2022-2023学年山东省淄博实验中学、齐盛高级中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省淄博实验中学、齐盛高级中学高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知复数其中是虚数单位是纯虚数，则实数的值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  (    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知向量，不共线，且，，若与共线反向，则实数的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

4.  下列说法中，正确的是(    )

A. 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的几何体是圆锥
B. 用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面
C. 用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
D. 以正方体的顶点为顶点可以构成正四棱锥

5.  已知向量、不共线，若，，，则四边形是(    )

A. 梯形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 菱形

6.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时海里，在处看灯塔在船的北偏东的方向上小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，则船航行到处时与灯塔之间的距离为(    )

A. 海里
B. 海里
C. 海里
D. 海里

8.  易经是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是易经中记载的几何图形八卦图图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田已知正八边形的边长为，点是正八边形边上的一点，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知复数，则下列结论中正确的是(    )

A. 对应的点位于第一象限 B. 的虚部为
C.  D.

10.  下列说法中正确的是(    )

A. 向量，能作为平面内所有向量的一组基底
B. 已知，为单位向量，若，则在上的投影向量为
C. 若，则与垂直的单位向量坐标为或
D. 若，则与的夹角是钝角

11.  已知函数的图象为，则下列结论正确的是(    )

A. 图象关于直线对称
B. 函数在单调递减
C. 为偶函数
D. 若方程在区间有两个实根，则

12.  已知中，，，，在上，为的角平分线，为中点，下列结论正确的是(    )

A.
B. 内切圆半径为
C. 外接圆半径为
D. 在的外接圆上，则的最大值为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  如图，若斜边长为的等腰直角与重合是水平放置的的直观图，则的面积为______ ．

14.  若，则 ______ ．

15.  若非零向量满足，则夹角的余弦值为______ ．

16.  已知在中，为边上的中线，且，，则的最小值为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知向量，．
求；
已知，且，求向量与向量的夹角．

18.  本小题分
已知，为锐角，．
求的值；
求的值．

19.  本小题分
从；，这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，然后解答补充完整的题目．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
已知的三个内角，，的对边分别为，，，且_____．
求角的大小；
若，求的取值范围．

20.  本小题分
已知梯形中，，，为的中点，为与的交点，．
求和的值；
若，，，求与所成角的余弦值．

21.  本小题分
函数在一个周期内的图象如图所示，与为该图象上两点，且函数的一个零点为．
求的解析式；
将的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到的图象令，求的最大值，若取得最大值时的值为，求．

22.  本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期；
常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；
若函数在的最大值为，求实数的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为为纯虚数，
则，解得，
所以实数的值是．
故选：．
利用复数的除法化简复数，根据复数的概念可得出关于的等式与不等式，解之即可．
本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
利用诱导公式和特殊角的三角函数值计算作答．
本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：据题意向量，不共线，且，，
若与共线反向，则存在使得，
即，
，不共线
，
，
故选：．
本题考查向量反向共线时，根据系数的要求得到等式，再利用平面向量基本定理，列出方程组即可求解．
 

4.【答案】 

【解析】解：对于，以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周所得的几何体是圆锥正确；故A错误；
对于，用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面正确，故B正确；
对于，用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故C错误；
对于，正四棱锥的顶点在底面的投影为正方形的中心，正方体的顶点中没有这样的点，故D错误．
故选：．
根据圆锥、球体、正方体以及正四棱锥的结构特征逐一判断各选项．
本题主要考查旋转体，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量的线性运算，向量共线，属于基础题．
由向量的加减运算可得，可得，即直线与平行，而向量与不共线，即直线与不平行，即可得答案．

【解答】

解：根据题意，向量、不共线，
若，，，
则向量，
分析可得：，即直线与平行，
而向量与不共线，即直线与不平行，
故四边形是梯形．
故选A．

6.【答案】 

【解析】解：已知，则
，
故选：．
由题意利用诱导公式、二倍角公式，求得的值．
本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意可知海里，，，
所以，
所以，，所以，
在中，由正弦定理可得，
即，解得海里，
故选：．
由题意可知的角和边，再由正弦定理可得的值．
本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：过点作直线的垂线，垂足为点，，

如图，由平面向量数量积的几何意义可知，等于的模与在方向上的投影的乘积，
当点在线段上时，在方向上的投影取最小值，
此时，，，，
故的最小值为．
故选：．
过点作直线的垂线，垂足为点，计算出，分析可知当点在线段上时，在方向上的投影取最小值，结合平面向量数量积的几何意义求得结果．
本题考查对平面向量数量积的理解与运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
对应的点位于第一象限，A正确；
的虚部为，B错误；
，C正确；
，D正确．
故选：．
利用复数的乘除运算、模运算，以及复数的几何意义求解，再逐项判断作答．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，因为，则不能作为平面内的基底，A错误；
对于，在上的投影向量为，B正确；
对于，设与垂直的单位向量坐标为，，
则有，解得或，
所以与垂直的单位向量坐标为或，C正确；
对于，当时，，即当时，与的夹角可能是，D错误．
故选：．
利用共线向量的坐标表示判断；求出投影向量判断；利用向量垂直的坐标表示求出单位向量判断；举例说明判断作答．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：
，
对于，，图象关于直线不对称，故A错误；
对于，当时，，而正弦函数在上单调递增，
因此函数在单调递增，故B错误；
对于，，函数为偶函数，故C正确；
对于，当时，，则当时，是递增的，函数值从递增到，
当时，是递减的，函数值从递减到，
方程在区间有两个实根，即函数在上的图象与直线有两个公共点，
，故D正确．
故选：．
利用三角恒等变换化简函数，再结合正弦函数的性质逐项验证判断作答．
本题主要考查三角恒等变换，正弦型函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，因为为的角平分线，，，
由等面积法得，
整理得，解得，故A正确；
对于，在中，由余弦定理得，
因为，所以．
所以，
设内切圆半径为，，则，故B正确；
对于，，，由正弦定理得，
外接圆半径为，故C错误；
对于，在的外接圆上，如图：

则，，，在中，由余弦定理得，
所以在中，记，，由正弦定理得，，，
所以
，其中，
又因为，当时，取最大值，最大值为，故D正确．
故选：．
对于，用等面积法，求进行验证；对于，由余弦定理算出，计算面积，再求得内切圆半径为进行判断；对于，由正弦定理求外接圆半径即可；对于，用正弦定理表示，，结合三角函数性质验证结果．
本题主要考查解三角形，正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：在直观图中，为等腰直角三角形，斜边，得，，
则原图形如图，有，，

所以的面积．
故答案为：．
根据给定的直观图作出原图，再计算面积作答．
本题主要考查平面图形的直观图，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为，
所以．
故答案为：．
根据给定条件，利用二倍角的正余弦公式，结合齐次式法求值作答．
本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由，，得，则，
因此，
所以夹角的余弦值为．
故答案为：．
利用给定等式，结合数量积的运算律求出的表达式，再利用向量夹角公式计算作答．
本题主要考查向量的夹角公式，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：依题意，，，如图，

在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
而，即，
两式相加得，于是，当且仅当时取等号，
在中，，
所以的最小值为．
故答案为：．
在和中，分别用余弦定理建立关系，并求得，再在中利用余弦定理结合基本不等式求解作答．
本题主要考查余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：，
所以，
所以；
由题知，，，，
所以，，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以向量与向量的夹角为． 

【解析】根据向量的坐标运算求向量的模即可；
由向量的模，根据向量的数量积公式转化求向量的夹角即可．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
 

18.【答案】解：；
由，得，
因为，为锐角，所以，则，
又因，所以，
所以，
所以，
则． 

【解析】根据二倍角的余弦公式结合商数关系及化弦为切即可得解；
先利用二倍角的正切公式求出，再根据平方关系及商数关系求出，再根据利用两角差的正切公式即可得解．
本题考查同角三角函数的基本关系以及和差角公式的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：选，由及余弦定理，
得，
即，由正弦定理得：，
则，
因为，即，则，又，
所以．
选，由及正弦定理，得，
而，即，于是，即，
又，则，有，
所以．
由知，，由余弦定理，得，
则，
当且仅当时取等号，因此，而，
所以的取值范围是． 

【解析】选，利用余弦定理可得，再利用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式及三角形内角和定理即可得解；选，利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解．
由的结论，借助余弦定理建立关系，再利用均值不等式求解作答．
本题考查解三角形问题，正弦定理与余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属中档题．
 

20.【答案】解：梯形中，，，为的中点，
则，
又由，可得，
是与所成的角，设向量与所成的角为，
，则，
，则，
则，
因为，
，
所以，
所以与所成角的余弦值为． 

【解析】由向量的运算得出，进而得出和的值；
由向量的运算得出，进而得出，再由数量积公式求解即可．
本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：观察图象，该图象过点与，
则为函数图象的对称轴，
而为函数的一个零点，
因此函数的周期，，
由，得，即，
而，
则，
于是，由，得，解得，
所以函数的解析式为．
由知，的图象向左平移个单位长度得的图象，
将得到的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到的图象，则，
因此
，
当，即时，有最大值，
此时． 

【解析】求出对称轴结合零点求出及，再由点求出，写出函数解析式作答．
根据图象平移得解析式，利用三角恒等变换化简，即可得最大值及对应的自变量，再求出对应正切即可．
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：依题意，
，
所以函数的最小正周期．
由知，，，当，则，
而正弦函数在上单调递增，依题意，，
因此，解得，则有，
所以，即的取值范围是
由知，，
令，则，
于是，
由，得，则，
当，即时，则当时，，
由，解得，不符合要求；
当，即时，，由，解得或，于是；
当，即时，则当时，，由，解得，于是，
所以实数是或． 

【解析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再求出最小正周期作答．
根据给定的区间，求出函数相位所在区间，再借助正弦函数的单调增区间列式求解作答．
化函数为，利用换元法结合二次函数性质求解作答．
本题主要考查三角函数的最值，正弦函数的图象与性质，三角恒等变换，考查运算求解能力，属于中档题．