统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练6函数的奇偶性与周期性文

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练6函数的奇偶性与周期性文，共6页。


[基础强化]
一、选择题
1．设函数f(x)＝ eq \f(1－x,1＋x)，则下列函数中为奇函数的是( )
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
2．[2023·全国乙卷(文)]已知f(x)＝ eq \f(xex,eax－1)是偶函数，则a＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg2x，则f(－8)＝( )
A．3 B． eq \f(1,3)
C．－ eq \f(1,3) D．－3
4．[2023·安徽省蚌埠市高三下学期质检]已知定义域为R的偶函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，f( eq \f(1,2))＝1，则f(－ eq \f(3,2))＝( )
A．－ eq \f(3,2) B．－1
C．1 D． eq \f(3,2)
5．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝3x，则( )
A．f(－1)＝f(2) B．f(－1)＝f(4)
C．f(－ eq \f(3,2))>f( eq \f(5,3)) D．f(－ eq \f(3,2))＝f(4)
6．设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x).若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝ eq \f(1,3)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)))＝( )
A．－ eq \f(5,3) B．－ eq \f(1,3)
C． eq \f(1,3) D． eq \f(5,3)
7．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(lg47)，b＝f(lg23)，c＝f(0.20.6)，则a，b，c的大小关系是( )
A．cC．b8．[2023·东北三省高三联考]定义域为R的奇函数f(x)满足f(x)＝f(－x＋2)，则f(2 022)＝( )
A．0 B．－1
C．1 D．不确定
9．已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝ eq \f(2a－3,a＋1)，则实数a的取值范围为( )
A．(－1，4) B．(－2，0)
C．(－1，0) D．(－1，2)
二、填空题
10．[2023·四川省成都“二诊模拟”]函数f(x)是定义在R上的奇函数，当－1＜x＜0时，f(x)＝3x，则f(lg32)＝________．
11．[2023·全国甲卷(文)]若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin (x＋ eq \f(π,2))为偶函数，则a＝________．
12．已知f(x)是定义在R上的偶函数，令F(x)＝(x－b)f(x－b)＋2 017，若b是a，c的等差中项，则F(a)＋F(c)＝________．
[能力提升]
13．[2023·江西省临川高三模拟]已知定义在R上的函数y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)，函数y＝f(x＋1)为偶函数，且当x∈[0，1]时，f(x)＝lg2(x＋a)，则f(2 022)＋f(2 023)＝( )
A．－1 B．1
C．504 D．无法确定
14．[2023·贵州省高三适应性测试]函数y＝f(x)(x∈R)的图像关于点(0，0)与点(1，0)对称．当x∈(－1，0]时，f(x)＝－x2，则f( eq \f(3,2))＝( )
A．－ eq \f(1,4) B．－ eq \f(1,2)
C．－ eq \f(3,4) D．－ eq \f(9,4)
15．[2023·陕西省西安高三三模]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝sin πx，且满足当x＞1时，f(x)＝2f(x－2)，若对任意x∈[－m，m]，f(x)≤2 eq \r(3)成立，则m的最大值为( )
A． eq \f(23,6) B． eq \f(10,3)
C． eq \f(25,6) D． eq \f(13,3)
16．[2022·全国乙卷(文)，16]若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ln eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,1－x)))＋b是奇函数，则a＝________，b＝________．
专练6 函数的奇偶性与周期性
1．B 通解 选项A：因为函数f(x)＝ eq \f(1－x,1＋x)，所以f(x－1)－1＝ eq \f(1－（x－1）,1＋（x－1）)－1＝ eq \f(2－x,x)－1＝ eq \f(2,x)－2，当x＝1，－1时，函数f(x－1)－1的值分别为0，－4.据此，结合函数奇偶性的定义可知该函数不具有奇偶性．
选项B：因为函数f(x)＝ eq \f(1－x,1＋x)，所以f(x－1)＋1＝ eq \f(1－（x－1）,1＋（x－1）)＋1＝ eq \f(2－x,x)＋1＝ eq \f(2,x).据此，结合函数奇偶性的定义可知该函数为奇函数．
选项C：因为函数f(x)＝ eq \f(1－x,1＋x)，所以f(x＋1)－1＝ eq \f(1－（x＋1）,1＋（x＋1）)－1＝－ eq \f(x,x＋2)－1＝－ eq \f(2x＋2,x＋2)，当x＝1，－1时，函数f(x＋1)－1的值分别为－ eq \f(4,3)，0.据此，结合函数奇偶性的定义可知该函数不具有奇偶性．
选项D：因为函数f(x)＝ eq \f(1－x,1＋x)，所以f(x＋1)＋1＝ eq \f(1－（x＋1）,1＋（x＋1）)＋1＝－ eq \f(x,x＋2)＋1＝ eq \f(2,x＋2)，当x＝1，－1时，函数f(x＋1)＋1的值分别为 eq \f(2,3)，2.据此，结合函数奇偶性的定义可知该函数不具有奇偶性．
综上，所给函数中为奇函数的是选项B中的函数．
优解 因为函数f(x)＝ eq \f(1－x,1＋x)＝ eq \f(2－x－1,1＋x)＝－1＋ eq \f(2,1＋x)，所以函数f(x)的图像关于点(－1，－1)对称．
选项A：因为将函数f(x)的图像先向右平移1个单位，再向下平移1个单位，可得到函数f(x－1)－1的图像，所以可知函数f(x－1)－1的图像关于点(0，－2)对称，从而该函数不是奇函数．
选项B：因为将函数f(x)的图像先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，可得到函数f(x－1)＋1的图像，所以可知函数f(x－1)＋1的图像关于点(0，0)对称，从而该函数是奇函数．
选项C：因为将函数f(x)的图像先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，可得到函数f(x＋1)－1的图像，所以可知函数f(x＋1)－1的图像关于点(－2，－2)对称，从而该函数不是奇函数．
选项D：因为将函数f(x)的图像先向左平移1个单位，再向上平移1个单位，可得到函数f(x＋1)＋1的图像，所以可知函数f(x＋1)＋1的图像关于点(－2，0)对称，从而该函数不是奇函数．
综上，所给函数中为奇函数的是选项B中的函数．
2．D 方法一 f(x)的定义域为{x|x≠0}，因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即 eq \f(xex,eax－1)＝ eq \f(－xe－x,e－ax－1)，即e(1－a)x－ex＝－e(a－1)x＋e－x，即e(1－a)x＋e(a－1)x＝ex＋e－x，所以a－1＝±1，解得a＝0(舍去)或a＝2，故选D.
方法二 f(x)＝ eq \f(xex,eax－1)＝ eq \f(x,e（a－1）x－e－x)，f(x)是偶函数，又y＝x是奇函数，所以y＝e(a－1)x－e－x是奇函数，故a－1＝1，即a＝2，故选D.
3．D ∵f(x)为奇函数，∴f(－8)＝－f(8)＝－lg28＝－3.
4．C 因为函数f(x)是定义域为R的偶函数，
所以f(x)＝f(－x)，
又因为f(1＋x)＝f(1－x)，
所以f(2－x)＝f(x)，
则f(2－x)＝f(－x)，即f(2＋x)＝f(x)，
所以周期为T＝2，
因为f( eq \f(1,2))＝1，
f(－ eq \f(3,2))＝f(2－ eq \f(3,2))＝f( eq \f(1,2))＝1.
5．C ∵f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为2，又f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)＝31＝3，∴f(2)＝f(0)＝1，∴f(4)＝f(0)＝1，f(－ eq \f(3,2))＝f( eq \f(1,2))＝ eq \r(3)，f( eq \f(5,3))＝f(－ eq \f(1,3))＝f( eq \f(1,3))＝ eq \r(3,3)，
∴f(－ eq \f(3,2))>f( eq \f(5,3)).
6．C 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x).又f(1＋x)＝f(－x)，所以f(2＋x)＝f[1＋(1＋x)]＝f[－(1＋x)]＝－f(1＋x)＝－f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的周期函数，f( eq \f(5,3))＝f( eq \f(5,3)－2)＝f(－ eq \f(1,3))＝ eq \f(1,3).
7．C f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，得函数在(0，＋∞)上是减函数，图像越靠近y轴，图像越靠上，即自变量的绝对值越小，函数值越大，由于0<0.20.6<18．A 因为函数f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以由f(x)＝f(－x＋2)⇒f(－x)＝f(x＋2)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝－f(x＋2)⇒f(x)＝f(x＋4)，所以该函数的周期为4，
所以f(2 022)＝f(505×4＋2)＝f(2)＝f(－2＋2)＝f(0)＝0.
9．A ∵f(x)是周期为3的偶函数，
∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)＝ eq \f(2a－3,a＋1)，
又f(1)<1，∴ eq \f(2a－3,a＋1)<1，得－110．答案：－ eq \f(1,2)
解析：因为lg32∈(0，1)，所以－lg32∈(－1，0)，
由f(x)为奇函数得：f(lg32)＝－f(－lg32)＝－f(lg3 eq \f(1,2))＝－3lg3 eq \f(1,2)＝－ eq \f(1,2).
11．答案：2
解析：方法一 因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(－x－1)2－ax＋sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x＋\f(π,2)))＝(x－1)2＋ax＋sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))，得a＝2.
方法二 因为f(x)为偶函数，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－1)) eq \s\up12(2)－ eq \f(π,2)a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－1)) eq \s\up12(2)＋ eq \f(π,2)a，得a＝2.
12．答案：4 034
解析：F(a)＋F(c)＝(a－b)f(a－b)＋2 017＋(c－b)f(c－b)＋2 017.∵b是a，c的等差中项，∴a－b＝－(c－b)，令g(x)＝xf(x)，则g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)，∴g(x)＝xf(x)是奇函数．∴(a－b)f(a－b)＋(c－b)f(c－b)＝0，∴F(a)＋F(c)＝2 017＋2 017＝4 034.
13．A 因为函数y＝f(x)的定义域为R，且f(－x)＝－f(x)，
所以函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝lg2a＝0，解得a＝1，
即f(x)＝lg2(x＋1)，f(1)＝lg22＝1；
因为y＝f(x＋1)为偶函数，
所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，
即y＝f(x)的图像关于x＝1对称，
又y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)，
所以f(x＋1)＝－f(x－1)，
则f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
即函数y＝f(x)是周期函数，周期为4，
则f(2 022)＋f(2 023)＝f(2)＋f(3)＝－f(0)－f(1)＝－1.
14．A 因为y＝f(x)图像关于点(0，0)与点(1，0)对称，所以f(－x)＋f(x)＝0，且f(2－x)＋f(x)＝0，所以f(2－x)＝f(－x)，即f(x)＝f(x＋2)，所以f(x)是以2为周期的周期函数，当x∈(－1，0]时，f(x)＝－x2，所以f( eq \f(3,2))＝f(－ eq \f(1,2)＋2)＝f(－ eq \f(1,2))＝－(－ eq \f(1,2))2＝－ eq \f(1,4).
15．B 由题意，函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝sin πx，当x∈[－1，0)时，f(x)＝－f(－x)＝－sin (－πx)＝sin πx，即f(x)＝sin πx，x∈[－1，1]，又由当x＞1时，f(x)＝2f(x－2)，可画出函数图像，如图所示．
由图知，当3≤x≤5时，f(x)＝4f(x－4)＝4sin (πx－4π)＝4sin πx；
则当－5≤x≤－3时，f(x)＝－f(－x)＝4sin πx；
当－5≤x≤－3时，令4sin πx＝2 eq \r(3)，解得x1＝－ eq \f(10,3)，x2＝－ eq \f(11,3)(舍去)，
若对任意x∈[－m，m]，f(x)≤2 eq \r(3)成立，所以m的最大值为 eq \f(10,3).
16．答案：－ eq \f(1,2) ln 2
解析：本题先采用特殊值法求出f(x)，再检验正确性．因为f(x)为奇函数，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（0）＝0，,f（2）＋f（－2）＝0，))
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ln |a＋1|＋b＝0 ①，,ln |a－1|＋ln \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,3)))＋2b＝0 ②.))
由①可得－b＝ln |a＋1| ③.将③代入②可得， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(（a－1）（a＋\f(1,3)）))＝|a＋1|2.当(a－1)(a＋ eq \f(1,3))＝(a＋1)2时，解得a＝－ eq \f(1,2).把a＝－ eq \f(1,2)代入①，可得b＝ln 2，此时f(x)＝ln eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(1,1－x)))＋ln 2＝ln eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,1－x)))，所以f(－x)＋f(x)＝ln eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1－x,1＋x)))＋ln eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,1－x)))＝ln 1＝0，所以f(x)为奇函数，且f(0)，f(2)，f(－2)均有意义．当(a－1)(a＋ eq \f(1,3))＝－(a＋1)2时，整理可得a2＋ eq \f(2,3)a＋ eq \f(1,3)＝0，此时Δ＝ eq \f(4,9)－4× eq \f(1,3)<0，所以a无解．综上可得，a＝－ eq \f(1,2)，b＝ln 2.