专题35 双切线问题的探究-新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

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专题35 双切线问题的探究
【方法技巧与总结】
双切线问题，就是过一点做圆锥曲线的两条切线的问题，解决这一类问题我们通常用同构法.
解题思路：
①根据曲线外一点设出切线方程．
②和曲线方程联立，求出判别式．
③整理出关于双切线斜率的同构方程．
④写出关于的韦达定理，并解题．
【题型归纳目录】
题型一：定值问题
题型二：斜率问题
题型三：交点弦过定点问题
题型四：交点弦定值问题
题型五：交点弦最值问题
题型六：交点弦范围问题
【典例例题】
题型一：定值问题
例1．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，点是抛物线的准线上任意一点，直线，分别与抛物线相切于点，．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）设直线，的斜率分别为，，证明：为定值；
（3）求的最小值．

【解析】解：（1）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为
抛物线的焦点为，，
所以抛物线的标准方程：．
（2）抛物线的准线方程为．
设，
设过点的直线方程为，
与抛物线方程联立，消去得：．
其判别式△，令△，得：．
由韦达定理知，，
故（定值）．
（3）设，，，，由，得，
故，
所以，代入抛物线方程得，
所以，，，，


因为，，
所以


，
当且仅当时取等号．
当且仅时取等号．
故的最小值为4．

例2．已知抛物线与直线没有公共点，设点为直线上的动点，过作抛物线的两条切线，，为切点．
（1）证明：直线恒过定点；
（2）若点与（1）中的定点的连线交抛物线于，两点，证明：．
【解析】解：（1）设，，则．
由得，所以．
于是抛物线在点处的切线方程为，即．
设，，则有．设，，同理有．
所以的方程为，即，所以直线恒过定点．
（2）的方程为，与抛物线方程联立，消去，得
，
设，，，，则，①
要证，只需证明，即②
由①知，②式
左边
．
故②式成立，从而结论成立．
例3．已知抛物线，点，过点的直线与抛物线交于，两个不同的点（均与点不重合）．
（1）记直线，的斜率分别为，，证明：．
（2）若，且，在轴的两侧，求的面积．
【解析】（1）证明：设直线的方程为，，，，，
联立，得．
则，．

．
将，代入上式，
可得；
（2）解：，，，，．
则，．
，且，在轴的两侧，
，
结合，，不妨设在轴下方，
解得，，，，
即，，
则，．
直线的方程为，
即，
则点到直线的距离，
故的面积为．
变式1．已知动点与点的距离比它到直线的距离小1．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设为直线上任一点，过点作曲线的切线，，切点分别为，，直线，与轴分别交于，两点，点，的纵坐标分别为，，求证：与的乘积为定值．
【解析】解：（Ⅰ）点与的距离比它到直线的距离小1，
点与的距离到直线的距离相等，
点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，
故抛物线的标准方程为．
（Ⅱ）设点的坐标为，
直线的方程为，直线的方程为．
据，得，
所以△，得．
同理，得，
所以，
分别令，得，，
所以．
变式2．已知抛物线的方程为．
（1）若抛物线上一点，到焦点的距离，求抛物线的标准方程；
（2）过点，为常数）作抛物线的两条切线，切点分别为，右左），设直线，的斜率分别为，，求证为定值．
【解析】解：（1）抛物线的准线方程为，
，到焦点的距离，
又，在抛物线上，，
，解得．
抛物线的标准方程是：．
（2）证明：，设抛物线过点的切线方程为，
代入抛物线方程得：，即，
△，即，
显然，为关于的方程的两个解，
．
为定值．
变式3．已知抛物线焦点为．过点的弦长最小值为4．过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，．另一直线过点与抛物线相交于两点，，与直线相交于点．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）问是否为定值？若是，求出定值；若不是，求其最小值．

【解析】解：（Ⅰ），当过的直线与轴垂直时，弦长最短，此时直线的方程为，
代入抛物线方程可得，故最短弦长为，
，
故抛物线方程为：．
（Ⅱ）设，，，，由可得，求导得，
切线的方程为：，即，
同理可得切线的方程为，
在切线，上，，
直线的方程为．
设直线的方程为，由，得．
设，，，，
由得，
△，解得，或，
由根与系数的关系可得：，．
所以．
为定值2．
题型二：斜率问题
例4．已知椭圆的离心率为，，是椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点，且△的周长是．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设圆，过椭圆的上顶点作圆的两条切线交椭圆于、两点，求直线的斜率．

【解析】解：（Ⅰ）由题意，，可知，，
△的周长是，，
，，
所求椭圆方程为 （4分）
（Ⅱ）椭圆的上顶点为，由题知过点与圆相切的直线有斜率，
则设其方程为，由直线与圆相切可知，
即，，，（6分）
由得，
．
同理 （9分）

故直线的斜率为．（12分）
例5．已知椭圆的长轴长为4，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆上的任意一点，向圆引两条切线，，若，的斜率乘积恒为定值，求圆的面积．
【解析】解：（1）依题意得，则，又，
，
故椭圆的方程为．
（2）设，，则，，
设切线方程为，，
，两边平方得，
则，若，的斜率乘积恒为定值，
则，解得，
圆的面积为，
圆的面积．
例6．设是坐标原点，以，为焦点的椭圆的长轴长为，以为直径的圆和恰好有两个交点．
（1）求的方程；
（2）是外的一点，过的直线，均与相切，且，的斜率之积为，记为的最小值，求的取值范围．
【解析】解：（1）由题意，，即，
又以为直径的圆和恰好有两个交点，即，
又，
，
椭圆的方程为；
（2）由题意，，的斜率存在且不为零，设过点，的切线，
联立，消去并整理得，
，
与相切，，
化简并整理，得，
整理成关于的一元二次方程得，
设，的斜率分别为，，
易知，为方程的两根，
，，
，
，
易知当时，有，
又，
，
即的取值范围为．
变式4．设点为抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，．
（Ⅰ）若点为，求直线的方程；
（Ⅱ）若点为圆上的点，记两切线，的斜率分别为，，求的取值范围．

【解析】解：（Ⅰ）设直线方程为，直线方程为．
由可得．（3分）
因为与抛物线相切，所以，取，则，．
即．同理可得．
所以．（6分）
（Ⅱ）设，，则直线方程为，
直线方程为．
由可得．（8分）
因为直线与抛物线相切，所以△．
同理可得，所以，时方程的两根．
所以，．（11分）
则（12分）
又因为，则，
所以
（15分）
变式5．已知椭圆的离心率为，，是椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点，且的周长是．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在斜率为1的直线与椭圆交于，两点，使得以为直径圆过原点，若存在写出直线方程；
（3）设圆，过椭圆的上顶点作圆的两条切线交椭圆于、两点，当圆心在轴上移动且时，求的斜率的取值范围．
【解析】解：（1）由，即，可知，，
△的周长是，
，，，
所求椭圆方程为；
（2）设直线方程是，，，，，
由，得，
，，
，，
的中点即圆心的坐标是，，
，
满足条件的圆的方程是，
将代入解得，
故存在直线满足题意；
（3）椭圆的上顶点为，
设过点与圆相切的直线方程为，
由直线与相切可知，
即，
，，
由，得．
，同理，
则，
当时，为增函数，
故的斜率的范围为，．
变式6．已知椭圆的离心率为，，是椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点，且△的周长是
（1）求椭圆的方程；
（2）设圆，过椭圆的上顶点作圆的两条切线交椭圆于、两点，当圆心在轴上移动且时，求的斜率的取值范围．

【解析】解：（1）由，即，可知，，
△的周长是，
，
，，
所求椭圆方程为；
（2）椭圆的上顶点为，设过点与圆相切的直线方程为，
由直线与相切可知，
即，
，
由，得．
，
同理，
则．
当时，为增函数，故的斜率的范围为．
题型三：交点弦过定点问题
例7．已知抛物线的顶点为原点，其焦点，到直线的距离为．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设点，为直线上一定点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点．
【解析】解：（Ⅰ）抛物线的焦点，到直线的距离为，
，
解得或，（舍，
抛物线的方程为．
（Ⅱ）设，，设切点为，曲线，，
则切线的斜率为，
化简，得，
设，，，，则，是以上方程的两根，
，，
，
直线为：，
化简，得：，定点．
例8．设抛物线的方程为，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，．
（1）当的坐标为时，求过，，三点的圆的方程，并判断直线与此圆的位置关系；
（2）求证：直线恒过定点；
（3）当变化时，试探究直线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，有几个这样的点，若不存在，说明理由．
【解析】（1）证明：当的坐标为时，设过点的切线方程为，代入，整理得，
令△，解得，
代入方程得，故得，，（2分）
因为到的中点的距离为2，
从而过，，三点的圆的方程为．
圆心坐标为，半径为2，圆与直线相切（4分）
（2）证法一：设切点分别为，，，，过抛物线上点，的切线方程为，代入，整理得△，又因为，所以（6分）
从而过抛物线上点，的切线方程为即
又切线过点，，所以得①即（8分）
同理可得过点，的切线为，
又切线过点，，所以得②（10分）
即（6分）
即点，，，均满足即，故直线的方程为（12分）
又，为直线上任意一点，故对任意成立，所以，，从而直线恒过定点（14分）
证法二：设过，的抛物线的切线方程为，
代入，消去，得
△即：（6分）
从而，此时，
所以切点，的坐标分别为，（8分）
因为，，，
所以的中点坐标为（11分）
故直线的方程为，即（12分）
又，为直线上任意一点，故对任意成立，所以，，从而直线恒过定点（14分）
证法三：由已知得，求导得，切点分别为，，，，故过点，的切线斜率为，从而切线方程为即
（7分）
又切线过点，，所以得①即（8分）
同理可得过点，的切线为，
又切线过点，，所以得②即（10分）
即点，，，均满足即，故直线的方程为（12分）
又，为直线上任意一点，故对任意成立，所以，，从而直线恒过定点（14分）
（3）由（2）中①②两式知，是方程的两实根，故有
，，
，（9分）
①当时，，直线上任意一点均有，为直角三角形；（10分）
②当时，，，不可能为直角三角形；（11分）
③当时，，，
因为，，
所以
若，则，整理得，
又因为，所以，
因为方程有解的充要条件是，所以当时，有或，为直角三角形（13分）
综上所述，当时，直线上任意一点，使为直角三角形，当时，直线上存在两点，使为直角三角形；当或时，不是直角三角形．（14分）
例9．设抛物线的方程为，，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，．
（1）当的坐标为时，求过，，三点的圆的方程，并判断直线与此圆的位置关系；
（2）求证：直线恒过定点．
【解析】（1）解：当的坐标为时，设过点的切线方程为，代入，整理得，
令△，解得，
代入方程得，故得，，（2分）
因为到的中点的距离为2，
从而过，，三点的圆的方程为．
圆心坐标为，半径为2，圆与直线相切（4分）
（2）证法一：设切点分别为，，，，过抛物线上点，的切线方程为，代入，整理得△，又因为，所以（6分）
从而过抛物线上点，的切线方程为即
又切线过点，，所以得①即（8分）
同理可得过点，的切线为，
又切线过点，，所以得②（10分）
即（6分）
即点，，，均满足即，故直线的方程为（12分）
又，为直线上任意一点，故对任意成立，所以，，从而直线恒过定点（14分）
证法二：设过，的抛物线的切线方程为，代入，消去，得△即：（6分）
从而，此时，
所以切点，的坐标分别为，（8分）
因为，，，
所以的中点坐标为（11分）
故直线的方程为，即（12分）
又，为直线上任意一点，故对任意成立，所以，，从而直线恒过定点（14分）
证法三：由已知得，求导得，切点分别为，，，，故过点，的切线斜率为，从而切线方程为即
（7分）
又切线过点，，所以得①即（8分）
同理可得过点，的切线为，
又切线过点，，所以得②即（10分）
即点，，，均满足即，故直线的方程为（12分）
又，为直线上任意一点，故对任意成立，所以，，从而直线恒过定点（14分）
变式7．如图，以原点为顶点，以轴为对称轴的抛物线的焦点为，点是直线上任意一点，过点引抛物线的两条切线分别交轴于点，，切点分别为，．
求抛物线的方程；
（Ⅱ）求证：点，在以为直径的圆上；
（Ⅲ）当点在直线上移动时，直线恒过焦点，求的值．

【解析】解：设抛物线的方程为，
依题意，
所以抛物线的方程为．
（Ⅱ）设点，，，．，否则切线不过点
，切线的斜率，
方程为，其中．
令，得，点的坐标为，
直线的斜率，
，
，即点在以为直径的圆上；
同理可证点在以为直径的圆上，
所以，在以为直径的圆上．
（Ⅲ）抛物线焦点，可设直线．
由，
则．
由（Ⅱ）切线的方程为过点，，
得，
同理．
消去，得
，由上
，即的值为．

变式8．已知椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为，点为椭圆的左顶点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设圆，过点作圆的两条切线分别交椭圆于点和，求证：直线过定点．
【解析】解：（1）由椭圆的定义，则，，则，
所以，
因此椭圆的标准方程；
（2）证明：设切线，的方程为，
则，即，
设两切线，的斜率为，，则，
联立，得，
设，，，，则，，
同理得，，
所以直线的斜率．
则直线的方程为，
整理得，
故直线过定点，．
变式9．在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点，到准线的距离与到原点的距离相等．
（1）求抛物线的方程；
（2）过不在轴上的点作抛物线的两条切线，，切点分别为，，若，求证：直线过定点．
【解析】解：（1）由题意有，
解之得，
抛物线方程为．
（2）证明：设，
对，有，
，，
联立， 方程可得，
所以，，
，
，
，
即直线方程为，
又，所以，
直线恒过定点．
题型四：交点弦定值问题
例10．已知抛物线的顶点为原点，其焦点，到直线的距离为．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设点，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点；
（Ⅲ）过（Ⅱ）中的点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，，求，交点满足的轨迹方程．
【解析】解：（Ⅰ）抛物线的焦点，到直线的距离为，
，
解得或，（舍，
抛物线的方程为．
（Ⅱ）设，，设切点为，曲线，，
则切线的斜率为，
化简，得，
设，，，则，是以上方程的两根，
，，
，
直线为：，
化简，得：，定点．
（Ⅲ）设，，，
过的切线，
过的切线，
交点，
设过点的直线为
联立，得，
，，
，
．
点满足的轨迹方程为．
例11．如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为，．
（Ⅰ）求直线与轴的交点坐标；
（Ⅱ）若为抛物线弧上的动点，抛物线在点处的切线与三角形的边，分别交于点，，记，问是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由．

【解析】解：设，，，，过点的切线方程为，过点的切线方程为，
联立这两个方程可得，
又，所以直线的方程为：，
化简得，令，，
直线过点；
（Ⅱ）记，，，
，，

，
设，记，则，
同理，，，，
于是，
，，
．

例12．在平面直角坐标系中，已知抛物线，过抛物线焦点且与轴垂直的直线与抛物线相交于、两点，且的周长为．
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线过焦点且与抛物线相交于、两点，过点、分别作抛物线的切线、，切线与相交于点，求：的值．
【解析】解：（1）由题意知焦点的坐标为，将代入抛物线的方程可求得点、的坐标分别为、，
有，，
可得的周长为，有，解得；
所以抛物线的方程为；
（2）由（1）知抛物线的方程可化为，求导可得；
设点、的坐标分别为，、，；
设直线的方程为（直线的斜率显然存在）；
联立方程，消去整理为：，可得；
有，
；
可得直线的方程为，整理为；
同理直线的方程为；
联立方程，
解得，
则点的坐标为；
由抛物线的几何性质知，，
；
有；
．
变式10．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆，设，是椭圆上的任意一点，从原点向圆作两条切线，分别交椭圆于点，，直线，的斜率存在，并记为、
（1）若圆与轴相切于椭圆的右焦点，求圆的方程；
（2）若，
①求证：；
②试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

【解析】解：（1）椭圆的右焦点，，则，，则圆的半径为
圆的方程：；
（2）①证明：由，则圆，
设直线和都与圆相切，则，，
两边平方可得，为的两根，
由韦达定理可知：，
因为点，在椭圆上，则，
；
②方法一：当直线，不落在坐标轴上时，设，，，，由①知，
，故．
因为，，，在椭圆上，，，
所以，
整理得，
．
当直线，落在坐标轴上时，显然有，
综上可知：．
方法（二①当直线，不落在坐标轴上时，
设，，，，联立，解得，，
，同理，得．
由①可知：，得，
．
当直线，落在坐标轴上时，显然有，
综上可知：．

变式11．已知椭圆中心在原点，离心率，其右焦点是圆的圆心．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，过椭圆上且位于轴左侧的一点作圆的两条切线，分别交轴于点、．试推断是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】解：（1）设椭圆方程，半焦距为，
因为椭圆的右焦点是圆的圆心，则，
因为椭圆的离心率为，则，即，
从而，
故椭圆的方程为．
（2）设点，，，，
则直线的方程为，即，
因为圆心到直线的距离为1，
即，
即，即，
同理．
由此可知，，为方程的两个实根，
所以，，
．
因为点，在椭圆上，则，即，
则，
令，
则，
因为，则，，即，
故存在点满足题设条件．
题型五：交点弦最值问题
例13．已知椭圆的两个焦点为，点，在椭圆上，在线段上，且的周长等于．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过圆上任意一点作椭圆的两条切线和与圆交于点，，求面积的最大值．
【解析】解：（1）由的周长等于，可得，．
由，得，．
椭圆的标准方程为：；
（2）设，，则．
①若两条切线中有一条切线的斜率不存在，则，．
另一条切线的斜率为0，从而，此时．
②若两条切线的斜率均存在，则．
设过点的椭圆的切线方程为，代入椭圆方程，消去并整理得：
．
依题意得△，即．
设切线、的斜率分别为，，从而．
，则线段为圆的直径，．
．
当且仅当时，取最大值4．
综上，面积的最大值为4．
例14．椭圆的离心率为，焦距为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设是椭圆上的动点，过原点作圆的两条斜率存在的
切线分别与椭圆交于点，，求的最大值．
【解析】解：（1），所以，，，
所以椭圆的标准方程为．
（2）设圆的切线的方程为，
则，
整理得，其两根，满足①
这里，，且②
设，，，，则，，
这里，，
所以，，
由①②得，
则，
所以，当且仅当时取等号．
即．
例15．如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为、．
（1）设抛物线上一点到直线的距离为，为焦点，当时，求抛物线方程；
（2）若，求线段的长；
（3）求到直线的距离的最小值．

【解析】解：（1）由，得，，
抛物线方程为．
（2）在直线上，，解得，
抛物线方程为，
设过点的直线为，联立：，消去，得
即，
直线与抛物线相切，△，即
，，此时，方程有等根，
，，
，．
、在抛物线上，

．
（3）设，过点的直线为，联立：，消去，得，
①，
直线与抛物线相切，△
，②，此时方程①有等根，
令，，，，则，，
的斜率，
由②，根据韦达定理可得，，
直线的方程为，

化简可得，
，
由②，，
方程化为：，
点到的距离，
当且仅当，即，
时，上式等号成立，
到直线的距离的最小值为．
变式12．已知抛物线的方程为，为其焦点，过不在抛物线上的一点作次抛物线的切线，，，为切点，且．
（1）求证：直线过定点；
（2）直线与曲线的一个交点为，求的最小值．

【解析】解：（1）证明：设直线的方程为，
，，，，
由抛物线方程得，，
，
，
的方程为：，
，
，①
同理，，
且的方程为：，②
由得：，
，，
，

，
，
即直线的方程为：，
故直线恒过点．
（2）设，，分别代回①②得，
，
，
两式相减，结合抛物线方程可得，
，

，
当时，，可得，
当时，，此时，
，
，
，


，
，
，
令，，
则，
在，递减，在，递增，
最小值为，
故的最小值为．

变式13．如图，已知抛物线的焦点在抛物线上，点是抛物线上的动点．
（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；
（Ⅱ）过点作抛物线的两条切线，、分别为两个切点，求面积的最小值．

【解析】解：（Ⅰ）抛物线的焦点在抛物线上，
即有，可得，
即有的方程为，
其准线方程为．
（Ⅱ）设，，，，，
，，
的导数为，直线的斜率为，直线的斜率为，
则切线的方程：，
即，又，所以，
同理切线的方程为，
又和都过点，所以，
所以直线的方程为．
联立得，
所以，，
所以．
点到直线的距离．
所以的面积，
所以当时，取最小值为2．即面积的最小值为2．
变式14．如图，已知抛物线与圆相交于，两点，且点的横坐标为2．过劣弧上动点，作圆的切线交抛物线于，两点，分别以，为切点作抛物线的切线，，与相交于点．
（1）求抛物线的方程；
（2）求点到直线距离的最大值．

【解析】解：（1）由得，故，．
于是，抛物线的方程为．
（2）设，，切线，
代入得，由△解得，
方程为，同理方程为，
联立，解得，
易得方程为，其中，满足，，
联立方程得，则，
满足，即点为．
点到直线的距离，
关于单调减，
故当且仅当时，．
变式15．已知抛物线的顶点为原点，其焦点，到直线的距离为，设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）当点在直线上移动时，求的最小值．
【解析】解：（Ⅰ）抛物线的顶点为原点，其焦点，到直线的距离为，
，解得，或（舍，
抛物线的方程为．
（2）设，，，，，，
由，即，得，
抛物线在处的切线的方程为，
即，
，，
，在切线上，，①
同理，，②
综合①②，得，点，，，的坐标都满足方程，
经过，，，两点的直线是唯一的，
直线的方程为，即，
由抛物线定义知：
，，
，
联立，消去，得，
，，
，



，
当时，取得最小值8．
变式16．已知抛物线的焦点为，、是抛物线上的两动点，且．过、两点分别作抛物线的切线，设其交点为．
（Ⅰ）证明为定值；
（Ⅱ）设的面积为，写出的表达式，并求的最小值．
【解析】解：（1）设，，，，，，焦点，准线方程为，
显然斜率存在且过
设其直线方程为，联立消去得：，
判别式△．
，
于是曲线上任意一点斜率为，则易得切线，方程分别为，，其中，，联立方程易解得交点坐标，，，即，
从而，，，，
，（定值）命题得证．
这就说明．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在中，，因而．
，
，，，即，
而，，
则，，
．
因为、分别等于、到抛物线准线的距离，所以
．
于是，
由知，且当时，取得最小值4．
变式17．给定抛物线和直线，若与轴不平行，且与恰有一个公共点，则称为的切线，在平面直角坐标系中，已知，，且不论取任何实数，线段的中垂线与抛物线总是相切．
（1）求抛物线的方程；
（2）若过点的直线交抛物线于、两点，过、分别作抛物线的切线、相交于，、分别于轴交于点、，
①证明：当变化时，的外接圆过定点，并求出定点的坐标；
②求的外接圆面积的最小值．
【解析】解：（1）由，可得的中点坐标，
当时，的中点为坐标原点，
时，直线的斜率为，所以中垂线的的斜率为，
所以的中垂线的方程为：，即，
联立，整理可得：，
由直线与抛物线相切可得：△，
解得：，
所以抛物线的方程为：；
（2）①证明：设过点的直线的方程为：，即，
联立，整理可得：，
设，，，，
所以，，
将两边对求导，，所以，
所以在处的切线的方程为：，
整理可得：，
同理可得在处的切线的方程为：，
再由，，
可得：，，，
设过，，三点的外接圆的方程为：，
由，可得，，，
所以圆的方程为：，
整理可得：，
可得，解得或，
所以圆过定点和，；
②三角形外接圆的半径，
所以当时，最小为，
所以圆的面积的最小值．
变式18．已知中心在原点的椭圆和抛物线有相同的焦点，椭圆过点，抛物线的顶点为原点．
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）设点为抛物线准线上的任意一点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点．
①设直线，的斜率分别为，，求证：为定值；
②若直线交椭圆于，两点，，分别是，的面积，试问：是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由．

【解析】解：（1）设椭圆和抛物线的方程分别为和，，
中心在原点的椭圆和抛物线有相同的焦点，椭圆过点，
抛物线的顶点为原点．
，解得，，，
椭圆的方程为，抛物线的方程为．
证明：①设，过点与抛物线相切的直线方程为，
由，消去得，
由△得，，即，
．
解：②设，，，
由①得，，则，，
直线的方程为，即，
直线过定点．
以为切点的切线方程为，即，
同理以为切点的切线方程为，
两条切线均过点，
，
则切点弦的方程为，即直线过定点
设到直线的距离为，．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
设，，，，，，，，
由，得，时△恒成立．
．
由，得，△恒成立．
．
．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时，，，
．
综上，有最小值．
变式19．已知点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点．
（1）证明：直线过定点，并求出定点的坐标；
（2）若直线交椭圆于，两点，，分别是，的面积，求的最小值．

【解析】解：（1）证明：，，，，则在处的切线方程为，
即
同理在处的切线方程为：，
因为两条切线均过点，所以，
则直线斜率存在时，弦的方程为，即直线过定点；
直线 的斜率不存在时，直线也过，
所以直线 过定点；
（2）设点到直线的距离为，则，
当直线的斜率存在时，由（1）可得直线 的方程为：，
设，，，，
由整理可得：，，，
所以，
由，整理可得：，，，
所以，
所以；
当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，代入抛物线方程可得，所以，
将直线代入椭圆的方程：，可得，所以，
所以，
综上所述：的最小值为．

变式20．已知抛物线的方程为，点是抛物线的准线上的任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，点是的中点．
（1）求证：切线和互相垂直；
（2）求证：直线与轴平行；
（3）求面积的最小值．
【解析】（1）证明：由题意，开口向上的抛物线的切线斜率存在．
设点坐标为，切线斜率为，过点的切线方程为，
联立方程，，
消去，得，
由△，得，
记关于的一元二次方程的两根为，，
则，分别为切线，的斜率，由根与系数的关系知，
所以切线和互相垂直．
（2）证明：设点，由，知，则，
所以过点的切线方程为，
将点代入，化简得，
同理可得，
所以，是关于的方程的两个根，
由根与系数的关系知，
所以，即中点的横坐标为，
而点的横坐标也为，所以直线与轴平行．
（3）解：点，则，
则，
由（2）知，，，
则，，，
当时，面积的最小值为4．
变式21．在直角坐标系中，已知抛物线，点是抛物线上的一点，点到焦点的距离为2．
（1）求抛物线的方程；
（2）点，为圆上的任意一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，，求点到直线距离的最大值．
【解析】解：（1）依题意，点是抛物线上的一点，点到焦点的距离为2，
所以，所以抛物线方程为．
（2）设在第一象限在第四象限，
当时，直线的方程为，
①，
当，即直线的斜率不存在时①也符合．
抛物线在第一象限部分，，
所以过的切线斜率为，
所以过点的抛物线的切线方程为，
即．
抛物线在第四象限部分，，
所以过的切线斜率为，
所以过点的抛物线的切线方程为，
即．
由，
则，且，
到直线的距离．

．
，
所以，
所以，故的最大值为．
题型六：交点弦范围问题
例16．如图，设抛物线的焦点为，点是半椭圆上的一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，且直线、分别交轴于点、．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求的取值范围．

【解析】解：（Ⅰ）设点的坐标为，，直线方程为．
令，可知点的坐标为．
由，消去得．
因为直线与抛物线只有一个交点，
故△，即．
因为点的坐标为，
故，．
则．
因此，亦即．
（Ⅱ）设直线的方程为．
由（1）可知，满足方程．
故，是关于的方程的两个不同的实根．
所以．
由（1）可知：，同理可得．
故，．
则．
因为
所以．
因此，的取值范围是．
例17．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，该点到原点的距离与到的准线的距离相等．
（1）求抛物线的方程；
（2）过焦点的直线与抛物线交于，两点，且与以焦点为圆心2为半径的圆交于，两点，点，在轴右侧．
①证明：当直线与轴不平行时，；
②过点，分别作抛物线的切线，，与相交于点，求与的面积之积的取值范围．
【解析】解：（1）由题意可得，解得，
所以抛物线的方程为．
（2）由（1）知，圆方程为：，
由已知可设，且，，，，
由得，
设，是抛物线上任一点，则，
故抛物线与圆相切．
①证明：当直线与轴不平行时，有，
方法一：由抛物线定义知，，．
所以，
所以
方法二：因为、、、四点共线，、中点为，
若，则必有中点与、中点重合，即，
因为，所以．
②由（1）知抛物线方程为．所以．
所以过点的切线，即．
同理可得，过点的切线为．
由，方程联立，得，
解之，得，
又得，所以．到的距离，，
从而．
例18．已知椭圆的左焦点，点在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）经过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，，直线，分别与圆相交于异于点的，两点．
当直线，的斜率都存在时，记直线，的斜率分别为，．求证：；
求的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）椭圆的左焦点，
．
将代入，得．
又，
，．
椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）证明：设点，，设过点与椭圆相切的直线方程为．
由，消去，得，
△．
令△，整理得．
由已知，则．
又，
．
设点，，，．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
由，消去，得．
．
令△，整理得．
则．
直线的方程为．
化简，可得，即．
经验证，当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，也满足．
同理，可得直线的方程为．
，在直线，上，，．
直线的方程为．
由，消去，得．
，．
．
又由可知当直线，的斜率都存在时，；易知当直线或斜率不存在时，也有．
为圆的直径，即．
．
又，
．
的取值范围为．
变式22．已知椭圆的左焦点，，点在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）经过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，，直线，分别与圆相交于异于点的，两点．
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）求的面积的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）由题意可得，，，解得，，
所以椭圆的方程为：；
（Ⅱ）证明：设，，
①当直线，的斜率都存在时，设过与椭圆相切的直线方程为，
联立直线与椭圆的方程，
整理可得，△，
由题意可得△，整理可得，
设直线，的斜率分别为，，所以，
又，所以，
所以，即为圆的直径，所以；
②当直线或的斜率不存在时，不妨设，
则直线的方程为，
所以，，也满足；
设点，，，，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，
联立直线与椭圆的方程，消可得，
△，
由题意△，整理可得，
则，
所以直线的方程为：，
化简可得，
即，
经验证，当直线的斜率不存在时，直线的方程为或也满足，
同理可得直线的方程，
因为，在直线，上，所以，
所以可得直线的方程为，而在圆上，所以，
联立直线与椭圆的方程为，整理可得，
，，
所以到直线的距离，
弦长，
又点到直线的距离，
令，，，
则，而，，
所以的面积的取值范围是，．
变式23．已知椭圆的左焦点，点为椭圆上一点，如图，经过圆上一动点作椭圆的两条切线分别切于点，，切线分别与圆相交于异于点的点，．
（1）求椭圆的方程；
（2）记，，
（ⅰ）证明：
（ⅱ）求的取值范围．

【解析】解：（1）由题意可得，，，解得，，
所以椭圆的方程为：；
（2）证明：设，，
①当直线，的斜率都存在时，设过与椭圆相切的直线方程为，
联立直线与椭圆的方程，
整理可得，
△，
由题意可得△，整理可得，
设直线，的斜率分别为，，所以，
又，所以，
所以，即为圆的直径，所以；
②当直线或的斜率不存在时，不妨设，
则直线的方程为，
所以，，也满足，
所以，
即；
设点，，，，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，
联立直线与椭圆的方程，
消可得，
△，
由题意△，整理可得，
则，
所以直线的方程为：，
化简可得，
即，
经验证，当直线的斜率不存在时，直线的方程为或也满足，
同理可得直线的方程，
因为，在直线，上，所以，
所以可得直线的方程为，而在圆上，所以，
联立直线与椭圆的方程为，整理可得，
，，
所以到直线的距离，
弦长，
又点到直线的距离，
令，，，
则，而，，
所以的面积的取值范围是，，
因此的取值范围是，．