专题41 定比点差法、齐次化、极点极线问题、蝴蝶问题-新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

专题41 定比点差法、齐次化、极点极线问题、蝴蝶问题

【题型归纳目录】

题型一：定比点差法

题型二：齐次化

题型三：极点极线问题

题型四：蝴蝶问题

【典例例题】

题型一：定比点差法

例1．已知椭圆（）的离心率为，过右焦点且斜率为（）的直线与相交于，两点，若，求

例2．已知，过点的直线交椭圆于，（可以重合），求取值范围．

例3．已知椭圆的左右焦点分别为，，，，是椭圆上的三个动点，且，若，求的值．

题型二：齐次化

例4．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于P，Q两点，为坐标原点．证明：．

例5．如图，椭圆，经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点P，Q(均异于点，证明:直线AP与AQ的斜率之和为2．

例6．已知椭圆，设直线不经过点且与相交于A，B两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：直线过定点．

题型三：极点极线问题

例7．已知椭圆M：（a＞b＞0）过A（－2，0），B（0，1）两点．

（1）求椭圆M的离心率；

（2）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点．

例8．若双曲线与椭圆共顶点，且它们的离心率之积为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若椭圆C的左、右顶点分别为，，直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线与的斜率分别为，，且．试问，直线l是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．

例9．如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆E截得的线段长为.

（1）求椭圆E的方程；

（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

变式1．已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点.

变式2．已知椭圆：的左焦点为，且过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知，分别为椭圆的左、右顶点，为直线上任意一点，直线，分别交椭圆于不同的两点，.求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.

变式3．设椭圆过点，且左焦点为．

（1）求椭圆的方程；

（2）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点，时，在线段上取点，且满足，证明：点总在某定直线上．

题型四：蝴蝶问题

例10．在平面直角坐标系中，已知圆，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点，设点的轨迹为曲线。

(1)求曲线的方程；

(2)若，设过点的直线与曲线分别交于点，其中，求证：直线必过轴上的一定点。(其坐标与无关)

例11．已知椭圆的左､右顶点分别为点，，且，椭圆离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆的右焦点，且斜率不为的直线交椭圆于，两点，直线，的交于点，求证：点在直线上.

例12．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为，点P为椭圆上一点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）如图，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，若k1＝2k2，求直线l斜率的值．

变式4．如图，为坐标原点，椭圆（）的焦距等于其长半轴长，为椭圆的上、下顶点，且

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线交椭圆于异于的两点，直线交于点．求证：点的纵坐标为定值3．

变式5．已知点在椭圆：上，为坐标原点，直线：的斜率与直线的斜率乘积为

（1）求椭圆的方程；

（2）不经过点的直线：（且）与椭圆交于，两点，关于原点的对称点为（与点不重合），直线，与轴分别交于两点，，求证：.

变式6．椭圆（）的左、右焦点分别为，在椭圆上，的周长为，面积的最大值为2.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线（）与椭圆交于，连接，并延长交椭圆于，连接，探索与的斜率之比是否为定值并说明理由.