2022-2023学年重庆市主城区七校高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年重庆市主城区七校高一（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆市主城区七校高一（下）期末数学试卷第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知向量，若，则实数(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知是虚数单位，复数，则的虚部为(    )A.  B.  C.  D. 3.  某校高一年级个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了个班的比赛得分如下：，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数为(    )A.  B.  C.  D. 4.  据统计某班三个同学投篮，每一位投进的概率均为，用数字，，，表示投进，数字，，，，，表示投不进，由计算机产生如下组随机数：
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，．
由此估计三位同学中恰有一位投进的概率为(    )A.  B.  C.  D. 5.  已知平面、，直线，直线不在平面上，下列说法正确的是(    )A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则6.  已知向量，且在上的投影为，则(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知直四棱柱的高为，其底面四边形水平放置时的斜二测直观图为矩形，如图所示若，则该直四棱柱的体积为(    )
 A.  B.  C.  D. 8.  如图，某人匍匐在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线匀速移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小若，，，则移动瞄准过程中的最大值为仰角为直线与平面所成角(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  下列命题为真命题的是(    )A. 若，为共扼复数，则为实数
B. 若为虚数单位，为正整数，则
C. 复数在复平面内对应的点在第三象限
D. 若复数、满足，则10.  在中，，，分别为角，，的对边，下列叙述正确的是(    )A.
B. 若，则为等腰三角形
C. 若为锐角三角形，则
D. 若，则为钝角三角形11.  先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷的点数之和是”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”表示事件“至少出现一个奇数点”，则(    )A. 与互斥 B.  C.  D. 与相互独立12.  如图，在矩形中，，，为中点，现分别沿、将、翻折，使点、重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则(    )

 A. 平面
B. 三棱锥的体积为
C. 直线与直线所成角的余弦值为
D. 三棱锥外接球的半径为第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  用分层抽样的方法从某校高中学生中抽取一个容量为的样本，其中高二年级有学生人，抽取了人则该校高中学生总数是______ 人14.  在中，，，，点为外接圆的圆心，则 ______ ．15.  世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体的统一体积公式其中，，，分别为的高、上底面面积、中截面面积、下底面面积，我们也称为“万能求积公式”例如，已知球的半径为，可得该球的体积为；已知正四棱锥的底面边长为，高为，可得该正四棱锥的体积为类似地，运用该公式求解下列问题：如图，已知球的表面积为，若用距离球心都为的两个平行平面去截球，则夹在这两个平行平面之间的几何体的体积为______ ．16.  锐角的内角所对边分别是，，且，，若，变化时，存在最大值，则正数的取值范围______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
目前用外卖网点餐的人越来越多，现在对大众等餐所需时间情况进行随机调查，并将所得数据绘制成频率分布直方图其中等餐所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，，．
求频率分布直方图中的值．
利用频率分布直方图估计样本的平均数每组数据以该组数据所在区间的中点值作代表
18.  本小题分
已知的角、、的对边分别为、、，且．
求；
若的面积为，且_____，求．
请在；这两个条件中选择一个完成解答19.  本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，为的中点．
证明：平面
过，，三点的一个平面，截三棱柱得到一个截面，画出截面图，说明理由，并求截面周长．
20.  本小题分
如图，在中，，分别为，的中点，为与的交点，点在上，且设．
求的值；
若，求的值．
21.  本小题分
如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，为中点，为线段上的点，且．
求证：平面平面．
已知求直线和平面所成角的正弦值．
22.  本小题分
如图，在中，为边上的中点，，，．
求的余弦值；
点为上一点，且，过点的直线与边，不含端点分别交于，若，求的值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，，
则，解得．
故选：．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：
则的虚部为：．
故选：．
直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
 3.【答案】 【解析】解：将比分从小到大排序可得：，，，，，，，，，，
，即这组数据的第百分位数为．
故选：．
将比分从小到大排序，再结合百分位数的定义，即可求解．
本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：由题意知，组随机数中表示三位同学中恰有一位投进的数据为：，，，，，共个，
由此估计三位同学中恰有一位投进的概率为．
故选：．
由题意找出组随机数中表示三位同学中恰有一位投进的数据，计算所求的概率值．
本题考查了随机数表法应用问题，是基础题．
 5.【答案】 【解析】【分析】
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．
【解答】
解：对于，若，，则或与异面，故A错误；
对于，若，，则，又，则，故B正确；
对于，若，，则或，故C错误；
对于，若，，则或与相交，故D错误．
故选：．  6.【答案】 【解析】解：因为，
则在上的投影为
，
解得，
则．
故选：．
由投影的概念，得出在上的投影，得到关于的方程，解出以后，再根据余弦的二倍角公式求得即可．
本题考查向量投影的概念，余弦的二倍角公式，属基础题．
 7.【答案】 【解析】解：由直观图可得底面四边形的平面图形如下：

由，
可得，，，
则，
又直四棱柱的高为，
所以该直四棱柱的体积为．
故选：．
根据题意作出底面四边形的平面图形，可知其为以底边长为，高为的平行四边形，进而由棱柱的体积公式得解．
本题考查斜二测画法以及棱柱的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题．
 8.【答案】 【解析】解：，，，
，
过作，交于，连接，则，
设，则，
由，得，
在直角中，，
，
令，则函数在单调递减，
时，取得最大值为，
若在的延长线上，，
在直角中，，
，
令，则可得时，函数取得最大值，
则的最大值是．
故选：．
在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，过作，交于点，连接，利用锐角三角函数定义表示出，设，则，利用锐角三角函数定义表示出，利用勾股定理表示出，表示出，即可确定出的值．
此题考查了正弦定理，锐角三角函数定义，以及解三角形的实际应用，弄清题意是解本题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：设，则，故，故A正确；
因为，故B错误；
因为复数在复平面内对应点的坐标为，所以在第三象限，故C正确；
令，，满足，但，故D错误．
故选：．
根据共轭复数的概念可判断项；利用复数的乘方运算可判断项；利用复数的几何意义可判断项；利用特殊值法，即可求解．
本题考查了复数的综合应用，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：对于：在中，过点作于点，如图所示：

故AB，整理得，
即，故A正确；
对于：由于，
利用正弦定理可得，
整理得，
故或，
化简得或，
故为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于：由于为锐角三角形，故A，
所以，故，故C正确；
对于：由于，
整理得，
故，
由于，
则，故为钝角三角形，故D正确．
故选：．
直接利用三角函数的关系式的变换和三角函数的值以及正弦定理判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦定理，三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
 11.【答案】 【解析】解：选项，两次投掷的点数不同，仍有可能点数之和为，
于是与，可以同时发生，并不互斥，选项错误；
两次都不出现奇数点的事件记为，依题意，
于是，选项正确；
选项，当第一次投出奇数点，第二次投出偶数点，那么事件，同时发生了，
故，选项正确；
选项，第二次掷出的点数为偶数，有，
两次投掷的点数相同，显然是种情况，于是，
意为两次投出的点数相同且均为偶数，显然只有种情况，
于是，符合独立事件的定义，故D选项正确．
故选：．
选项可以根据互斥的定义判断，选项依据“正难则反”的思路计算，选项根据积事件的定义即可判断，选项可以通过判断是否成立．
本题考查事件的关系及概率求法，相互独立事件的判断，属基础题．
 12.【答案】 【解析】解：对于选项，翻折前，，
翻折后，则有，，
因为，、平面，
所以平面，故A对；
对于选项，在中，，边上的高为，
所以，故B错；
对于选项，在中，，
，
则
，
所以直线与直线所成角的余弦值为，故C对；
对于选项，因为，，
由余弦定理，可得，
则，
所以的外接圆的半径，
设三棱锥外接球的半径为，
因为平面，
所以，
所以，
即三棱锥外接球的半径为，故D对．
故选：．
利用线面垂直的判定定理可判断选项；利用锥体的体积公式可判断选项；利用空间向量法可求出直线与所成角的余弦值，可判断选项；求出的外接圆半径，结合平面，可求出三棱锥的外接球半径，可判断选项．
本题考查立体几何知识的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：设该校高中学生总人数为，则，
解得，所以该校高中学生总数为人．
故答案为：．
根据分层抽样原理列方程即可求出该校高中学生总人数．
本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题．
 14.【答案】 【解析】解：在中，，，，点为外接圆的圆心，
点为边的中点，
由平面向量的线性运算得，，
．
故答案为：．
由题知为边的中点，由平面向量的线性运算得，，再由平面向量的数量积运算即可求．
本题考查直角三角形的外心，平面向量的线性运算和数量积运算，属于中档题．
 15.【答案】 【解析】解：如图，设上下截面小圆圆心分别为，，上底面截面小圆上一点，连接，
球的表面积为，球的半径，，
又，，
截面小圆半径，
根据“万能求积公式”可得所求几何体的体积为：
．
故答案为：．
先由球的表面积得球的半径，再由勾股定理求出截面小圆的半径，最后代入“万能求积公式”计算即可得解．
本题考查球的表面积公式，新定义，属于中档题．
 16.【答案】 【解析】解：，，
，
即，
即，
即或，
得或舍，
，
是锐角三角形，
，即，即，
，
设，，
则，
其中，
，
，，
要使存在最大值，即，则，
则，即，
得．
即实数的取值范围是．
故答案为：．
利用正弦定理进行转化，求出，，的关系，利用辅助角公式进行化简，求出角的范围，利用存在最大值，建立不等式关系进行求解即可．
本题主要考查三角函数最值的应用，根据正弦定理进行转化求出，，的关系，利用辅助角公式进行转化，利用三角函数的最值性质进行求解是解决本题的关键，是中档题．
 17.【答案】解：由频率分布直方图可得，，
解得；
由频率分布直方图可得，平均数为：
． 【解析】由频率分布直方图的性质列出方程，求解即可；
利用频率分布直方图平均数的求解方法计算即可．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数的定义，属于基础题．
 18.【答案】解：由，可得，
由，可得；
选择，可得，即．
因为，所以，
所以，即，此时，即为直角三角形，
，，所以，，
所以，解得，所以；
选条件：，
由的面积为可得：，解得：．
由余弦定理得：，
解得：． 【解析】运用余弦定理，结合条件可得所求角；
根据所选条件，利用余弦定理和三角形面积公式即可求得结果．
本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 19.【答案】解：连接，设，连接，

是的中点，是的中点，，
平面，平面，平面；
作图过程：取中点，连接，，，则四边形即为截面图形，

 证明如下：
是的中点，是的中点，，
，，，，，四点共面，
四边形即为所求截面，此时四边形为等腰梯形，
，，，
四边形的高，
四边形的面积为． 【解析】设，根据三角形中位线性质可得，由线面平行的判定定理可证得结论；
由三角形中位线性质和平行关系的传递性可得，由此可确定截面即为四边形，知其为等腰梯形，根据长度关系计算即可得到截面面积．
本题考查立体几何性质推论，属于中档题．
 20.【答案】解：因为，分别是，中点，则有，，
因为，，三点共线，故可设，
又，
由平面向量基本定理，可得，解得；
同类似，可得，
由，可得，，
故


． 【解析】根据平面向量的线性运算和基本定理，可推得的值；
根据题设，以、为基底，将和分解为基底表示，再进行数量积运算．
本题考查平面向量基本定理和数量积运算，属中档题．
 21.【答案】解：证明：因为，为中点，，
所以，，
所以，
因为底面为直角梯形，，
所以四边形为平行四边形，
因为，
所以四边形为矩形，
所以，
因为为正三角形，为的中点，
所以，
又因为，
所以面，
因为，
所以面，
又面，
所以面面．
设与平面所成角为，设为点到平面的距离，则，
因为，，
所以，
因为，
所以面，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
由知，点到平面的距离等于点到的距离，
在中，，，，
所以，
所以，
又，
所以，
所以，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为． 【解析】根据题意可得，四边形为矩形，推出，由为正三角形，为的中点，得，由线面垂直的判定定理可得面，则面，由面面垂直的判定定理可得答案．
设与平面所成角为，设为点到平面的距离，则，根据题意可得面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，由可得点到平面的距离等于点到的距离，计算和，即可得出答案．
本题考查直线与平面的位置关系，线面所成的角，解题中需要理清思路，属于中档题．
 22.【答案】解：为边上的中点，，
，即，
，；
设，，，，
，，三点共线，，
，
由平面向量基本定理可得：，，
且，
，即，化简得：，
由解得，，，
． 【解析】由平面向量的线性运算和数量积的定义即可求；
由得，由，，三点共线和平面向量的线性运算得，再由平面向量基本定理可得，再由得，从而求出，的值，由三角形的面积公式即可求得．
本题考查平面向量的线性运算和平面向量的基本定理，属于中档题．