=75°
∴∠BAM=90°-75°=15°，
AM=AB×sin∠ABC=120×sin75°≈116.4cm
∵∠DAB=15°，
∴∠ANM=90°-∠DAB-∠BAM=60°，
∴AN=，
∵OA=40cm，
∴ON=134.57+40=174.57cm
在中，
OG=ON×sin∠ONG=174.57×≈150cm．
答：端点O到地面BC的距离为150cm．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
22．(1)
(2)A，B两点的坐标分别为，，的面积为6
(3)

【分析】（1）由题意知，令，求，的值，进而可得结果；
（2）由，可得，联立，求解可得，，由题意知，如图，过作轴，过作于，过作于，则，，，，，根据，计算求解即可；
（3）由题意知，，令，整理得，令，求解即可得的取值范围．
【详解】（1）解：由题意知，
令，即，则，
∴一次函数必定经过点，
故答案为：；
（2）解：∵，则，
联立，解得，，
∴，，
∴，
如图，过作轴，过作于，过作于，

则，，，，，
∴



∴A，B两点的坐标分别为，，的面积为6．
（3）解：由题意知，，
令，整理得，
令，
解得，
∴直线与反比例图象无交点时m的取值范围为．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
23．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，由等边对等角得出，，再由三角形内角和推出即可证明为半圆O的切线；
（2）连接，设半圆O的半径长为r，根据勾股定理得到，即，求解次方程即可．
【详解】（1）证明：连接，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，且，
∴是半圆O的切线．
（2）解：连接，设半圆O的半径长为r，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
∴半圆O的半径长是．
  
【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，三角形内角和等知识，熟练掌握切线的判定，正确作出辅助线，利用勾股定理联立方程是解决问题的关键．
24．(1)去年产量为千克；今年每千克的平均批发价为元
(2)①降价元；②当每千克的平均销售价为元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是元

【分析】（1）根据题意，去年产量是千克，今年这种水果产品比去年增加了，由此即可求解；去年这种水果批发销售总额为万元，批发销售总额比去年增加了，由此即可求解；
（2）①设降价为元，根据销售利润的计算方法即可求解；②根据利润的表达式，结合二次函数图像的性质即可求解．
【详解】（1）解：设去年产量是千克，今年这种水果产品比去年增加了，
∴今年的产量为，
∵去年这种水果批发销售总额为万元，今年批发销售总额比去年增加了，
∴今年批发销售总额为（万元），
∴去年每千克的平均批发价，今年这种水果每千克的平均批发价降低了元，
∴今年每千克的平均批发价，
∴，整理得，，解得，，
检验：当时，原分式方程有意义，
∴去年产量为千克，
∴今年每千克的平均批发价（元），即今年每千克的平均批发价为元．
（2）解：若每千克的平均销售价为元，则每天可售出千克；若每千克的平均销售价每降低元，每天可多卖出千克，设水果店一天的利润为元，
①由（1）可知，今年的批发价是元，每千克的平均销售价为元，
∴每千克的平均利润为（元），
设降价元，则现在每千克平均销售价为元，则利润为（元），现在每天卖出千克，
∴一天的利润为（元），
当时，，整理得，，解得， （舍去），，
∴降价元；
②∵利润为，
∴当时，利润最大，则每千克的销售价为（元），
∴当每千克的平均销售价为元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是元．
【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握分式方程的运用，二次函数求最值的方法是解题的关键．
25．（1）①BD=CE，理由见解析②180°－2α；（2）BD=kCE，α；（3）
【分析】（1）（1）①先根据等腰三角形等角对等边的性质及三角形内角和定理得出∠DAE=∠BAC，则∠BAD=∠CAE，再根据SAS证明△ABD≌△ACE，从而得出BD=CE．
②先由全等三角形的对应角相等得出∠BDA=∠CEA，再根据三角形的外角性质即可得出
∠BMC=∠DAE=180°－2α．
（2）由等腰三角形的性质可求得，再由已知即可证明△ABD∽△ACE，从而得到BD=kCE，∠BDA=∠CEA，然后由三角形外角的性质即可求得∠BMC；
（3）先在备用图中利用SSS作出旋转后的图形，再根据等腰三角形等角对等边的性质及三角形内角和定理得出∠DAE=∠BAC=，由AB=kAC，AD=kAE，得出AB：AC=AD：AE=k，从而证出△ABD∽△ACE，得出∠BDA=∠CEA，然后根据三角形的外角性质即可得出∠BMC=．
【详解】解：（1）如图1．
①BD=CE，理由如下：
∵AD=AE，∠ADE=α，
∴∠AED=∠ADE=α，
∴∠DAE=180°－2∠ADE=180°－2α．
同理可得：∠BAC=180°－2α．
∴∠DAE=∠BAC．
∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE，即：∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD=CE．
②∵△ABD≌△ACE，
∴∠BDA=∠CEA．
∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，
∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=180°－2α．
（2）如图2，∵AD=ED，∠ADE=α，
∴∠DAE=．
同理可得：∠BAC=．
∴∠DAE=∠BAC．
∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE，即：∠BAD=∠CAE．
∵AB=kAC，AD=kAE，
∴AB：AC=AD：AE=k．
在△ABD与△ACE中，∵AB：AC=AD：AE=k，∠BDA=∠CEA，
∴△ABD∽△ACE．
∴BD：CE=AB：AC=AD：AE=k，∠BDA=∠CEA．
∴BD=kCE．
∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，
∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=．
故答案为：BD=kCE，α．
（3）作图如下：

．
∵AD=ED，∠ADE=α，∴∠DAE=∠AED=．
同理可得：∠BAC=．
∴∠DAE=∠BAC，即∠BAD=∠CAE．
∵AB=kAC，AD=kAE，∴AB：AC=AD：AE=k．
在△ABD与△ACE中，∵AB：AC=AD：AE=k，∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE．
∴∠BDA=∠CEA．
∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，∠MCD=∠CED+∠ADE=∠CED+α，
∴∠BMC=∠CED+α+∠CEA=∠AED+α=+α=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质，旋转的性质，尺规作图等知识，综合性强，有一定的难度，本题解决第一问是解题的关键，后两问与第一问类比即可解决，因此做好第一问是关键．
26．(1)
(2)当时，m取得最大值，此时点P的坐标为
(3)存在，或

【分析】（1）先求出点，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）过点P作轴交直线于E，连接，先求出直线的解析式为，设，则，，由得出，因此，最后根据二次函数的性质即可求出m最大值及此时点P的坐标；
（3）分两类进行讨论：①当是矩形的边时，有两种情形，当四边形为矩形时，如图2，连接，过点作轴于M，证明，，求出，，，从而得出满足条件的Q点和N点的坐标；当四边形是矩形时，如图2，过点作轴交的延长线于，过点作轴于T，证明，，求出，，，从而得出满足条件的Q点和N点的坐标；②当是对角线时，设，由Q是直角顶点，根据勾股定理得出方程，此方程无解，此种情形不存在．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵抛物线经过点，，，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）如图1，过点P作轴交直线于E，连接，
  
设直线的解析式为，
∵，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵直线与y轴交于点D，
∴，
∴，
∵轴，即，
∴，
∴，
∵，  
∴，
∵，
∴当时，m取得最大值，此时点P的坐标为；
（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．
由（2）知：，
①当是矩形的边时，有两种情形，
  
当四边形为矩形时，如图2，连接，过点作轴于M，
则，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，  
∴，
∴，
∴；
当四边形是矩形时，如图2，过点作轴交的延长线于，过点作轴于T，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，  
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当是对角线时，设，则，，，
∵Q是直角顶点，
∴，
∴，  
整理得，此方程无解，此种情形不存在；
综上所述， 或．
【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象与性质，待定系数法，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质等知识，综合性较强，熟练掌握二次函数的图象与性质，根据题意正确作出图形，进行分类讨论是解题的关键．