四川省达州市2022-2023学年高二下学期期末监测数学（理）试题

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达州市2023年普通高中二年级春季期末监测数学试题（理科）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先求出集合，再求两集合的交集.【详解】由，得，所以，因为，所以，故选：A2. 复数，则的虚部是（    ）A. bi B.  C. 0 D. 【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用共轭复数的意义及复数乘法运算求解作答.【详解】复数，则，因此，所以的虚部是0.故选：C3. 某地区高三学生参加体检，现随机抽取了部分学生的身高，得到下列频数分布表：身高范围（单位：cm）学生人数54040105根据表格，估计该地区高三学生的平均身高是（    ）A. 165 B. 167 C. 170 D. 173【答案】B【解析】【分析】根据给定的频率分布表，求出各分组区间的中间值与对应频率积的和作答.【详解】由数表知，身高在区间内的频率依次为：，则，所以该地区高三学生的平均身高约为.故选：B4. 已知，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式和二倍角公式结合已知条件可求得结果.【详解】因为，所以，故选：A5. 的展开式中，的系数为（    ）A. 20 B.  C.  D. 15【答案】B【解析】【分析】化简后利用二项展开式的通项计算得到答案.【详解】，其展开式的通项为：，取得到的系数为．故选：B．6. 某市2023年中考体育考试要求考生必须在篮球、足球、排球这三个项目中选择一个项目考试.如果这三个项目该市一初三寝室的四名同学都有人选，则这四名同学所有可能选择的方案为（    ）A. 72 B. 36 C. 18 D. 24【答案】B【解析】【分析】按照1,1,2把4人分层三组，将分好的三组对应三个项目，由分步计数原理计算可得答案.【详解】根据题意：分2步进行：①四名同学在篮球、足球、排球这三个项目中选择一个项目考试，且每个项目至少有一名同学报名，可以把四名同学分成三组，人数分别为1,1,2，有种分组方法；②将分好的三组对应三个项目，有种对应方法，则四名同学所有可能选择的方案有种.故选：B7. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线与C的一个交点为P，，则C的离心率为（    ）A.  B. 2 C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的定义结合可求得关系即可得出答案.【详解】    由，得点在双曲线的右支上，则，所以，在中，，故，所以，即双曲线C的离心率为.
故选：C8. 桌上放着4张卡片，每张卡片一面写着一个大写或小写字母，另一面写着一个0到9的整数数字，小明只能看到卡片的一面．下面的4张卡片，要判断命题“卡片的一面是大写字母，这张卡片的另一面是奇数”为真，小明至少翻开的卡片是（    ）  A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④【答案】C【解析】【分析】根据题目信息进行合情推理，能求出结果.【详解】①的正面是小写字母，无论①的背面是奇数还是偶数，都无法判断命题的真假；②的正面是大写字母，如果②的背面是奇数，则命题是真命题，否则命题是假命题；③的正面是3，如果③的背面是小写字母，也无法说明命题是假命题；④的正面是6，若④的背面是大写字母，则判断命题为假.综上，要验证命题的真假，至少要翻开的是②④.故选：C.9. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，的面积为，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据数量积及面积公式列方程求得，利用正弦定理及两角和正弦公式化简式子，代入计算求解即可.【详解】因为，所以，即，，所以，又，所以，所以.故选：D10. 在棱长为1正方体中，点满足，，．在满足条件的中随机取一点，与所成角小于等于的概率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，表示出，设与所成角为，则，依题意可得，即可得到，再根据几何概型的概率公式计算可得.【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，因为，，，所以，所以，设与所成角为，则，因为与所成角小于等于，则，即，所以，即，因为，，目标式子为，如下图所示，满足的(，)为图中扇形中的点，又，，所以，即在满足条件的中随机取一点，与所成角小于等于的概率为.故选：D11. 椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆上总存在点P，使得过点P能作椭圆的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据蒙日圆的定义，将问题转化为两圆有公共点的问题，根据两圆关系即可求解.【详解】由题意可知：与椭圆相切的两条互相垂直的直线的交点的轨迹为圆：，圆心由于在圆，圆心，故两圆有公共点即可，故两圆的圆心距为，故.故选：D12. 设表示集合的子集个数，，，其中.给出下列命题：①当时，是函数一个对称中心；②时，函数在上单调递增；③函数的值域是；④对任意的实数x，任意的正整数k，恒成立.其中是真命题的为（    ）A. ①③ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④【答案】C【解析】【分析】根据子集个数确定数列通项公式，求得，对于①②根据余弦函数的图象与性质判断即可，对于③根据二倍角的余弦公式，结合二次函数的最值判断即可，对于④根据余弦函数的有界性及等比数列求和判断即可.【详解】由集合的子集个数为知，，所以，，所以，所以，令，，得，当时，函数的对称中心为，故①正确；因为，所以，令，则在上不单调，所以函数在上不单调，故②错误；，所以当时，取最大值，所以当时，取最小值，即函数值域是，故③正确；，故④正确；综上，真命题为①③④.故选：C【点睛】关键点点睛：第一个关键点要掌握余弦函数的图象与性质及复合函数的值域求解，第二个关键在于利用三角函数的有界性对不等式放缩，再结合等比数列前n项和进一步放缩判断.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量，满足，，，则______．【答案】7【解析】【分析】根据题意求得，结合，列出方程，即可求解.【详解】由向量满足，，可得，因为，可得，解得.故答案为：7.14. 曲线在点处的切线方程是______．【答案】【解析】【分析】先求导数，得切线斜率，利用点斜式可得方程.【详解】，当时，；所以曲线在点处的切线方程是，即.故答案为：.15. 某玩具厂计划设计一款玩具，准备将一个棱长为4 cm的正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）密封在一个圆柱形容器内，并且这个正四面体在该圆柱形容器内可以任意转动，则该圆柱形容器内壁高的最小值为______cm．【答案】【解析】【分析】依题意该正四面体内接于该圆柱的内切球时，圆柱形容器内壁高的最小，则正四面体外接球的直径即为圆柱形容器内壁的高，求出正四面体外接球的半径，即可得解.【详解】依题意该圆柱内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则该正四面体内接于该圆柱的内切球时，圆柱形容器内壁高最小，则正四面体外接球的直径即为圆柱形容器内壁的高，如图正四面体，设点在面内的射影为，即面，则球心在上，，所以，设外接圆的半径为，，所以，在中，，即，解得，所以该圆柱形容器内壁高的最小值为.  故答案为：16. 已知，是函数的两个零点，且，记，，，用“＜”把a，b，c连接起来______．【答案】【解析】【分析】由，得，令，借助的图象可得的范围，令，则，，，利用由函数与在上的图象得出的结论，以及指数幂运算和函数的单调性可比较大小.【详解】由，得，令，作出的图象，直线与的图象有两个交点，  由图可知，又，则，，∵，∴，∴，令，则，则，，，作出函数与在上的图象，  由图可知，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.，，而，从而，则，即；，，而，从而，则，即，综上，.故答案为：.【点睛】方法点睛：解决函数零点问题的方法：（1）直接解方程法（适用于方程易解的情形）；（2）利用零点存性定理；（3）图象法：①研究函数的图象与x轴的交点；②转化为两个函数图象的交点问题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 已知等差数列前五项和为15，等比数列的前三项积为8，且．（1）求和的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1），    （2）【解析】【分析】（1）根据数列类型和基本量关系的运算即可求得通项公式； （2）根据错位相减法可求得结果．【小问1详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，∵等差数列前五项和为15，且，∴，解得，∴，∵等比数列的前三项积为8，且，∴，∴，∴．【小问2详解】，即，∴，∴，∴.18. 某地区新高考要求语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.现从该地区已选科的学生中随机选出200人，对其选科情况进行统计，选考物理的占，选考政治的占，物理和政治都选的有80人.（1）完成选考物理和政治的人数的列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过的前提下，认为考生选考物理与选考政治有关？ 选考政治的人数没选考政治的人数合计选考物理的人数   没选考物理的人数   合计    （2）在该地区已选科的考生中随机选出3人，这3人中物理和政治都选了的考生的人数为X，视频率为概率，求X的分布列和数学期望.附：参考数据和公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，其中.【答案】（1）列联表见解析，可以    （2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据题意完成列联表，再计算出与比较即可得出判断；（2）因为任取一人物理和政治都选了的概率，且，所以根据二项分布的概率计算公式列出分布列计算数学期望即可.【小问1详解】根据题意，选考物理的考生有人，选考政治的考生有人，列联表补充完整如下： 选考政治的人数没选考政治的人数合计选考物理的人数8040120没选考物理的人数701080合计15050200因为，所以在犯错误概率不超过的前提下，可以认为考生选考物理与选考政治有关.【小问2详解】在该地区已选科的考生中随机选出1人，则物理和政治都选了的概率，易知，随机变量服从二项分布，即，所以可取0，1，2，3，，，，.分布列如下：0123则.19. 已知四棱锥的底面ABCD是边长为2的菱形，且，，，E为PB中点．（1）证明：；（2）若PB与底面ABCD所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）连接，由题意可得，，所以平面，从而得结论；（2）由条件可证得平面ABCD，则为PB与底面ABCD所成角，可得，由得平面ABCD，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，求出平面，平面的法向量，利用向量夹角公式求解.【小问1详解】连接，因为底面ABCD是边长为2的菱形，所以，且是的中点，因为，所以，又因为平面，所以平面，因为平面，所以.【小问2详解】因为，所以，又因为，所以，即，因为平面ABCD，所以平面ABCD，则为PB与底面ABCD所成角，故，因为，所以，则，因为分别是的中点，则，所以平面ABCD，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则,,设平面的法向量为，由，令，则，，设平面的法向量为，由，令，则，，，因为二面角的大小为锐角，故二面角的余弦值为．20. 已知抛物线上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1．（1）求E的标准方程；（2），，交E于A，C两点，交E于B，D两点．求四边形ABCD的面积的最小值．【答案】（1）    （2）32【解析】【分析】（1）由题意，根据抛物线的定义可知，从而可得抛物线E的标准方程；（2）设出的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理及抛物线定义求出，，由结合基本不等式求出最小值．【小问1详解】抛物线的焦点，准线．∵抛物线上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1．根据抛物线的定义可知，，∴，∴抛物线E的标准方程为.【小问2详解】由题可知均有斜率且斜率不为零，且过焦点，  设，，，设，由，消可得，∴，，∴，∴，同理可得，∴，当且仅当时取等号，∴四边形ABCD面积的最小值为32．21. 已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若函数存在极大值点，且，求a的取值范围．【答案】（1）答案见解析    （2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求导函数，转化为导函数有零点问题，构造函数，数形结合得，且，又，所以，设，由函数的单调性可得，进而可得实数的取值范围．【小问1详解】，的定义域是，，当时，在递增，当时，令，解得：，当时，递增；当时，递减，综上：当时，在递增；当时，在递增，在递减.【小问2详解】因为，所以，若函数存在极大值点，则有零点，且零点左侧导数大于0，右侧导数小于0．令得，记，则，令，解得，即在上单调递增，令，解得，即在上单调递减，则，且，时，时，作出的图象如图所示，则，且．  又，所以，设，则，所以函数在上单调递增，而，即，所以，所以，所以，即实数的取值范围为．【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法（1）直接法，先对函数求导，根据导数的符号求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了化归与转化思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造函数法，将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法，将问题等价转化为直线与函数图象的交点问题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．［选修4-4：坐标系与参数方程］22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为，直线l过点且倾斜角为．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出直线l的参数方程（用P点坐标与表示）和曲线C的极坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求的最小值．【答案】（1）（为参数），；    （2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出直线l的参数方程，再用极坐标与直角坐标互化公式求出曲线C的极坐标方程.（2）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，利用参数的几何意义求解作答.【小问1详解】因为直线l过点且倾斜角为，则直线l的参数方程为（为参数），把代入方程得：，所以曲线C的极坐标方程是.【小问2详解】由（1）知，把直线l的参数方程代入方程得：，设点所对参数分别为，则，因此，当且仅当时取等号，所以的最小值为.    ［选修4-5：不等式选讲］23. 已知函数，函数的最小值为k．（1）求k的值；（2）已知a，b，c均为正数，且，求的最小值．【答案】（1）3；    （2）.【解析】【分析】（1）利用绝对值三角不等式求解作答.（2）由（1）的结论，利用柯西不等式求解作答.【小问1详解】依题意，，当且仅当，即时取等号，所以k的值为3.【小问2详解】由（1）知，，而均为正数，所以，当且仅当时取等号，由解得，所以当时，取得最小值.