统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练48椭圆文

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练48椭圆文，共6页。
[基础强化]
一、选择题
1.椭圆 eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,6)＝1上一点M到其中一个焦点的距离为3，则点M到另一个焦点的距离为（ ）
A．2 B．3
C.4 D．5
2.已知△ABC的顶点B，C在椭圆 eq \f(x2,3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则△ABC的周长为（ ）
A.2 eq \r(3) B．4 eq \r(3)
C.6 D．12
3.[2021·全国乙卷]设B是椭圆C： eq \f(x2,5)＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（ ）
A. eq \f(5,2) B． eq \r(6)
C. eq \r(5) D．2
4.动点P到两定点F1（－4，0），F2（4，0）的距离之和为10，则动点P的轨迹方程是（ ）
A. eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,9)＝1 B． eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,9)＝1
C. eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,16)＝1 D． eq \f(x2,100)＋ eq \f(y2,36)＝1
5.已知椭圆的长轴长为8，离心率为 eq \f(3,4)，则此椭圆的标准方程是（ ）
A. eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,9)＝1
B. eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,7)＝1或 eq \f(x2,7)＋ eq \f(y2,16)＝1
C. eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,25)＝1
D. eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,25)＝1或 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,16)＝1
6.[2023·全国甲卷（文）]设F1，F2为椭圆C： eq \f(x2,5)＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则|PF1|·|PF2|＝（ ）
A.1 B．2
C.4 D．5
7.已知椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,4)＝1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（ ）
A. eq \f(1,3) B． eq \f(1,2)
C. eq \f(\r(2),2) D． eq \f(2\r(2),3)
8.设椭圆 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若△PF1F2为直角三角形，则△PF1F2的面积为（ ）
A.3 B．3或 eq \f(3,2)
C. eq \f(3,2) D．6或3
9.[2023·陕西省西安中学三模]我们把由半椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1（x≥0）与半椭圆 eq \f(y2,b2)＋ eq \f(x2,c2)＝1（xb>c>0）.如图所示，设点F0、F1、F2是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2是“果圆”与x轴和y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为（ ）
A. eq \f(\r(7),2)，1 B． eq \r(3)，1
C.5，3 D．5，4
二、填空题
10.若方程 eq \f(x2,5－k)＋ eq \f(y2,k－3)＝1表示椭圆，则k的取值范围是_______．
11.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为_______．
12.已知F1，F2为椭圆C： eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,4)＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为_______．
[能力提升]
13.[2022·全国甲卷（文），11]已知椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1（a>b>0）的离心率为 eq \f(1,3)，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－1，则C的方程为（ ）
A. eq \f(x2,18)＋ eq \f(y2,16)＝1 B． eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,8)＝1
C. eq \f(x2,3)＋ eq \f(y2,2)＝1 D． eq \f(x2,2)＋y2＝1
14.[2023·江西省南昌市高三模拟] 已知F1，F2，B分别是椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1（a>b>0）的左焦点、右焦点、上顶点，连接BF2并延长交C于点P，若△PF1B为等腰三角形，则C的离心率为（ ）
A. eq \f(1,3) B． eq \f(1,2)
C. eq \f(\r(3),3) D． eq \f(\r(2),2)
15.F1，F2是椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1（a>b>0）的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是_______．
16.[2023·安徽省蚌埠市高三质检] 已知椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1（a>b>0）的离心率为 eq \f(\r(2),2)，直线l与椭圆交于A，B两点，当AB的中点为M（1，1）时，直线l的方程为_______．
专练48 椭圆
1．D ∵a＝4，由椭圆的定义知，M到另一个焦点的距离为2a－3＝2×4－3＝5.
2．B 由椭圆的方程得a＝ eq \r(3).设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4 eq \r(3).
3．A 通解 设点P(x，y)，则根据点P在椭圆 eq \f(x2,5)＋y2＝1上可得x2＝5－5y2.易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝x2＋(y－1)2＝5－5y2＋(y－1)2＝－4y2－2y＋6＝ eq \f(25,4)－(2y＋ eq \f(1,2))2.
当2y＋ eq \f(1,2)＝0，即y＝－ eq \f(1,4)(满足|y|≤1)时，|PB|2取得最大值 eq \f(25,4)，所以|PB|max＝ eq \f(5,2).
优解 因为点P在椭圆 eq \f(x2,5)＋y2＝1上，所以可设点P( eq \r(5)cs θ，sin θ).易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝( eq \r(5)cs θ)2＋(sin θ－1)2＝4cs2θ－2sinθ＋2＝－4sin2θ－2sinθ＋6＝ eq \f(25,4)－(2sin θ＋ eq \f(1,2))2.易知当2sin θ＋ eq \f(1,2)＝0，即sin θ＝－ eq \f(1,4)时，|PB|2取得最大值 eq \f(25,4)，所以|PB|max＝ eq \f(5,2).
4．B 依题意，动点P的轨迹是椭圆，且焦点在x轴上，设方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由c＝4，2a＝10，即a＝5，得b＝ eq \r(a2－c2)＝3，则椭圆方程为 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,9)＝1.
5．B ∵2a＝8，∴a＝4，e＝ eq \f(c,a)，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7，∴椭圆的标准方程为 eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,7)＝1或 eq \f(x2,7)＋ eq \f(y2,16)＝1.
6．B 方法一 因为PF1·PF2＝0，所以PF1⊥PF2，则S△PF1F2＝ eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝b2tan eq \f(∠F1PF2,2)，得 eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝1×tan eq \f(90°,2)，所以|PF1|·|PF2|＝2，故选B.
方法二 因为＝0，所以PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝16.因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝2 eq \r(5)，所以(|PF1|＋|PF2|)2＝20，即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2，故选B.
7．C 由题可知椭圆的焦点落在x轴上，c＝2，
∴a2＝4＋c2＝8，∴a＝2 eq \r(2)，∴e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(2,2\r(2))＝ eq \f(\r(2),2).
8．C 由已知a＝2，b＝ eq \r(3)，c＝1，
若P为短轴的顶点(0， eq \r(3))时，∠F1PF2＝60°，△PF1F2为等边三角形，
∴∠P不可能为直角，
若∠F1＝90°，则|PF1|＝ eq \f(b2,a)＝ eq \f(3,2)，
S△PF1F2＝ eq \f(1,2)· eq \f(b2,a)·2c＝ eq \f(3,2).
9．A 由题意知，
a2－b2＝( eq \f(\r(3),2))2＝ eq \f(3,4)，b2－c2＝( eq \f(1,2))2＝ eq \f(1,4)，∴a2－c2＝1.
又a2＝b2＋c2，∴b2＝1，b＝1.∴a2＝ eq \f(7,4)，a＝ eq \f(\r(7),2).
10．答案：(3，4)∪(4，5)
解析：由题意可知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5－k>0，,k－3>0，,5－k≠k－3，))
解得3