2023年江苏省南京市栖霞区南京师范大学附属中学仙林学校初中部中考三模数学试题（含解析）

2023年江苏省南京市栖霞区南京师范大学附属中学仙林学校初中部中考三模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．的相反数是（    ）

A． B． C． D．

2．2023年5月1日，南京夫子庙、中山陵、玄武湖、雨花台四大景区共接待游客约人，这个数可用科学记数法表示为（　　）

A． B． C． D．

3．的计算结果是（ ）

A． B． C． D．

4．如图，在△ABC中，DE∥BC，，则下列结论中正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

5．如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中a的值为（　　）

A． B．4 C．2 D．

6．已知整式，下列关于整式的值的结论：

①的值可能为；

②当时，的值随的增大而增大；

③当为小于的实数时，的值大于；

④不存在这样的实数，使得的值小于．

其中所有正确结论的序号是（  ）

A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④

二、填空题

7．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________．

8．分解因式___________．

9．一组数据4、5、6、7、8的方差为，另一组数据3、5、6、7、9的方差为，那么__（填“”、“”或“”）．

10．计算的结果是_______．

11．设x1、x2是方程x2－mx＋3＝0的两个根，且x1＝1，则m－x2＝____．

12．若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是_________°．

13．如图，正五边形绕点顺时针旋转后得到正五边形，旋转角为（），若，则___________.

14．已知一次函数的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为___________．

15．如图，四边形内接于，它的3个外角的度数之比为1∶2∶4，则___________

16．是边长为5的等边三角形，是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，将绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是___________．

三、解答题

17．计算÷．

18．解不等式组，并写出它的非负整数解．

19．如图，在中，点E、F分别是边、的中点．

(1)求证：；

(2)若，求证：四边形是菱形．

20．科技企业在社会生产生活中的地位越来越重要．调查某科技企业2018-2022这五年以来的研发成本和年度利润率，将相关数据绘制成如下统计图和统计表：

2018年-2022年利润率

(1)2022年度该企业总成本是___________亿元，利润是___________亿元；

(2)求该企业这五年的年平均研发成本；

(3)根据统计图和统计表中的信息，进行综合分析，写出两个不同类型的结论？

21．（1）不透明的袋子A中装有红球1个、白球1个，不透明的袋子B中装有红球1个、白球2个，这些球除颜色外无其他差别．分别从两个袋子中随机摸出一个球，求摸出的两个球颜色不同的概率；

（2）甲、乙两人解同一道数学题，甲正确的概率为，乙正确的概率为，则甲乙恰有一人正确的概率是　 　．

22．

(1)已知，是实数，证明：．

(2)在中，，，为直角边，斜边，则的最大值是___________．

23．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活．如图，无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼与之间的距离的长．（结果精确到．参考数据：）

24．A、B两地相距，甲车从A地驶往B地，乙车从B地以的速度匀速驶往A地，乙车比甲车晚出发．设甲车行驶的时间为，甲、乙两车离A地的距离分别为、，图中线段表示与x的函数关系．

(1)甲车的速度为___________；

(2)若两车同时到达目的地，在图中画出与x的函数图像，并求甲车行驶几小时后与乙车相遇；

(3)若甲、乙两车在距A地至之间的某处相遇，直接写出m的范围．

25．如图，四边形内接于，，，D、C、E三点共线．

(1)求证：．

(2)若，求的长．

26．已知二次函数的图象经过点，．

(1)求的值（用含的代数式表示）和点的坐标；

(2)当时，求该函数的图象顶点纵坐标的最小值为___________；

(3)设点、是该函数图象与轴的两个交点．当，时，请直接写出的取值范围．

27．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

【观察与猜想】

(1)如图，在正方形中，，分别是，上的两点，连接，，若，则的值为___________；

(2)如图，在矩形中，，，是上的一点，连接，，若，则的值为___________；

【类比探究】

(3)如图，在四边形中，，为上一点，连接，过作的垂线交的延长线于，交的延长线于，求证：；

【拓展延伸】

(4)如图4，在中，，，将沿翻折，落在处，得到，为线段上一动点，连接，作，交于，垂足为，连接．若，则的最小值为___________．

参考答案：

1．B

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．

【详解】解：的相反数是，

故选：B．

【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．

2．D

【分析】利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．

【详解】解：．

故选：D．

【点睛】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．

3．A

【详解】试题分析：原式=．故选A．

考点：幂的乘方与积的乘方．

4．D

【分析】根据相似三角形的性质解答．

【详解】解：∵，

∴，

∵DE//BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴，，，

故选：D．

【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质定理，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．

5．D

【分析】由主视图和左视图可得：，，，连接，则有，可求，即可求解．

【详解】解：如图，

由主视图和左视图可得：

，，，

，，

，，

连接，则有，

为等边三角形，

，

，

，

．

故选：D．

【点睛】本题考查了几何体的三视图，正六边形的性质，特殊角的三角函数值，掌握三视图长宽高与原几何体之间的关系及正六边形的性质是解题的关键．

6．D

【分析】根据一元二次方程的知识，二次函数的图象和性质，依次判断，即可．

【详解】当，

∴，

解得：，，

∴的值可能为，

∴正确；

设函数的解析式为：，如图

∴对称轴为：，函数图象的开口向上，

∴当，函数随的增大而增大，

∴正确；

同理，当，函数随的增大而减小，

∴当时，函数在轴是上方，即，

∴正确；

设函数的解析式为：，如图

∴当时，函数有最小值，最小值为：

∴无论取任何数，

∴正确；

综上所述：正确的为：

故选：D．

【点睛】本题考查一元二次方程，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握解一元二次方程，二次函数图象和性质，实数的性质．

7．

【分析】根据分式有意义的条件得到，即可解得x的取值范围．

【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，

∴，

解得，

故答案为：

【点睛】此题考查了分式有意义的条件，熟知分母不等于0是分式有意义的条件是解题的关键．

8．/

【分析】先计算完全平方公式，再利用平方差公式分解因式即可得．

【详解】解：原式

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟记平方差公式是解题关键．

9．

【分析】观察两组数据，哪一组数据的波动小，哪一组数据的方差就小，据此求解．

【详解】解：观察两组数据发现，第一组数据相对第二组数据更加稳定，

所以第二组数据的方差就大．

故填：．

【点睛】本题考查了方差的意义，解题的关键是观察数据，找到波动较小的就方差小，也可以分别求得方差后再比较，难度不大．

10．

【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．

【详解】解：

．

故答案为：

【点睛】本题考查了二次根式的减法、二次根式的性质，解本题的关键在正确化简二次根式．，，．

11．1

【分析】由一元二次方程根与系数的关系可知，，则问题可解．

【详解】根据一元二次方程根与系数的关系可知，，

，

故答案为：1．

【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键．

12．120

【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2=4π（cm），

设圆心角的度数是n度．

则=4π，

解得：n=120．

故答案为120．

13．54

【分析】DE与B′C′相交于O点，如图，利用正五边形的性质计算出∠B=∠BAE=∠E=108°，再根据旋转的性质得∠BAB′=α，∠B′=∠B=108°，接着根据四边形内角和计算出∠B′AE的度数，进而求得旋转角的度数．

【详解】DE与B′C′相交于O点,如图,

∵五边形ABCDE为正五边形，

，

∵正五边形ABCDE绕点A顺时针旋转后得到正五边形AB′C′D′E′,旋转角为α(0°⩽α⩽90°)，

∴∠BAB′=α,∠B′=∠B=108°，

∵DE⊥B′C′，

∴∠B′OE=90°，

∴∠B′AE=360°−∠B′−∠E−∠B′OE=360°−108°−108°−90°=54°，

∴∠BAB′=∠BAE−∠B′AE=108°−54°=54°，

即∠α=54°.

故答案为54°.

【点睛】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.解决本题的关键是计算正五边形的内角.

14．

【分析】根据一次函数的图像可得，再代入解不等式即可得．

【详解】解：由一次函数的图像得：，即，

代入得：，即，

解得，

故答案为：．

【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题关键．

15．/度

【分析】设的度数为，根据多边形外角和为可得的外角为，由圆内接四边形的性质可得，得到，求得，即可得到答案．

【详解】解：∵3个外角的度数之比为1∶2∶4，

∴可设的度数为，

则的外角为，

∵四边形内接于，

∴

∵，

∴，

∴，

解得，

∴．

故答案为：

【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质、多边形的外角和定理、解一元一次方程等知识，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．

16．/

【分析】先证明，如图，设交于点T．证明，推出点F在的外接圆上运动，当最小时，的值最小，此时，求出可得结论．

【详解】解：∵都是等边三角形，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

如图，设交于点T．

∵，

∴，

∵，

∴，

∴点F在的外接圆上运动，当最小时，的值最小，此时，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴的最小值，

故答案为：．

【点睛】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，同弧所对的圆周角相等，解直角三角形，等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

17．

【分析】根据分式的加减乘除运算性质化简即可；

【详解】解：原式＝，

＝，

＝，

＝；

【点睛】本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，准确计算是解题的关键．

18．，它的非负整数解为

【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后写出它的非负整数解即可．

【详解】解：，

解不等式①得：，

解不等式②得：，

则不等式组的解集为，

它的非负整数解为．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．

19．(1)见详解

(2)见详解

【分析】（1）可证，即可求证；

（2）可证四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，从而可证，即可得证．

【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，

，，

点E、F分别是边、的中点，

，，

，

在和中

，

()．

（2）证明：四边形是平行四边形，

，，

，，

点E、F分别是边、的中点，

，，

，

四边形是平行四边形，

同理可证：四边形是平行四边形，

，

，

，

，

，

四边形是菱形．

【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定，掌握判定方法及性质是解题的关键．

20．(1)，

(2)亿元

(3)见解析

【分析】（1）用年研发成本除以研发成本占总成本的百分比可得2022年度该企业总成本，2022年度该企业总成本乘以对应的利润率即可得到利润；

（2）根据算术平均数的定义求解可得；

（3）根据统计图和统计表中的信息，进行综合分析，即可．

【详解】（1）解：由题意可得：年研发成本是亿，占总成本的，

∴年度该企业总成本是亿；

亿，

即2022年度该企业利润是亿；

（2）解：由题意得：该企业五年以来的年平均研发成本为亿；

（3）解：①该企业年的总成本为亿元，年的利润率是，

所以年的利润是亿元；

②该企业近五年的研发成本分别是亿元、亿元、2亿元、亿元、亿元，年利润率分别是、、、、，

可以看出增加研发成本短期会使得年利润率下降，但是长期能使得年利润率大幅上升．

【点睛】本题主要考查扇形统计图、条形统计图、算术平均数，解题的关键是学握根据扇形统计图和条形统计图得出解题所需数据及算术平均数的求法．

21．（1）；（2）

【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有等情况数和摸出的两个球颜色不同的情况数，然后根据概率公式即可得出答案；

（2）根据题意得到甲正确乙不正确的概率，甲不正确乙正确的概率，两者相加即可得到结论．

【详解】解：（1）画树状图如下：

共有6种等情况数，其中摸出的两个球颜色不同的有3种，

则摸出的两个球颜色不同的概率是＝；

（2）甲正确乙不正确的概率为（1﹣）＝，

甲不正确乙正确的概率为（1﹣）×＝，

∴甲乙恰有一人正确的概率是，

故答案为：．

【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．

22．(1)见详解

(2)

【分析】（1）可证，即可得证；

（2）可求，由（1）即可求解．

【详解】（1）证明：

，

，

，

，

，

．

（2）解：由题意得

，

，

，

，

的最大值为，

故答案：．

【点睛】本题考查了用作差法证明不等式，勾股定理，掌握方法是解题的关键．

23．．

【分析】先添加辅助线构造直角三角形，再利用锐角三角函数的定义求出相关联线段，最后进行计算即可求解．

【详解】延长，分别与直线交于点和点，如图，

则，， ，

在中，，，

∴（），

在中，，

∴，设，

则有：，( )，

在中，，

∴，解得：（），即（），

∴（）

∴（），

∴楼与 之间的距离的长约为米．

【点睛】此题考查了解直角三角形的应用一俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

24．(1)60

(2)图象见解析，甲车出发后与乙车相遇；

(3)

【分析】（1）根据路程除以时间即可得到甲车的速度；

（2）求出乙车比甲车晚出发，即可画出图象，再求出，，联立解析式解方程组即可得到答案；

（3）求得，，联立解方程组可得，根据甲、乙两车在距A地至之间的某处相遇，可列，即可解得答案．

【详解】（1）解：由图可得，甲车的速度为，

故答案为：60；

（2）解：∵乙车从B地以的速度匀速驶往A地，两车同时到达目的地，

∴乙车行驶时间为，

∵，

∴乙车比甲车晚出发，

画出与x的函数图象如下：

图象即为与x的函数图象，

由题意得，

设的函数表达式为，将，代入，得

，

解得，

∴，

由，解得，

∴甲车出发后与乙车相遇，

答：甲车出发后与乙车相遇；

（3）解：根据题意得，，

由得：，

当时，，

∵甲、乙两车在距A地至之间的某处相遇，

∴，

解得，

∴m的范围是．

【点睛】本题考查一次函数的应用，解一元一次不等式组，涉及待定系数法，解题的关键是数形结合的应用．

25．(1)见解析

(2)4

【分析】（1）由得，根据等边对等角得，则，由圆周角定理得到，则，即可得到结论；

（2）连接，延长交于点H，证明，得到，，则，证明是的垂直平分线，则，，由，可设，则，得到，代入比例式得到，即可得到的长．

【详解】（1）解：∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

（2）连接，延长交于点H，

∵四边形内接于，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∴，

∵，，

∴是的垂直平分线，

∴，，

∵，

设，则，

∴，

∴，

∴．

【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、圆周角定理、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质等知识，证明是解题的关键．

26．(1)，

(2)

(3)或

【分析】（1）将代入解析式可求，再将代入即可求解；

（2），由（，），即可求解；

（3）①当时，可得当时，，即可求解；②当时，点在的左侧，点在的右侧的左侧，即可求解．

【详解】（1）解：由题意得

解得：，

在抛物线上，

，

，

．

（2）解：由题意得

，，

（，），

，

故答案：．

（3）解：①当时，

抛物线过，，，，

当时，，

，

解得：；

②当时，

点在的左侧，此时符合题意，

点在的右侧的左侧，此时符合题意，

；

综上所述：或．

【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，掌握二次函数与方程的关系，图象与系数的关系是解题的关键．

27．(1)

(2)

(3)见解析．

(4)

【分析】（1）可证明，即可得到答案．

（2）可证明，即可得到答案．

（3）过点作的垂线，交于点，可得到，然后证明，可得，问题即可得证．

（4）过点作的垂线，交于点，取的中点为，连接，取以的中点，连接．可先证，得到的长度，进而求得，，的长度．根据题意可知，点在以的中点为圆心，长度为半径的圆上，可知，当时，取得最小值，即可求得答案．

【详解】（1）解：四边形为正方形，

，．

．

，

．

．

在和中，

．

．

．

故答案为：．

（2）解：四边形为长方形，

．

，

．

．

又，

．

．

故答案为：．

（3）解：如图，过点作的垂线，交于点．

由题意知四边形为矩形，

，．

．

，

．

．

又，

．

又，

．

．

．

．

（4）解：如图，过点作的垂线，交于点，取的中点为，连接，取以的中点为，连接，连接．

由轴对称图形的性质可知，.

，，

．

又，

．

又，

．

．

．

．

．

．

．

根据题意可知，点在以的中点为圆心，长度为半径的圆上，且．

,

即，

当时，取得最小值．

．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称图形的性质等，牢记全等三角形的判定定理及性质、相似三角形的判定定理及性质、勾股定理及轴对称图形的性质是解题的关键．