统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练35基本不等式文

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练35基本不等式文，共5页。

[基础强化]
一、选择题
1．如果a>0，那么a＋ eq \f(1,a)＋2的最小值是( )
A．2 B．2 eq \r(2)
C.3 D．4
2．若a>0，b>0且2a＋b＝4，则 eq \f(1,ab)的最小值为( )
A.2 B． eq \f(1,2)
C.4 D． eq \f(1,4)
3．下列结论正确的是( )
A.当x>0且x≠1时，lg x＋ eq \f(1,lg x)≥2
B.当x∈(0， eq \f(π,2)]时，sin x＋ eq \f(4,sin x)的最小值为4
C.当x>0时， eq \r(x)＋ eq \f(1,\r(x))≥2
D.当04．若lg4(3a＋4b)＝lg2 eq \r(ab)，则a＋b的最小值是( )
A.6＋2 eq \r(3) B．7＋2 eq \r(3)
C.6＋4 eq \r(3) D．7＋4 eq \r(3)
5．若x>0，y>0，x＋2y＝1，则 eq \f(xy,2x＋y)的最大值为( )
A. eq \f(1,4) B． eq \f(1,5)
C. eq \f(1,9) D． eq \f(1,12)
6．[2023·福建宁德模拟]已知点E是△ABC的中线BD上的一点(不包括端点).若 eq \(AE,\s\up6(→))＝x eq \(AB,\s\up6(→))＋y eq \(AC,\s\up6(→))，则 eq \f(2,x)＋ eq \f(1,y)的最小值为( )
A.4 B．6
C.8 D．9
7．若直线 eq \f(x,a)＋ eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于( )
A.2 B．3
C.4 D．5
8．[2023·河南安阳模拟]已知a，b为正实数，且a＋b＝6＋ eq \f(1,a)＋ eq \f(9,b)，则a＋b的最小值为( )
A.6 B．8
C.9 D．12
9．[2023·安徽马鞍山三模]若a＞0，b＞0，lg a＋lg b＝lg (a＋3b)，则a＋b的最小值为( )
A.4 eq \r(3) B．4＋2 eq \r(3)
C.6 D．3＋3 eq \r(3)
二、填空题
10．已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋ eq \f(1,8b)的最小值为________.
11．已知函数f(x)＝4x＋ eq \f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．
12．[2023·浙江绍兴模拟]若直线ax－by－3＝0(a＞0，b＞0)过点(1，－1)，则 eq \r(a＋1)＋ eq \r(b＋2)的最大值为________．
[能力提升]
13．[2022·全国甲(文)，12] 已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则( )
A.a>0>b B．a>b>0
C.b>a>0 D．b>0>a
14．若对于任意的x>0，不等式 eq \f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则实数a的取值范围为( )
A.a≥ eq \f(1,5) B．a> eq \f(1,5)
C.a< eq \f(1,5) D．a≤ eq \f(1,5)
15．[2023·宁夏石嘴山第一中学三模]设复数z＝a＋bi(a，b＞0，a，b∈R)，若复数z eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋i))对应的点在直线x＋3y－2＝0上， 则 eq \f(2,a)＋ eq \f(1,b)的最小值为________．
16．设x>0，y>0，x＋2y＝4，则 eq \f(（x＋1）（2y＋1）,xy)的最小值为________．
专练35 基本不等式
1．D ∵a>0，∴a＋ eq \f(1,a)≥2(当且仅当a＝ eq \f(1,a)即a＝1时等号成立)，∴a＋ eq \f(1,a)＋2的最小值为4.
2．B ∵a>0，b>0，∴4＝2a＋b≥2 eq \r(2ab)(当且仅当2a＝b，即：a＝1，b＝2时等号成立)，∴03．C 当x∈(0，1)时，lg x<0，故A不成立，对于B中sin x＋ eq \f(4,sin x)≥4，当且仅当sin x＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B不正确；D中y＝x－ eq \f(1,x)在(0，2]上单调递增，故当x＝2时，y有最大值，故D不正确；又 eq \r(x)＋ eq \f(1,\r(x))≥2 eq \r(\r(x)·\f(1,\r(x)))＝2(当且仅当 eq \r(x)＝ eq \f(1,\r(x))即x＝1时等号成立).故C正确．
4．D 由lg4(3a＋4b)＝lg2 eq \r(ab)，得3a＋4b＝ab，且a>0，b>0，∴a＝ eq \f(4b,b－3)，由a>0，得b>3.∴a＋b＝b＋ eq \f(4b,b－3)＝b＋ eq \f(4（b－3）＋12,b－3)＝(b－3)＋ eq \f(12,b－3)＋7≥2 eq \r(12)＋7＝4 eq \r(3)＋7(当且仅当b－3＝ eq \f(12,b－3)即b＝3＋2 eq \r(3)时等号成立)，即a＋b的最小值为7＋4 eq \r(3).
5．C x＋2y＝1⇒y＝ eq \f(1－x,2)，则 eq \f(xy,2x＋y)＝ eq \f(x－x2,3x＋1).
∵x>0，y>0，x＋2y＝1，
∴0设3x＋1＝t(1原式＝ eq \f(－t2＋5t－4,9t)＝ eq \f(5,9)－( eq \f(t,9)＋ eq \f(4,9t))≤ eq \f(5,9)－2 eq \r(\f(4,81))＝ eq \f(1,9)，
当且仅当 eq \f(t,9)＝ eq \f(4,9t)，即t＝2，x＝ eq \f(1,3)，y＝ eq \f(1,3)时，取等号，则 eq \f(xy,2x＋y)的最大值为 eq \f(1,9).
6．C 由题意得：点E是△ABC的中线BD上的一点(不包括端点)，则由共线向量定理可知：
设 eq \(BE,\s\up6(→))＝λ eq \(BD,\s\up6(→))(0＜λ＜1)
∵ eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BE,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋λ eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋λ( eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→)))＝(1－λ) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(λ,2) eq \(AC,\s\up6(→))，
∴x＝1－λ，y＝ eq \f(λ,2)(x＞0，y＞0)
∴ eq \f(2,x)＋ eq \f(1,y)＝ eq \f(2,1－λ)＋ eq \f(2,λ)＝( eq \f(2,1－λ)＋ eq \f(2,λ))[(1－λ)＋λ]＝4＋ eq \f(2λ,1－λ)＋ eq \f(2（1－λ）,λ)≥4＋2 eq \r(\f(2λ,1－λ)·\f(2（1－λ）,λ))＝8
当且仅当 eq \f(2λ,1－λ)＝ eq \f(2（1－λ）,λ)，即λ＝ eq \f(1,2)，x＝ eq \f(1,2)，y＝ eq \f(1,4)时取等号，故 eq \f(2,x)＋ eq \f(1,y)的最小值为8.
7．C 因为直线 eq \f(x,a)＋ eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，所以 eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)＝1.所以a＋b＝(a＋b)·( eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b))＝2＋ eq \f(a,b)＋ eq \f(b,a)≥2＋2 eq \r(\f(a,b)·\f(b,a))＝4，当且仅当 eq \f(a,b)＝ eq \f(b,a)即a＝b＝2时取“＝”．
8．B 由题意，可得(a＋b)2＝(6＋ eq \f(1,a)＋ eq \f(9,b))(a＋b)＝6(a＋b)＋10＋ eq \f(b,a)＋ eq \f(9a,b)≥6(a＋b)＋16，
则有(a＋b)2－6(a＋b)－16≥0，解得a＋b≥8，
当且仅当a＝2，b＝6时取到最小值8.
9．B 由lg a＋lg b＝lg (a＋3b)⇒lg (ab)＝lg (a＋3b)⇒ab＝a＋3b⇒a＝ eq \f(3b,b－1)，
因为a＞0，b＞0，所以b－1＞0，即b＞1，
所以a＋b＝ eq \f(3b,b－1)＋b＝ eq \f(3,b－1)＋(b－1)＋4≥2 eq \r(\f(3,b－1)·（b－1）)＋4＝4＋2 eq \r(3)，
当且仅当 eq \f(3,b－1)＝b－1时取等号，即b＝ eq \r(3)＋1时取等号．
10．答案： eq \f(1,4)
解析：∵a－3b＋6＝0，∴a－3b＝－6，∴ 2a＋ eq \f(1,8b)＝2a＋2－3b≥2 eq \r(2a·2－3b)＝2 eq \r(2a－3b)＝2 eq \r(2－6)＝ eq \f(1,4).当且仅当2a＝2－3b，即a＝－3，b＝1时，2a＋ eq \f(1,8b)取得最小值为 eq \f(1,4).
11．答案：36
解析：∵x>0，a>0，∴4x＋ eq \f(a,x)≥2 eq \r(4x·\f(a,x))＝4 eq \r(a)，
当且仅当4x＝ eq \f(a,x)，即x＝ eq \f(\r(a),2)时等号成立，由 eq \f(\r(a),2)＝3，a＝36.
12．答案：2 eq \r(3)
解析：直线ax－by－3＝0过点(1，－1)，则a＋b＝3，
又a＞0，b＞0，设t＝ eq \r(a＋1)＋ eq \r(b＋2)，则t＞0，
t2＝a＋1＋b＋2＋2 eq \r(（a＋1）（b＋2）)＝6＋2 eq \r(（a＋1）（b＋2）).
由(a＋1)(b＋2)≤( eq \f(a＋1＋b＋2,2))2＝9，当且仅当a＋1＝b＋2，即a＝2，b＝1时等号成立．
所以t2＝6＋2 eq \r(（a＋1）（b＋2）)≤12，即t≤2 eq \r(3)，
所以 eq \r(a＋1)＋ eq \r(b＋2)的最大值为2 eq \r(3)，当且仅当a＝2，b＝1时等号成立．
13．A 由9m＝10得m lg 9＝1，所以m＝ eq \f(1,lg 9)，所以m－lg 11＝ eq \f(1,lg 9)－lg 11＝ eq \f(1－lg 11·lg 9,lg 9).因为lg 11·lg 9<( eq \f(lg 11＋lg 9,2))2＝( eq \f(lg 99,2))2<( eq \f(lg 100,2))2＝1，所以m－lg 11>0，则10m>11，所以a＝10m－11>0.同理，lg 8m－lg 9＝ eq \f(lg 8,lg 9)－lg 9＝ eq \f(lg 8·lg 10－（lg 9）2,lg 9)< eq \f(（\f(lg 8＋lg 10,2)）2－（lg 9）2,lg 9)＝ eq \f(（\f(lg 80,2)）2－（lg 9）2,lg 9)< eq \f(（\f(lg 81,2)）2－（lg 9）2,lg 9)＝0，所以8m<9，则b<0，所以a>0>b.故选A.
14．A ∵ eq \f(x,x2＋3x＋1)＝ eq \f(1,x＋\f(1,x)＋3)，∵x>0，∴x＋ eq \f(1,x)≥2(当且仅当x＝ eq \f(1,x)即x＝1时等号成立)，
∴ eq \f(x,x2＋3x＋1)≤ eq \f(1,5)，由题意得a≥ eq \f(1,5).
15．答案：9
解析：z(1＋i)＝(a＋bi)(1＋i)＝(a－b)＋(a＋b)i，
故复数对应的点的坐标为(a－b，a＋b) ，又因为点在直线x＋3y－2＝0上，
∴(a－b)＋3(a＋b)－2＝0，整理得：2a＋b＝1，
eq \f(2,a)＋ eq \f(1,b)＝( eq \f(2,a)＋ eq \f(1,b))(2a＋b)＝5＋ eq \f(2b,a)＋ eq \f(2a,b)≥5＋2 eq \r(\f(2b,a)·\f(2a,b))＝9，
当且仅当 eq \f(2b,a)＝ eq \f(2a,b)时，即a＝b 时等号成立，即 eq \f(2,a)＋ eq \f(1,b)的最小值为9.
16．答案： eq \f(9,2)
解析： eq \f(（x＋1）（2y＋1）,xy)＝ eq \f(2xy＋x＋2y＋1,xy)＝ eq \f(2xy＋5,xy)＝2＋ eq \f(5,xy).
∵x>0，y>0，∴4＝x＋2y≥2 eq \r(x·2y)，
解得0