八年级下学期期末数学试题（解析版）

八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列二次根式中，最简二次根式的是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．

【详解】A、=，被开方数含分母，不是最简二次根式；故A选项不符合题意；

B、=，被开方数为小数，不是最简二次根式；故B选项不符合题意；

C、，是最简二次根式；故C选项符合题意；

D．=，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故D选项不符合题意；

故选C．

2. 若y=x+2–b是正比例函数，则b的值是(   )

A. 0 B. –2 C. 2 D. –0.5

【答案】C

【解析】

【分析】根据正比例函数的定义可得关于b的方程，解出即可．

【详解】解：由正比例函数的定义可得：2-b=0，

解得：b=2．

故选C．

【点睛】考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．

3. 下面各组数是三角形三边的长，则能构成直角三角形的是（    ）

A. ，， B. ，，

C. ，， D. ，，

【答案】B

【解析】

【分析】根据勾股定理逆定理，逐项判断，即可求解．

【详解】解：A、，不能构成三角形，故本选项不符合题意；

B、，能构成直角三角形，故本选项符合题意；

C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；

D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，熟练掌握若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形是解题的关键．

4. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=55°，点D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为(    )

A. 15° B. 25°

C. 35° D. 45°

【答案】C

【解析】

【分析】由“直角三角形的两个锐角互余”得到∠A=35°．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到CD=AD，再根据则等边对等角即可求得答案．

【详解】∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=55°，

∴∠A=35°．

∵D为线段AB的中点，

∴CD=AD，

∴∠ACD=∠A=35°．

故选C．

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．

5. 如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（　　）

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

【答案】C

【解析】

【分析】通过平行四边形性质，可计算得；再结合AB⊥AC推导得为直角三角形，通过勾股定理计算得，再结合平行四边形性质，计算得到答案．

【详解】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，

∴BO＝DO，AO＝CO，

∵AB⊥AC，AB＝4，AC＝6，

∴∠BAO＝90°，OA＝3

∴，

∴BD＝2BO＝10，

故选：C．

【点睛】此题考查了平行四边形、勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形和勾股定理的性质．

6. 如图，在平面直角坐标系中，将△OAB沿直线y＝－x平移后，点O′的纵坐标为6，则点B平移的距离为()

A. 4.5 B. 6 C. 8 D. 10

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意得出O′点的纵坐标进而得出其横坐标，再得出O点到O′的距离，最后得出点B与其对应点B′之间的距离．

【详解】解：∵点O的坐标为(0,0),△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′,点O的对应点O′在直线y=－x上，

且O′点纵坐标为：6，

故6=－x，

解得：x=−8，

即O到O′的距离为10，

则点B与其对应点B′之间的距离为10．

故选D

【点睛】本题考查了函数图象上的点及平移的性质.根据函数解析式求出点的坐标是解题的关键．

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

7. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是_________

【答案】x≥2

【解析】

【详解】由题意得3x≥6，

解得：x≥2，

故答案为：x≥2．

8. 将直线y＝﹣2x+3向下平移4个单位长度，所得直线的解析式为_____．

【答案】y=-2x-1．

【解析】

【分析】根据平移k值不变，只有b只发生改变解答即可．

【详解】解：由题意得：平移后的解析式为：y=-2x+3-4=-2x-1．

故答案为：y=-2x-1．

考点：一次函数图象与几何变换．

9. 甲、乙两名同学投掷实心球，每人投次，平均成绩为米，方差分别为，，成绩比较稳定的是________．

【答案】乙

【解析】

【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案.

【详解】解：∵平均成绩为米，方差分别为，，

∴,

∴成绩比较稳定的是乙.

故答案填乙.

【点睛】方差反应一组数据的稳定程度，方差越大越不稳定，方差越小越稳定，掌握这点是解本题的关键.

10. 如图， 中，，，为边上的中线，则 ______ ．

【答案】

【解析】

【分析】根据等腰三角形的性质可得，，再由勾股定理，即可求解．

【详解】解：，为边上的中线，

，，

．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质， 勾股定理，熟练掌握等腰三角形的“三线合一”的性质， 勾股定理是解题的关键．

11. 如图，在平行四边形中，过点的直线，垂足为，若，则______度．

【答案】

【解析】

【分析】由平行四边形的性质证明 再利用平行四边形的性质可得答案．

【详解】解：四边形是平行四边形，

∴，

，

，

，

．

故答案为：．

【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行四边形的性质，掌握“平行四边形的两组对边平行”是解本题的关键．

12. 如图，在中，，以为边向外作正方形，若图中阴影部分的面积为，，则______．

【答案】

【解析】

【分析】根据勾股定理求解即可．

【详解】解：图中阴影部分的面积为，

，

中，，，

，

．

故答案为．

【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．

13. 如图，直线的函数关系式为，直线与直线关于轴成轴对称，则直线的函数关系式为______ ．

【答案】

【解析】

【分析】先得出A，B的坐标，进而得出C的坐标，利用待定系数法得出直线AC的解析式即可．

【详解】解：因为直线的函数关系式为，

当x=0时，y=3；当y=0时，x=2，

所以点坐标为，点的坐标为，

因为直线与直线关于轴成轴对称，

∴点C与点B关于y轴对称，

所以点的坐标为，

所以设直线的解析式为：，

把，代入解析式得：

，

解得：，

所以直线的解析式为：．

故答案为：．

【点睛】本题考查了待定系数法的运用，坐标与图形变换——轴对称，解决本题的关键是找到所求直线解析式中的两个点．

14. 如图，CDBE，且，点为的中点，若四边形为正方形，则______．

【答案】##45度

【解析】

【分析】首先根据点为的中点，可证得，即可证得四边形为平行四边形，，再根据正方形的性质，即可求得．

【详解】解：点为的中点，

，

，

，

又，

四边形为平行四边形，

，

四边形为正方形，

，

．

故答案为：．

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握和运用特殊四边形的判定与性质是解决本题的关键．

三、解答题（本大题共12小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 计算：

【答案】

【解析】

【分析】先根据二次根式的性质化简，再计算乘法，然后计算加减，即可求解．

【详解】解：原式=

．

【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．

16. 已知正比例函数；且当时，．

（1）求与的函数解析式；

（2）将（1）中所求的直线沿轴向下平移个单位，直接写出平移后的直线的解析式．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）用待定系数法求解即可；

（2）根据“左加右减，上加下减”的规律解答．

小问1详解】

解：∵正比例函数，当时，，

，

，

正比例函数为；

【小问2详解】

解：由平移的规律得直线沿轴向下平移个单位得到．

【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，以及正比例函数图象的平移，熟练掌握正比例函数图象的平移规律是解答本题的关键．

17. 如图，墙A处需要维修，A处距离墙脚C处8米，墙下是一条宽BC为6米的小河，现要架一架梯子维修A处的墙体，现有一架12米长的梯子，问这架梯子能否到达墙的A处？

【答案】能到达A处

【解析】

【分析】根据勾股定理求出AB的长度，然后再作比较即可．

【详解】解：有题意可知：AC=8，BC=6，所以AB= =10，

因为12>10，所以能到达A处.

【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题关键在于掌握勾股定理

18. 如图，菱形ABCD中的对角线AC，BD相交于点O，BE//AC，CE//BD．求证：四边形OBEC是矩形．

【答案】证明见解析．

【解析】

【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，由平行线的性质可得∠BOC＝∠OCE＝∠OBE＝90°，即可证四边形OBEC是矩形．

【详解】证明：∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，

∴AC⊥BD，

∵BE∥AC，CE∥BD，

∴∠BOC＝∠OCE＝∠OBE＝90°，

∴四边形OBEC是矩形；

【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，熟练利用菱形的性质是解题关键．

19. 已知一次函数的图象经过A（0，3），B（2，9）两点．

（1）求这个一次函数的表达式；

（2）试判断点P（﹣1，1）是否在这个一次函数的图象上．

【答案】（1）直线AB的表达式为y=3x+3；（2）点P不在这个一次函数的图象上．

【解析】

【详解】试题分析：（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的表达式；

（2）将x=-1代入一次函数表达式中求出y值，由该y值不等于1，即可得出点P不在这个一次函数的图象上．

（1）设直线AB的表达式为y=kx+b（k≠0），

将点A（0，3）、B（2，9）代入y=kx+b，

得：，解得：，       

∴直线AB的表达式为y=3x+3．     

（2）∵当x=﹣1时，y=3x+3=0≠1， 

∴点P不在这个一次函数的图象上． 

20. 已知x＝+ ，y＝﹣，求x2﹣y2的值．

【答案】4

【解析】

【分析】先求出x+y和x﹣y的值，再根据平方差公式分解后代入求出即可．

【详解】∵x＝+，y＝﹣，

∴x+y＝2，x﹣y＝2，

∴x2﹣y2

＝（x+y）（x﹣y）

＝2×2

＝4．

【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确掌握乘法公式是解题关键．

21. 如图，点是网格图形中的一个格点，图中每个小正方形的边长均为，请在网格中按下列要求作图．

（1）以为一边，在图①中画一个格点菱形；

（2）以为一边，在图②中画一个面积等于的格点平行四边形．

【答案】（1）见解析    （2）见解析

【解析】

【分析】（1）根据菱形的判定画出图形即可．

（2）根据平行四边形的判定，利用数形结合的思想画出图形即可．

【小问1详解】

解：如图，菱形即为所求；

【小问2详解】

解：如图，平行四边形．

【点睛】此题考查了作图知识，解题的关键是熟悉平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质．

22. 如图，已知等腰底边，是腰上一点，且，，

求：（1）的度数；

（2）的周长．

【答案】（1）90°；（2）

【解析】

【分析】（1）首先根据BD、CD、BC长可利用勾股定理逆定理证明∠BDC=90°；

（2）设AD，则AB=AC，再利用勾股定理可得，解方程可得的值，进而得到AB长，然后可算出周长．

【详解】（1）∵，

∴，

∴∠BDC=90°；

（2）设AD，则AB=AC，

∵∠BDC=90°，

∴∠ADC=90°，

∴，

∴，

解得：，

∴AB=AC=．

△ABC的周长是：．

【点睛】本题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．

23. 近几年来全国各省市市政府民生实事之一的公共自行车建设工作已基本完成．某市某部门对年，月份中的天进行了公共自行车日租车辆的统计，结果如图．

（1）这天日租车辆的众数是______，中位数是______；

（2）求这天日租车辆的平均数；

（3）用（2）中的平均数估计月份该市共租车多少万车次？

【答案】（1）8，8    （2）8.5万车次   

（3）263.5万车次

【解析】

【分析】（1）找出租车量中车次最多的即为众数，将数据按照从小到大顺序排列，找出中间的数即为中位数；

（2）求出数据的平均数即可；

（3）由（2）求出的平均数乘以31即可得到结果．

【小问1详解】

解：根据条形统计图得：出现次数最多的为8，即众数为8（万车次）；

将数据按照从小到大顺序排列为：7.5，8，8，8，9，9，10，中位数为8（万车次）；

故答案为：8，8；

【小问2详解】

解：平均数为（7.5+8+8+8+9+9+10）÷7=8.5（万车次）；

【小问3详解】

解：根据题意得：万车次，

答：估计月份该市共租车万车次．

【点睛】此题考查了条形统计图，平均数，中位数，以及众数，熟练掌握各自的求法是解本题的关键．

24. 如图，在中，、分别是边、的中点，延长至点，使得，连结、、．

（1）求证：四边形是平行四边形．

（2）若四边形的面积为，则的面积为______ ．

【答案】（1）见解析    （2）16

【解析】

【分析】（1）根据三角形中位线定理可得且．再由，可得，即可求证；

（2）根据，可得四边形与的高相等，设四边形，CF边上的高为，再由，可得，然后根据点D为AB的中点，即可求解．

【小问1详解】

证明：、分别是边、的中点，

∴且．

∴，

又，

，

四边形是平行四边形；

【小问2详解】

解：∵，

四边形与的高相等，

设四边形中，CF边上的高为，

又，

，

∵点D为AB的中点，

∴．

故答案是：16．

【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质是解题的关键．

25. 阅读材料：如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点M是AB边上的一点，过点M分别作MEBD，MFAC交直线AC，BD于点E，F，显然四边形OEMF是平行四边形．

（1）当对角线，满足______时，四边形是矩形．

（2）如图，若四边形是矩形，且是的中点，判断四边形是什么特殊的平行四边形，并写出证明过程．

（3）如图，在四边形为矩形的条件下，若点是边延长线上的一点，此时，，三条线段之间存在怎样的数量关系？并说明理由．

【答案】（1）   

（2）菱形，证明见解析   

（3）MF+OA=ME，证明见解析

【解析】

【分析】（1）由矩形的判断方法即可；

（2）由三角形的中位线判断出ME=MF，得到邻边相等平行四边形是菱形；

（3）先判断出四边形OEMF是平行四边形，再由平行四边形的性质得到EA=EM，即可．

【小问1详解】

解：要使平行四边形OEMF是矩形，

∴∠AOB=90°，

∴AC⊥BD，

故答案为：AC⊥BD；

【小问2详解】

解：四边形OEMF是菱形．

证明：在矩形ABCD中，OA=OB，

∵点M是AB的中点，MEBD，MFAC，

∴ME=OB，MF=OA，

∴ME=MF，

∵四边形OEMF是平行四边形，

∴四边形OEMF是菱形；

【小问3详解】

解：MF+OA=ME，

理由：在矩形ABCD中，OA=OB，

∵MEBD，MFAC，

∴四边形OEMF是平行四边形，

∴MF=EO，

∴∠OAB=∠OBA=∠EMA，

∴EA=EM，

∵MF=OE，

∴MF+OA=ME

【点睛】本题主要考查了特殊的四边形的性质和判定，解本题的关键是熟练特殊四边形的性质和判定，本题的疑点是特殊四边形的性质和判定的区别．

26. 在距离港口海里处，有一艘渔船发出求救信息，甲、乙两艘救援船同时接到救援任务，甲船立即出发，乙船因需要等候救援家属，在甲救援船驶离港口海里时才出发．乙船以海里小时的速度匀速行驶，甲船途中因故障维修停船小时，然后提高速度匀速行驶，到达目的地救援小时后原路匀速返回与乙船相遇，甲船返回时的速度与提高后的速度相同，图中折线，线段分别表示甲、乙两船与港口的距离海里与乙船出发时间时之间的图象．

（1）求的值；

（2）乙船出发多长时间与甲船相遇？

（3）求的值；

（4）请直接写出在两船第三次相遇前，两船相距海里时的所有的值．

【答案】（1）2    （2）时，时，时分   

（3）   

（4），，

【解析】

【分析】（1）由图可知，两船第一次在点相遇，因为乙的速度为10海里/时，根据时间＝路程÷速度即可求解；

（2）由图可知，两个函数图象的交点有3个，所以两船相遇有三次，第一次：在B点相遇，此时时间为2时；第二次：在BF与CD的交点相遇．先利用待定系数法求出CD的解析式为，OF的解析式为,把代入求出x的值为第二次相遇的时间；第三次相遇在F点，则时间为时分；

（3）把F点的横坐标代入乙的解析式即可求出b的值；

（4）由图可知，当时，由于乙船的速度大于甲船的速度，而时，甲在乙前面5海里，所以时两船不可能相距10海里；当时，甲船因故障维修，距离港口20海里，乙船距离港口海里，由，解得；当时，甲船追上乙船并且超出乙船10海里，由，解得；当时，甲船距离港口80海里，在目的地救援，乙船距离港口海里，由，解得．

【小问1详解】

解：乙船以海里时的速度匀速行驶，小时行驶海里，

小时；

【小问2详解】

两船相遇有三次，

第一次：在点相遇，此时时间为时；

第二次：在与的交点相遇．

设直线的解析式为，

，，

，

解得，

直线的解析式为，

直线的解析式为，

把代入，得，解得，

所以第二次相遇的时间为时；

第三次相遇在点．

点横坐标为，

当时，，

甲船原路匀速返回与乙船相遇需要的时间为小时分钟，

第三次相遇的时间时+时时分；

【小问3详解】

当时，；

【小问4详解】

由图可知，当时，由于乙船的速度大于甲船的速度，而时，甲在乙前面5海里，所以时两船不可能相距10海里；当时，由，解得；当时，由，解得；当时，由，解得，

在两船第三次相遇前，两船相距海里时的值为，，．