2022-2023学年重庆市西南大学附中、育才中学、外国语学校三校联考高一（下）月考数学试卷（5月份）（含解析）

2022-2023学年重庆市西南大学附中、育才中学、外国语学校三校联考高一（下）月考数学试卷（5月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  复数在复平面内对应的点所在的象限为(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.  已知向量，，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知，且为第三象限角，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  金字塔一直被认为是古埃及的象征，然而，玛雅文明也有类似建筑，玛雅金字塔是仅次于埃及金字塔的著名建筑玛雅金字塔由巨石堆成，其下方近似为正四棱台，顶端是祭神的神殿，其形状近似为正四棱柱整座金字塔的高度为，金字塔的塔基正四棱台的下底面的周长为，塔台正四棱台的上底面的周长为，神殿底面边长为，高为，则该玛雅金字塔的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在中，角，，的对边分别为，，已知，，，若满足条件的三角形有两个，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知一个正六棱锥的所有顶点都在一个球的表面上，六棱锥的底面边长为，侧棱长为，则球的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在中，角，，的对边分别为，，已知，点是的外心，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  给出下列个命题，其中正确的命题是(    )

A. 梯形可确定一个平面
B. 棱台侧棱的延长线不一定相交于一点
C.
D. 若非零向量，，满足，则

10.  函数的部分图象如图所示，则(    )

A. 函数的最小正周期为
B. 在区间上单调递减
C. 的图象关于直线对称
D. 将的图象向左平移个单位长度可得的图象
 

11.  已知为坐标原点，点，，，，则(    )

A.  B.
C.  D.

12.  如图，直四棱柱的底面是梯形，，，，，是棱的中点是棱上一动点不包含端点，则(    )

A. 与平面有可能平行
B. 与平面有可能平行
C. 三角形周长的最小值为
D. 三棱锥的体积为定值
 

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  若复数满足，则 ______ ．

14.  已知向量，满足，且，则在上的投影向量的模为______ ．

15.  一个倒置的圆锥形容器，其轴截面为等边三角形，在其内放置两个球形物体，两球体均与圆锥形容器侧面相切，且两球形物体也相切，则小球的体积与大球的体积之比为______ ．

16.  在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，，则 ______ 填数值，的面积的取值范围是______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
在中，角，，的对边分别为，，已知B.
求角的大小；
若，的面积为，求的周长．

18.  本小题分
如图，正三棱柱的各条棱长均为，为的中点．
求证：直线平面；
求三棱锥的体积．

19.  本小题分
如图，在平行四边形中，，，，点，，分别在边，，上，且，，．
若，用，表示；
求的取值范围．

20.  本小题分
已知向量，，设函数，且函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
求的值及函数的值域；
设，，求．

21.  本小题分
如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的一个三等分点靠近．

经过，两点作平面，平面截正方体所得截面可能是边形，请根据的不同取值分别作出截面图形每种情况作一个代表类型，例如只需要画一一种，下面给了四幅图，可以不用完，如果不够请自行增加，保留作图痕迹；
若为的中点，求过点，，的截面的面积．

 

22.  本小题分
由于某地连晴高温，森林防灭火形势严峻，某部门安排了甲、乙两名森林防火护林员对该区域开展巡查现甲、乙两名森林防火护林员同时从地出发，乙沿着正西方向巡视走了后到达点，甲向正南方向巡视若干公里后到达点，又沿着南偏西的方向巡视走到了点，经过测量发现设，如图所示．
设甲护林员巡视走过的路程为，请用表示，并求的最大值；
为了强化应急应战准备工作，有关部门决定在区域范围内储备应急物资，求区域面积的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
复数在复平面内对应的点为．
故选：．
先由复数的运算求出复数的代数形式，再由复数的几何意义直接可得．
本题考查复数的运算和复数的几何意义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为，，，
所以，
若，则，
所以．
故选：．
由已知结合向量平行的坐标表示即可求解．
本题主要考查了向量平行的坐标表示，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，又因为为第三象限角，
所以，
则．
故选：．
利用诱导公式先求出，再根据角所在的象限，利用同角三角函数的基本关系即可求解．
本题考查诱导公式，同角三角函数关系，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：设塔基的边长为，塔台的边长为，正四棱台的高为，神殿的高为，
由已知，，，，，
所以，，，所以正四棱台的下底面积，上底面积，
所以正四棱台的体积，
因为神殿的形状为正四棱柱，底面边长为，高为，
所以神殿的体积，
所以该玛雅金字塔的体积，
故选：．
由棱台的体积公式求下部正四棱台的体积，由柱体体积公式求神殿的体积，相加可得该玛雅金字塔的体积．
本题考查空间几何体的体积的计算，属中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：有题意知，若满足条件的三角形有两个，则需要，
即，，即．
故选：．
由题意和三角形有解的结论得到不等关系，即可求解．
本题考查三角形的解的个数问题，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：设外接球半径为，
正六棱锥的底面边长为，侧棱长为，
正六棱锥的高，
则，，

故选：．
直接计算外接球的半径求解即可．
本题考查空间几何体的外接球的体积的计算，属中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
所以，
即，即，
所以，
所以



．
故选：．
将已知等式化简可求得，再利用两角和与差的正切公式及二倍角的正切公式求解即可．
本题主要考查两角和与差的三角函数，考查运算求解能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
整理得，
所以，
因为为的外心，，
所以，，
所以，，
所以．
故选：．
由已知结合余弦定理化简可求，然后结合外心性质及向量数量积的性质可求，，进而可求．
本题主要考查了余弦定理及向量数量积的性质的应用，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，因为梯形的上底和下底平行，而两条平行线唯一确定一个平面，所以梯形可确定一个平面，故A正确；
对于，由棱台的定义可知，棱台侧棱的延长线一定相交于一点，故B错误；
对于，，故C正确；
对于，若非零向量，，满足，
则，，
所以，，，不一定有，故D错误．
故选：．
由平面的基本性质及推论可判断，由棱台的定义可判断，由向量的线性运算法则可判断，由向量的数量积运算可判断．
本题主要考查平面的基本性质及推论，考查了棱台的定义，以及向量的线性运算，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：将代入可得：，又，．
由图可知，当时，，解得，
故
最小正周期，A正确；
当时，，
由正弦函数的图象可知，在区间上先增后减，B错误；
当时，，故是函数对称轴，C正确；
向左平移，函数变成，故D正确．
故选：．
由图象信息，找出和的值，再根据函数的图象与性质，图象变换的相关知识一一判断即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，属基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于，，，，，所以，A正确；
对于，，
，
，
，
，所以，B正确；
对于，，，两者不一定相等，C错误；
对于，，

，D正确．
故选：．
利用平面向量的模以及平面向量的数量积化简求解判断选项即可．
本题考查平面向量的数量积及模的求法，还考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，连接，，当为的中点时，，
因为，，，，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以与互相平分，
设与交于点，连接，
因为是棱的中点，所以，因为平面，平面，
所以平面，故A正确；

 对于，，又平面，与平面只能相交，
所以与平面只能相交，故B错；
对于，，把沿展开与在同一平面如图，
则当，，共线时，有最小值，
在直角梯形中，，，，，
则，所以，
所以，
 所以三角形周长的最小值为，故C正确；
 
对于，，因为定值，
因为，，所以，
因为平面，平面，所以平面，
故到平面的距离也为定值，所以为定值．所以D正确，
故选：．
对于，当为的中点时，可证得四边形为平行四边形，则与互相平分于点，连接可证得，再由线面平行的判定定理可得结论，对于，由题意可得与平面相交，对于，把沿展开与在同一平面如图，则当，，共线时，有最小值，从而可求得结果，对于，，为定值，可得结论．
本题考查空间几何体的性质，考查空间几何体的体积，考查线面平行的判断，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：设，
则，
，
则，即，即，解得，
故，．
故答案为：．
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，且，
，
，
在上的投影向量的模为．
故答案为：．
利用投影向量的定义求解．
本题主要考查了投影向量的定义，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意可截取圆锥轴截面，分别设大球和小球与轴截面的切点为，，圆锥顶点为，如下图所示：

易知，，设大球和小球的半径分别为，，
即，，所以可得，，
又因为，所以，
代入球的体积公式可得．
故答案为：．
截取圆锥轴截面并根据等边三角形性质即可得大球的半径和小球的半径满足，由球的体积公式即可得其体积比．
本题考查空间几何体的体积的计算，属中档题．
 

16.【答案】   

【解析】解：由题知，
即，
即，由正弦定理和余弦定理可得，
即，又，所以，
又是锐角三角形，，，，
即，，，
结合可得，
 又，，
所以，
因此，不妨设，
则，所以，当时，取最大值，
且，即，
故答案为：；
根据题意由三角恒等变换，利用正弦定理和余弦定理可得，代入，可得；由锐角三角形可知，再由面积表达式利用二次函数单调性即可求得面积范围是
本题考查正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属中档题．
 

17.【答案】解：因为B.
由正弦定理可得：，
则，由余弦定理可得：，
又，所以；
由三角形的面积可得：，
所以，
由余弦定理可得：，
解得，
所以三角形的周长为． 

【解析】利用正弦定理可得，然后再利用余弦定理即可求解；利用三角形的面积求出的值，然后利用余弦定理求出的值，进而可以求解．
本题考查了解三角形问题，涉及到正余弦定理的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】证明：连接交于点，连接，在正三棱柱中，为的中点，
为的中点，
是的中位线，
，
又平面，平面，
平面．
解：正三棱柱的各条棱长均为，
且，
，
则． 

【解析】根据线面平行的判定定理进行证明即可．
利用等积法结合三棱锥的体积公式进行计算即可．
本题主要考查线面平行的判定以及锥体体积的计算，利用线面平行的判定定理以及体积法进行转化是解决本题的关键，是中档题．
 

19.【答案】解：由题知，．
，
又，



，
又，则，
 

【解析】根据平面向量的加减法的三角形法则表示即可；
结合利用，表示出和，再表示出，根据的范围，即可得出结果．
本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，是中档题．
 

20.【答案】解：--




，
函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
，即，则，得，
此时，函数的值域为．
由，得，
得，即，
得，
即，得，，
得，，
即，，，
则． 

【解析】根据向量数量积公式，利用辅助角公式进行化简，利用对称轴关系求出周期和即可．
根据一元二次不等式求出不等式的解，根据集合交集定义进行运算即可．
本题主要考查三角函数的图像和性质，利用辅助角公式进行化简，利用三角函数的性质求出函数的值域，利用一元二次不等式的解法求出不等式的解是解决本题的关键，是中档题．
 

21.【答案】解：如图，其中为的中点，为的三等分点，靠近；
为棱上的四等分点，靠近，；
，为棱上的四等分点，靠近，；

如图，截面为六边形，为菱形减去两个三角形，根据三角形相似原理，其中每个三角形面积为菱形的，根据几何关系，菱形的两条对角线为，，其面积为，
所以六边形面积为．
 

【解析】找平行线作平行四边形，得到与棱的交点即可；
类比中的情况进行计算即可．
本题主要考查空间几何，属中档题．
 

22.【答案】解：由题意知：，
在中，由正弦定理：，
即：，在中，，，
由正弦定理：，
，，
，
且，又，
，，的最大值为，
当且仅当时取得等号．
由知：，，




，
，不妨设，
又，，，
，而在上单调递增，，
当且仅当时取得等号． 

【解析】结合题意，利用三角形内角和定理和正弦定理求出路程的表达式，然后利用三角恒等变换和正弦函数的图像与性质即可求解；根据题意，求出面积的表达式，令，根据二次函数的图像和性质即可求解．
本题考查正弦定理，三角函数恒等变换，属于中档题．