四川省达州市2022-2023高二下学期期末理科数学试卷+答案

达州市2023年普通高中二年级春季期末监测

数学试题（理科）

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 复数，则的虚部是（    ）

A. bi B.  C. 0 D.

3. 某地区高三学生参加体检，现随机抽取了部分学生的身高，得到下列频数分布表：

根据表格，估计该地区高三学生的平均身高是（    ）

A. 165 B. 167 C. 170 D. 173

4 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 的展开式中，的系数为（    ）

A 20 B.  C.  D. 15

6. 某市2023年中考体育考试要求考生必须在篮球、足球、排球这三个项目中选择一个项目考试.如果这三个项目该市一初三寝室的四名同学都有人选，则这四名同学所有可能选择的方案为（    ）

A. 72 B. 36 C. 18 D. 24

7. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线与C的一个交点为P，，则C的离心率为（    ）

A.  B. 2 C.  D.

8. 桌上放着4张卡片，每张卡片的一面写着一个大写或小写字母，另一面写着一个0到9的整数数字，小明只能看到卡片的一面．下面的4张卡片，要判断命题“卡片的一面是大写字母，这张卡片的另一面是奇数”为真，小明至少翻开的卡片是（    ）

A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④

9. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，的面积为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 在棱长为1的正方体中，点满足，，．在满足条件的中随机取一点，与所成角小于等于的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆上总存在点P，使得过点P能作椭圆的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 设表示集合的子集个数，，，其中.给出下列命题：

①当时，是函数的一个对称中心；

②时，函数在上单调递增；

③函数的值域是；

④对任意的实数x，任意的正整数k，恒成立.

其中是真命题的为（    ）

A. ①③ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13 已知向量，满足，，，则______．

14. 曲线在点处的切线方程是______．

15. 某玩具厂计划设计一款玩具，准备将一个棱长为4 cm的正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）密封在一个圆柱形容器内，并且这个正四面体在该圆柱形容器内可以任意转动，则该圆柱形容器内壁高的最小值为______cm．

16. 已知，是函数的两个零点，且，记，，，用“＜”把a，b，c连接起来______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17. 已知等差数列前五项和为15，等比数列的前三项积为8，且．

（1）求和的通项公式；

（2）设，求数列前n项和．

18. 某地区新高考要求语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.现从该地区已选科的学生中随机选出200人，对其选科情况进行统计，选考物理的占，选考政治的占，物理和政治都选的有80人.

（1）完成选考物理和政治的人数的列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过的前提下，认为考生选考物理与选考政治有关？

（2）在该地区已选科的考生中随机选出3人，这3人中物理和政治都选了的考生的人数为X，视频率为概率，求X的分布列和数学期望.

附：参考数据和公式：

，其中.

19. 已知四棱锥的底面ABCD是边长为2的菱形，且，，，E为PB中点．

（1）证明：；

（2）若PB与底面ABCD所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．

20. 已知抛物线上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1．

（1）求E的标准方程；

（2），，交E于A，C两点，交E于B，D两点．求四边形ABCD的面积的最小值．

21. 已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数存在极大值点，且，求a的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

［选修4-4：坐标系与参数方程］

22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为，直线l过点且倾斜角为．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）写出直线l的参数方程（用P点坐标与表示）和曲线C的极坐标方程；

（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求的最小值．

［选修4-5：不等式选讲］

23. 已知函数，函数的最小值为k．

（1）求k的值；

（2）已知a，b，c均为正数，且，求的最小值．
数学试题（理科）答案

1. ACBAB

6. BCCDD

11. D

12. C

第12题详解：由集合的子集个数为知，，所以

，，所以，所以，

令，，得，

当时，函数的对称中心为，故①正确；

因为，所以，令，

则在上不单调，所以函数在上不单调，故②错误；

，

所以当时，取最大值，所以当时，取最小值，

即函数值域是，故③正确；

，故④正确；综上，真命题为①③④.

13. 7

14.

15.

16.

第16题详解：由，得，

令，

作出的图象，直线与的图象有两个交点，

由图可知，又，则，，

∵，∴，∴，

令，则，

则，，，

作出函数与在上的图象，

由图可知，当时，；当时，；

当时，；当时，；当时，.

，，而，从而，

则，即；

，，而，从而，

则，即，

综上，.

17. （1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

∵等差数列前五项和为15，且，

∴，解得，

∴，

∵等比数列的前三项积为8，且，

∴，∴，

∴．

（2），

即，

∴，

∴，

∴.

18. （1）根据题意，选考物理的考生有人，

选考政治的考生有人，列联表补充完整如下：

因为，

所以在犯错误概率不超过的前提下，可以认为考生选考物理与选考政治有关.

（2）在该地区已选科的考生中随机选出1人，则物理和政治都选了的概率，

易知，随机变量服从二项分布，即，

所以可取0，1，2，3，

，，

，.

分布列如下：

则.

19. （1）连接，

因为底面ABCD是边长为2的菱形，

所以，且是的中点，

因为，所以，

又因为平面，

所以平面，因为平面，

所以.

（2）因为，所以，

又因为，所以，即，

因为平面ABCD，所以平面ABCD，

则为PB与底面ABCD所成角，故，

因为，所以，则，

因为分别是的中点，则，所以平面ABCD，

以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

则,

,

设平面的法向量为，

由，令，则，，

设平面的法向量为，

由，令，则，，

，

因为二面角的大小为锐角，

故二面角的余弦值为．

20. （1抛物线的焦点，准线．

∵抛物线上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1．

根据抛物线的定义可知，，∴，

∴抛物线E的标准方程为.

（2）由题可知均有斜率且斜率不为零，且过焦点，

设，，，设，

由，消可得，

∴，，

∴，

∴，

同理可得，

∴，

当且仅当时取等号，

∴四边形ABCD面积的最小值为32．

21. （1，的定义域是，，

当时，在递增，

当时，令，解得：，

当时，递增；当时，递减，

综上：当时，在递增；

当时，在递增，在递减.

（2）因为，

所以，

若函数存在极大值点，

则有零点，且零点左侧导数大于0，右侧导数小于0．

令得，

记，则，

令，解得，即在上单调递增，

令，解得，即在上单调递减，

则，且，时，时，

作出的图象如图所示，则，且．

又，所以，

设，则，

所以函数在上单调递增，

而，即，所以，

所以，

所以，即实数的取值范围为．

22. （1）因为直线l过点且倾斜角为，则直线l的参数方程为（为参数），

把代入方程得：，

所以曲线C的极坐标方程是.

（2）由（1）知，把直线l的参数方程代入方程得：

，设点所对参数分别为，则，

因此

，当且仅当时取等号，

所以的最小值为.

23. （1）依题意，，当且仅当，即时取等号，

所以k的值为3.

（2）由（1）知，，而均为正数，

所以，当且仅当时取等号，

由解得，

所以当时，取得最小值.