2022-2023学年内蒙古通辽市科中旗实验高级中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年内蒙古通辽市科中旗实验高级中学高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本题共8小题，共40分）

1.  若复数，则在复平面内对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.  如果，，，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如果、是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知复数满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在中，、、分别是角、、的对边，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在四边形中，，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  正四面体的棱长为，则它的内切球与外接球的表面积之比为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  ，，是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(    )

A. 若直线，异面，，异面，则，异面
B. 若直线，相交，，相交，则，相交
C. 若，则，与所成的角相等
D. 若，，则垂直

二、多选题（本题共4小题，共20分）

9.  设，是两条不同的直线，是平面，，不在内，下列结论中正确的是(    )

A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则

10.  设复数，则(    )

A. 的虚部为 B.  C.  D.

11.  如图，点，，，，是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足平面的有(    )

A.  B.
C.  D.

12.  已知点，，向量，则(    )

A. 时与方向相同 B. ，时与方向相同
C. 时与方向相反 D. ，时与方向相反

三、填空题（本题共4小题，共20分）

13.  在中，，，分别是角，，所对的边，，，若有两解，请写出一个满足题意的的值：______ ．

14.  计算 ______ ．

15.  棱台的上下底面面积分别为和，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是______ ．

16.  在长方体中，，，点、、分别是、、的中点，则异面直线与所成的角是______ ．

四、解答题（本题共6小题，共70分）

17.  已知非零向量和不共线．
若，，，求证：，，三点共线；
若向量与向量平行，求实数的值．

18.  的内角，，的对边分别为，，，若．
求；
若，的面积为，
求；
边上一点，记面积为，面积为，当达到最小值时，求的长．

19.  已知复数，且为纯虚数．
求复数；
若，求复数以及模．

20.  如图，已知多面体的底面是边长为的菱形，，底面，，是的中点，且．
Ⅰ求证；
Ⅱ求三棱锥的体积．

21.  已知正四棱锥的侧棱长为和底面边长为．
求正四棱锥的体积和表面积；
若点，，分别在侧棱，，上，且，求三棱锥的体积．

22.  如图所示，已知在平行四边形中，，求：
，满足什么条件时，与垂直；
当，满足什么条件时，

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为复数，所以其对应的点为，
所以在复平面内对应的点位于第四象限．
故选：．
直接由给出的复数得到对应点的坐标，则答案可求．
本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础的概念题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，，
则

故选：．
直接利用向量数量积的运算性质求解即可
本题主要考查了向量数量积的运算性质的简单应用，属于基础试题．
 

3.【答案】 

【解析】解：不正确，、的方向不确定．
不正确，当、 垂直时，．
不正确，尽管、的长度都是，但它们的方向不确定．
由于单位向量的模都等于，但它们的方向不确定，故一定有，故D正确．
故选 D．
利用单位向量的定义，单位向量的模都等于，但它们的方向不确定，从而得到答案．
本题考查单位向量的定义，向量的模，注意单位向量的长度都是，但方向是任意的，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：设，，，
因为，
所以，
所以，解得，，
所以．
故选：．
首先设复数，再根据复数模的公式，以及复数相等，即可求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
即，
因为，所以，
因为，所以．
故选：．
由，利用正弦定理将边转化为角，利用三角恒等变换求解．
本题考查正弦定理相关知识，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为，，
则，解得．
故选：．
先利用向量平行充要条件求得的值，再根据题意舍去增根，进而求得的值．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：依题意，正四面体的内切球与外接球球心重合，记为，
设正的中心为，连接，，，

显然点在上，设正四面体的内切球与外接球半径分别为，，
即，，
而，
则，
在中，，
解得，，
所以它的内切球与外接球的表面积之比为．
故选：．
根据正四面体的结构特征，求出内切球半径与外接球半径即可作答．
本题考查正四面体的内切球与外接球问题，属中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，

对于，在正方体中，与异面，与异面，，
与异面，与异面，与相交于点，
与异面，与异面，与异面．
若直线，异面，，异面，则，的位置关系可能是：平行、相交或异面，故A错误；
对于，在正方体中，与相交于点，与相交于点，，
与相交于点，与相交于点，与相交于点，
与相交于点，与相交于点，与异面．
若直线，相交，，相交，则，的位置关系可能是：平行、相交或异面，故B错误；
对于，由异面直线所成角的定义可知，C正确；
对于，在正方体中，，，，
，，与相交于点，
，，与异面．
若，，则与的位置关系可能是：平行、相交或异面，故D错误．
故选：．
由题意画出图形，利用空间中直线与直线的位置关系进行分析判断即可．
本题考查空间中直线与直线位置关系的判定，考查数形结合思想，是中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：选项，由于，所以存在直线且，由于，，所以，所以，所以选项正确；
选项，垂直于同一个平面的两条直线平行，所以选项正确；
选项，若，，则存在，，由于，所以，所以选项正确；
选项，若，，则可能与平行，选项错误．
故选：．
根据线线平行与垂直、线面平行与垂直的知识对选项进行分析，从而确定正确选项．
本题考查了线线平行与垂直、线面平行与垂直的判断，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：因为，
所以的虚部为，对；
，错；
，对；
，错．
故选：．
根据复数的运算化简，再结合复数的虚部，共轭复数的概念及复数的运算求解判断各选项即可．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于选项，由下图可知，平面，平面，所以平面，A正确．

对于选项，设是的中点，由下图，结合正方体的性质可知，，，，所以，，，，，六点共面，B错误．

对于选项，如下图所示，根据正方体的性质可知，由于平面，所以平面，所以C错误．
 
对于选项，设，由于四边形是矩形，所以是中点，由于是中点，所以，
由于平面，平面，所以平面，D正确．

故选：．
结合线面的位置关系以及线面平行的判定定理确定正确选项．
本题主要考查空间中直线和平面的位置关系，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意可知，，
又，
则，解得，
当，时，，，则，与方向相同．
当，时，，则，
所以与方向相反，
故选：．
根据向量共线的坐标运算求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
 

13.【答案】答案不唯一 

【解析】解：，，
在中，由正弦定理得，即，
，
又有两解，则，
，即，
故可以取答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
利用正弦定理得，结合题意可得，即，求出的范围，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
利用特殊角的三角函数值及复数的四则运算法则求解计算．
本题主要考查特殊角的三角函数值及复数的四则运算法则，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：不妨设原棱锥为四棱锥，
设棱台的高为，截得棱台的原棱锥的高为，
如图所示，即，，

因为四边形与四边形相似，且上下底面面积分别为和，
故，
由∽，故，故，
换作其他棱台答案也一样，
这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比为．
故答案为：．
由面积之比得到边长之比，结合相似得到高的比．
本题主要考查了棱台和棱锥的结构特征，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：以为坐标原点，，，方向分别为，，轴正方向建立坐标系．
则，，，．
则，
，
所以异面直线与所成角为
故答案为：
建立空间直角坐标系，先相关点的坐标，再异面直线与方向向量的坐标，代入向量夹角公式进行运算，即可得到答案．
本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，在解答方法上主要考查用向量法求异面直线所成的角．
 

17.【答案】证明：，
又为非零向量，
与共线，
即，，三点共线；
解：与平行，且两向量都为非零向量，
存在实数使得成立，
即，
和不共线，
，
． 

【解析】由向量的运算，证明与共线即可；
由题意可得：存在实数使得成立，即，即，然后求解即可．
本题考查了向量的运算，重点考查了共线向量，属基础题．
 

18.【答案】解：若，则，
由于，可得，
由于，可得；
由，的面积为，可得，
解得，
由余弦定理可得，
解得；
由，
可得，
当且仅当时取得最小值．
由，，解得，
由，
可得． 

【解析】由正弦定理和同角的基本关系式计算可得所求角；
由三角形的面积公式和余弦定理可得所求值；
由基本不等式可得时，取得最小值，再由余弦定理可得所求值．
本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、面积公式，以及基本不等式的运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：，，
又为纯虚数，且，解得，；
，． 

【解析】根据复数分类可解决此问题；
根据复数除法运算法则先求得复数，然后可求得．
本题考查复数分类、复数运算，考查数学运算能力，属于基础题．
 

20.【答案】解：Ⅰ由题意可知，底面是边长为的菱形，
，所以为等边三角形，因为是的中点，
所以，又，所以，
因为底面，
平面，故FA，
因为平面，
平面，平面，，
所以底面，
平面，故A．
Ⅱ由Ⅰ知，，底面，
则点到平面的距离即，
又因为为边长为等边三角形，
所以，
因为底面，，所以为直角梯形，
所以，
所以．
即三棱锥的体积为． 

【解析】Ⅰ根据条件证明底面即可；
Ⅱ先求出点到平面的距离，再根据解题即可．
本题考查了空间中的垂直关系，三棱锥体积的计算，属于中档题．
 

21.【答案】解：根据题意可知四边形为正方形，
设为底面中心，则为该锥体的高，
又易知，，，
正四棱锥的体积为，
又侧面等腰三角形的高为，
正四棱锥的表面积为；
，，
，
，
，，
即． 

【解析】根据锥体的体积公式，表面积公式，计算即可求解；
根据题意，化归转化，即可求解．
本题考查正四棱锥的体积与表面积的求解，三棱锥的体积的求解，化归转化思想，属中档题．
 

22.【答案】解：若与垂直，即平行四边形的两条对用线互相垂直，则只需满足四边形为菱形，所以满足即可．
根据向量的线性运算法则，可得表示平行四边形的两条对角钱长度相等，只需使得平行四边形为矩形，所以即可． 

【解析】由与垂直，只需满足四边形为菱形，即可求解；
由，只需使得平行四边形为矩形，即可求解．
本题考查了平面向量数量积的性质，属于基础题．