2022-2023学年浙江省金华市东阳外国语学校、东阳中学高一（下）月考数学试卷（5月份）（含解析）

2022-2023学年浙江省金华市东阳外国语学校、东阳中学高一（下）月考数学试卷（5月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  设集合，，则(    )

A.  B.
C.  D.

2.  某校高一年级有名男生，名女生，学校想了解高一学生对文史类课程的看法，用分层抽样的方式，从高一年级学生中抽取若干人进行访谈已知在女生中抽取了人，则在男生中抽取了(    )

A. 人 B. 人 C. 人 D. 人

3.  已知的内角，，的对边分别为，，，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知不重合的直线，和平面，，，，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5.  若，均为正数，且，则的最小值等于(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在高为的直三棱柱容器中，，现往该容器内灌进一些水，水深为，然后固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为如图，则容器的高为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  某校高三年级在迎新春趣味运动会上设置了一个三分线外定点投篮比赛项目，规则是：每人投球次，投中一次得分，没投中得分，且连续投中次额外加分，连续投中次额外加分，连续投中次额外加分，全部投中额外加分某同学投篮命中概率为，则该同学投篮比赛得分的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在中，点满足，且所在直线交边于点，有，，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知复数为虚数单位则下列结论正确的是(    )

A.  B. 的实部为
C. 的共轭复数是 D. 在复平面内对应的点在第二象限

10.  已知函数的图象关于直线对称，那么(    )

A. 函数为奇函数
B. 函数在上单调递增
C. 若，则的最小值为
D. 函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象

11.  正方体的棱长为，在棱上运动不含端点，则(    )

A. 侧面中不存在直线与垂直
B. 平面与平面所成二面角为
C. 运动到的中点时，上存在点，使平面
D. 为中点时，三棱锥体积不变
 

12.  已知，分别是函数和的零点，则(    )

A.  B.  C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知点是角终边上的一点，则      ，      ．

14.  已知，，则向量在方向上的投影向量的坐标为______ ．

15.  如图，在四面体中，和都是等腰直角三角形，，，平面平面，则四面体外接球的表面积为______．

16.  如图所示，有一块三角形的空地，，千米，千米，则 ______ ；现要在空地中修建一个三角形的绿化区域，其三个顶点为，，，其中，为边上的点，若使，则的最小值为______ 千米．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分

已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点

求的值；

若角满足，求的值．

18.  本小题分
在中，，，，是边上一点，，设，．
试用，表示；
求的值．

19.  本小题分

的内角，，的对边分别为，，已知．

若，，求的面积；

若，求．

20.  本小题分
我校近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，今年月我校进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取名同学将其成绩百分制，均为整数分成六组：第组，第组，第组，第组，第组，第组，得到频率分布直方图如图，观察图形中的信息，回答下列问题：
利用组中值估计本次考试成绩的平均数；
从频率分布直方图中，估计第百分位数是多少；
已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于分时为优秀等级，若从第组和第组两组学生中，随机抽取人，求所抽取的人中至少人成绩优秀的概率．

21.  本小题分
如图，在四棱台中，底面是边长为的菱形，，平面平面，点，分别为，的中点，，，均为锐角．
求证：；
若异面直线与所成角正弦值为，四棱锥的体积为，求二面角的平面角的余弦值．

22.  本小题分
若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”定义在上的奇函数，当时，．
求的解析式；
求函数在内的“倒域区间”；
若函数在定义域内所有“倒域区间”上的图象作为函数的图象，是否存在实数，使集合恰含有个元素．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，，
所以．
故选：．
由一元二次不等式的解法以及对数函数的单调性解不等式，再求并集．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题．
根据题意求出抽样比例，再计算应抽取的高一男生人数．

【解答】

解：由题意计算抽样比例为，
所以应抽取高一男生为人．
故选：．

3.【答案】 

【解析】解：已知等式利用正弦定理化简得：，即，
，
，
为三角形的内角，
．
故选：．
已知等式右边利用正弦定理化简，整理得到关系式，再利用余弦定理表示出，将得出的关系式代入求出的值，即可确定出的度数．
此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、属于基础题．
根据面面垂直的性质可知，两平面的法向量垂直则两平面垂直，最后根据“若为真命题且为真命题，则命题是命题的充要条件”即可得到结论．
【解答】

解：，，
或，
又，
，
反之，若，则也成立，
故选C．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为，均为正数，且，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以，的最小值等于．
故选：．
根据基本不等式“”的用法求解即可．
本题考查了“乘法”与基本不等式，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：在图中，
在图中，，
，．
故选：．
利用两个图形装水的体积相等即可求解．
本题主要考查等体积法的应用，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：该同学投篮比赛得分的情况有为：
第一、三、五次分别投中，第二、四次都没有投中，
概率为；
第一、二次连续两次投中，其它三次都没有投中，
概率为：；
第二、三次连续两次投中，其它三次都没有投中，
概率为：；
第三、四次连续两次投中，其它三次都没有投中，
概率为：；
第四、五次连续两次投中，其它三次都没有投中，
概率为：．
该同学投篮比赛得分的概率为：
．
故选：．
该同学投篮比赛得分的情况有为：第一、三、五次分别投中，第二、四次都没有投中，第一、二次连续两次投中，其它三次都没有投中，第二、三次连续两次投中，其它三次都没有投中，第三、四次连续两次投中，其它三次都没有投中，第四、五次连续两次投中，其它三次都没有投中，由此能求出该同学投篮比赛得分的概率．
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，为的平分线，
所在直线交边于点且，

为的平分线，点为的内心，
由得，
由题意作图，如图所示：，，分别为圆与三角形的三边，，的切点，

由三角形内切圆的几何性质知：，，，
，
又，，
故．
故选：．
经分析，、分别是所在角的角平分线，得到为三角形内向，根据内切圆的性质，结合向量的数量积运算，即可求得结果．
本题考查向量的数量积运算与三角形内切圆性质的综合应用，属中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，故A正确；
的实部为，故B正确；
，故C错误；
在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限，故D错误．
故选：．
利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一分析四个选项得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】

利用的图象关于直线对称，即可求出的值，从而得出的解析式，再利用三角函数的性质逐一判断四个选项即可．
本题考查了三角函数的图象与性质，属于中档题．

【解答】

解：因为的图象关于直线对称，
所以，
得，因为，所以，
所以，
对于：，所以为奇函数成立，故选项A正确；
对于：时，，函数在上不是单调函数；故选项B不正确；
对于：因为，，又因为，所以的最小值为半个周期，即，故选项C正确；
对于：函数的图象向右平移个单位长度得到，故选项D不正确；
故选：．

11.【答案】 

【解析】解：对于选项，在棱上运动时，平面，连接，，
则平面，
又平面，
，A错误．

对于选项，平面与平面所成二面角即为，B正确．
对于选项，，面，平面，
面，

当是与平面的交点时，平面，C正确．
对于选项，连接与交于，连接，

则在中，，
又平面，平面，
平面，
到平面的距离为定值．则三棱锥体积不变，D正确．
故选：．
由线垂直于面，则线垂直于面内的任意一条线，可判断选项，由二面角的定义找到平面与平面所成二面角，可判断选项，由线面平行的判定定理可以找到点，可判断选项，由线面平行的判定定理可得到平面的距离为定值，可判断选项．
本题考查立体几何知识的综合运用，考查空间想象能力，推理论证能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意，已知，分别是函数和的零点，
函数的零点为函数与的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为，
函数的零点为函数与的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为，
又函数与函数互为反函数，其图象关于直线对称，
而直线也关于直线对称，且直线与直线的交点坐标为，
则点和也关于点对称，
，，故A，B正确，
，，
，
，
易知函数在上单调递增，
，故C错误，
，而，，
，又，
，
，而，
，故D正确，
故选：．
把函数的零点转化为两个函数图象交点的横坐标，再结合反函数图象的特征得到点关于点和关于点对称，可判断，根据零点判定定理求出，所以，结合函数在上单调递增可判断，根据零点判定定理可得，所以，结合二次函数的性质可判断．
本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了函数零点判定定理的应用，同时考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．
 

13.【答案】

【解析】解：点是角终边上的一点，
，
，
故答案为：，．
利用任意角的三角函数的定义求出，把所求式子分子分母同时除以，转化为关于的关系式，即可算出结果．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义，以及同角三角函数间的基本关系，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
则，，
故，，
向量在方向上的投影向量的坐标为．
故答案为：．
根据已知条件，结合投影向量的定义，即可求解．
本题主要考查投影向量的定义，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意设外接球的球心为，
如图所示：

由于，和都是等腰直角三角形，，，平面平面，
所以，根据直角三角形中的关系，
确定外接球的球心为，
故三棱锥的外接球的半径为，
所以，
故，
所以．
故答案为：．
首先根据三棱锥体确定球的球心位置，进一步求出球的半径，最后求出球的表面积．
本题考查的知识要点：三棱锥和外接球的关系，球的半径的求法，球的表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

16.【答案】   

【解析】解：因为，
，
在中，由余弦定理得，
，
根据正弦定理有，可得，
因为，所以，，
设，其中，则，，
在中，由正弦定理，可得，
在中，由正弦定理，可得，
则，
令，则，
则，
易知分母，且是一个单调递增的函数，
则是一个单调递减的函数，
当时，有最小值，．
故答案为：．
利用余弦定理求得，然后利用正弦定理可求得，即可求得的大小，设，其中，利用正弦定理可求得、关于的表达式，然后利用三角恒等变换以及换元法即可求解．
本题主要考查解三角形，考查正余弦定理的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：
角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点
，，，
；

由，，，
得，，
又由，
得
，
则

，
或

．
的值为或． 

【解析】本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了三角函数的诱导公式的应用，考查了两角差的余弦函数公式，是中档题．
由已知条件即可求，则的值可得；
由已知条件即可求，，，再由，代值计算得答案．
 

18.【答案】解：是边上一点，，
，
又，，
得，
．
，，，
，
则． 

【解析】根据题意可得、，结合平面向量的线性运算即可求解；
根据平面向量数量积的定义求出，结合数量积的运算律计算即可求解．
本题在特殊的三角形中求向量的数量积．着重考查了平面向量的线性运算法则、向量的数量积及其运算性质等知识，属于中档题．
 

19.【答案】解：中，，，，
，
舍去，，，
．
，
即，
化简得，
即，
，
，
，
． 

【解析】本题主要考查解三角形中余弦定理的应用，三角恒等变换中辅助角公式的应用，属于中档题．
根据题意，，通过余弦定理，即可求得，，进而通过三角形面积公式；
通过三角形三角和为，将代入，根据的范围，即可求得．
 

20.【答案】解：本次考试成绩的平均数为．
因为前组频率之和为，前组频率之和为，
所以第百分位数在第组中，设为，
则，解得．
第百分位数是．
第五组与第六组学生总人数为，
其中第五组有人，记为、、、，第六组有人，记为、、，
从中随机抽取人的情况有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、共有种，其中至少人成绩优秀的情况有种，
所抽取的人中至少人成绩优秀的概率为． 

【解析】根据频率分布直方图中平均数计算方法计算即可；根据频率分布直方图，及第百分位数的概念计算即可；
计算出第五组与第六组人数，进行编号，列出抽取人的所有情况，然后求得概率．
本题考查根据频率分布直方图求平均数，百分位数，属于基础题．
 

21.【答案】解：证明：底面是菱形，
，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
又平面平面，
；
由知面，又平面，
平面平面，
作交线，垂足为，

平面平面，平面，
则面，又平面，，
再作，垂足为，面，面，，
面，又面，则，
为二面角的平面角，
设点到平面的距离为，
则，
解得，
平面，到底面的距离为，
作，平面平面，平面平面，
平面，平面，，
为锐角，，，
，为等边三角形，，，
，，，
，，
二面角的平面角的余弦值为． 

【解析】推导出，平面，由此能证明；
由面，得平面平面，作交线，垂足为，推导出，作，则面，为二面角的平面角，求出到底面的距离为，作，则，由此能求出二面角的平面角的余弦值．
本题考查线面垂直、线线垂直的判定与性质、二面角的定义及余弦值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

22.【答案】解：当时，
，
则；
设，
在上递减，
；
整理得
解得．
在内的“倒域区间”为；
在时，函数值的取值区间恰为，其中，、，

、同号．只考虑或，
当时，根据的图象知，最大值为，，，
，
由知在内的“倒域区间”为；
当时，最小值为，，，
，
同理知在内的“倒域区间”为．

依题意：抛物线与函数的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．
因此，应当使方程，在内恰有一个实数根，
并且使方程，在内恰有一个实数根，
由方程，在内恰有一根知；
由方程在内恰有一根知，
综上：． 

【解析】本题考查了函数的性质，运用求解数学问题，考查了分类思想，方程的运用，难度大，属于难题．
运用奇偶性得出；
得出方程组，即可解答；
，利用方程思想求解应当使方程，在内恰有一个实数根，并且使方程，在内恰有一个实数，解答即可．