2022-2023学年广西河池八校高一（下）第二次联考数学试卷（5月份）（含解析）

2022-2023学年广西河池八校高一（下）第二次联考数学试卷（5月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知复数，则在复平面内对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.  某企业为了解员工身体健康情况，采用分层抽样的方法从该企业的营销部门和研发部门抽取部分员工体检，已知该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是：，且被抽到参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多，则参加体检的人数是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  设是定义域为的奇函数，且，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知，，，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知一组正数，，，的方差为，则数据，，，的平均数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的一个对称中心可以为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  用与球心距离为的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  苏轼是北宋著名的文学家、书法家、画家，在诗词文书画等方面都有很深的造诣蝶恋花春景是苏轼一首描写春景的清新婉丽之作，表达了对春光流逝的叹息词的下阙写到：“墙里秋千墙外道墙外行人，墙里佳人笑笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼”假如将墙看作一个平面，秋千绳、秋千板、墙外的道路看作直线，那么道路和墙面平行，当秋千静止时，秋千板与墙面垂直，秋千绳与墙面平行在佳人荡秋千的过程中，下列说法中正确的是(    )

A. 秋千绳与墙面始终垂直 B. 秋千绳与道路始终垂直
C. 秋千板与墙面始终垂直 D. 秋千板与道路始终垂直

10.  已知向量和实数，下列说法正确的是(    )

A. 若，则或
B. 若且，则当时，一定有与共线
C. 若
D. 若且，则

11.  如图，已知在正方体中，和分别为和的中点，则(    )

A. 直线与为异面直线
B. 过点，，的截面为平行四边形
C. 直线垂直平面
D. 平面平行于平面

12.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知为虚数单位，则 ______ ．

14.  在中，内角、、所对的边分别为、、，，，，则 ______ ．

15.  请写出一个同时满足以下三个条件的函数： ______ ．
是偶函数；
在上单调递增；
的最小值是．

16.  已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为，，该圆台的体积为，则该圆台的高为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
镇海中学为了学生的身心建康，加强食堂用餐质量简称“美食”的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数认可系数不低于，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改为此该部门随机调查了名学生，根据这名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图．
求直方图中的值和中位数；
为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于分的学生中用分层抽样的方法随机选取人进行座谈，求应选取评分在的学生人数；
根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由．

18.  本小题分
如图所示，在多面体中，四边形，，均为边长为的正方形，为的中点，过，，的平面交于点．
证明：C.
求三棱锥的体积．

19.  本小题分
在钝角中，角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，求的周长的取值范围．

20.  本小题分
已知函数，．
在用“五点法”作函数的图象时，列表如下：

完成上述表格，并在坐标系中画出函数在区间上的图象；
求函数的单调递减区间；
求函数在区间上的最值．

21.  本小题分
如图所示的几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥底面圆的半径为，圆锥的高，三棱锥的底面是以圆锥的底面圆的直径为斜边的等腰直角三角形，且与圆锥底面在同一个平面上．
求直线和平面所成角的正切值大小；
求该几何体的表面积．

22.  本小题分
如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点在棱上，且
证明：面面；
求二面角的余弦值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为集合，，
所以，
故选：．
利用集合的交集运算求解．
本题考查集合的定义，属于基础题、
 

2.【答案】 

【解析】解：因为，
所以在复平面内对应的点位于第二象限．
故选：．
先对化简，再结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：设参加体检的人数是，
被抽到参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多，
则，解得，
所以参加体检的人数是人．
故选：．
根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，因为是定义域为的奇函数，且，
则，
故是周期为的周期函数，
故．
故选：．
根据题意，先分析函数的周期性，由此分析可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质和应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据幂函数在上为增函数，可得，即，
又，所以．
故选：．
根据幂函数与对数函数的单调性可得答案．
本题主要考查了幂函数及对数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意，对于正数，，，，
结合方差的计算公式，该组数据的方差，
必有，则有，
对于数据，，，，其平均数．
故选：．
根据题意，由方差的计算公式分析可得数据，，，的平均数，由平均数的性质分析可得答案．
本题考查数据的平均数、方差的计算，注意平均数、方差的计算公式，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为函数在上单调递增，在上单调递减，
所以且，
所以，，又，
所以，，
所以，故，
由，可得，
取，可得，又，
所以是函数的一个对称中心．
故选：．
由条件可知，周期，由此可求，再由正弦函数性质求其对称中心．
本题主要考查正弦函数的单调性，考查转化能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：截面面积为截面圆半径为，又与球心距离为球的半径是，
所以根据球的体积公式知，
故选：．
做该题需要将球转换成圆，再利用圆的性质，获得球的半径，解出该题即可．
本题考查学生的空间想象能力，以及学生对圆的性质认识，进一步求解的能力，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：将墙看作一个平面，秋千绳、秋千板、墙外的道路看作直线，那么道路和墙面平行，
当秋千静止时，秋千板与墙面垂直，秋千绳与墙面平行，
在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行，但与道路所成的角在变化，
则秋千绳与道路的位置关系在发生变化，而秋千板始终与墙面垂直，故也与道路始终垂直．
故选：．
在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行，但与道路所成的角在变化，则秋千绳与道路的位置关系在发生变化，而秋千板始终与墙面垂直，故也与道路始终垂直．
本题考查线面垂直的判定与性质等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，还可能有，故A错误；
根据向量共线定理，当时，一定有与共线，故B正确；
，因此，故C正确；
且，
则，当时，也满足上式，故D错误．
故选：．
根据向量的性质、数量积公式、共线定理等对各个选项运算验证即可得出答案．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，点在平面内且不在直线上，但不在平面内，故直线与为异面直线，故A正确；
对于，因为点是的中点，所以点在平面内，，所以点在平面内，所以截面为平行四边形，故B正确；
对于，连结、，，，因为，所以四边形是矩形，不是菱形，所以对角线与不垂直，由可知，直线不垂直于平面，故C错误；
对于，因为，平面，平面，所以平面，同理平面，且，平面，面，所以平面平面，故D正确．
故选：．
根据题意，由直线与平面的位置关系依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查直线与平面的位置关系，涉及直线与平面平行、垂直的性质，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，由已知可得，因为，所以，
所以，因此，故A错误；
对于，，当时，，由于，当且仅当时，等号成立，故，当时，，所以，故B正确；
对于，，当且仅当，即，时取等号，故，所以C错误；
对于，，当且仅当取等号，故D正确．
故选：．
由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
为锐角，
，
由正弦定理，
可得，
又，可得为锐角，
．



．
故答案为：．
利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用正弦定理可得的值，结合大边对大角可求的值，利用两角和的正弦公式即可求解的值．
本题考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，大边对大角，两角和的正弦公式在解三角形中的应用，属于基础题．
 

15.【答案】答案不唯一 

【解析】解：易知二次函数的对称轴为，其图象的开口方向向上，
则为偶函数，且在上单调递增，最小值为，满足要求．
故答案为：答案不唯一．
根据题意，结合二次函数的性质即可得出答案．
本题考查函数的性质及其运用，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：圆台的体积，得．
所以该圆台的高为．
故答案为：．
由圆台的体积公式直接求得．
本题主要考查圆台的体积公式，考查运算求解能力，属于基础题．
 

17.【答案】解：，
解得：，
由图可知中位数位于，设中位数为，
则，
解得：；
低于分所占的频率为，
低于分的共人，
分的共人，应选取分的共人；
平均认可程度，
认可系数，
所以需要整改． 

【解析】根据小长方形的面积之和等于列式求解即可得值，根据中位数公式列式计算即可；
利用分层抽样的公式计算即可；
根据频率分布直方图求得平均数，进而求得认可系数，再与比较即可得出结论．
本题考查由频率分布直方图求频数、频率、中位数、平均数，属于基础题．
 

18.【答案】证明：，，且，，
，且，
四边形为平行四边形，
，又平面，且平面，
平面，又平面，平面平面，
C.
解：为中点，
点到平面的距离为点到平面距离的一半，
又根据题意易知：平面，
点到平面距离等于点到平面的距离，
点到平面的距离，又，
． 

【解析】根据线面平行的判定定理与性质定理，即可证明；
先转化三棱锥的顶点与高，再根据锥体的体积公式，计算即可求解．
本题考查线面平行的判定定理与性质定理，三棱锥的体积的求解，属中档题．
 

19.【答案】，
由正弦定理得，
，即，
，
即，
，
，即，
，
又，则；
由得，，
则由正弦定理得，，
的周长

，
钝角为钝角三角形，设为钝角，
则，又，
，
，
，
，
的周长的取值范围是． 

【解析】利用正弦定理，即可得出答案；
利用的结论和余弦定理，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：列表：

作图如图：
由，，得，，
即，，
即函数的单调递减区间为，．
，，得，
所以，
当，即时，取得最小值，即，
当，即时，取得最大值，即，
的最大值为，最小值为． 

【解析】列表，求出对应的五点，利用五点作图法即可求解；
利用正弦函数的单调性可求；
求出角的范围，利用函数最值性质与角的关系进行求解即可．
本题主要考查三角函数的图像和性质，利用五点作图法以及求出角的范围，利用函数的单调性和最值性进行求解是解决本题的关键，是中档题．
 

21.【答案】解：连结，

几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥底面圆的半径为，
圆锥的高，三棱锥的底面是以圆锥的底面圆的直径为斜边的等腰直角三角形，
且与圆锥底面在同一个平面上，
平面，
直线在平面上的射影为直线，
直线和平面所成角等于，
是以为直径的等腰直角三角形，
，
由，知，
直线和平面所成角的正切值大小为．
由题意，所求表面积等于圆锥表面积的一半加上、、的面积，
圆锥的高，圆锥的底面半径，
圆锥的母线长为，表面积为，
在和中，，，
，
．
同理，
，
而，
该几何体的表面积为． 

【解析】连结，则平面，直线在平面上的射影为直线，直线和平面所成角等于，由此能求出直线和平面所成角的正切值大小．
所求表面积等于圆锥表面积的一半加上、、的面积，由此能求出该几何体的表面积．
本题考查直线与平面所成角、几何体表面积等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

22.【答案】解法一：
证明：面，，分
在菱形中，，且，
面分
故面面分
解：连接，则面面，
故CE在面内的射影为，
，，分
又由可得，，，
故是二面角的平面角，分
菱形中，，，
，，
又，，
，
即二面角的余弦值为分
解法二：
证明：菱形中，，又面，
故可以以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，分
由，可知相关点坐标如下：
分
则平面的一个法向量为分
因为所以故AC面分
从而面面分
设，则
，，故，
可得：，分
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量，
则，取，得，分
，分
即二面角的余弦值为分 

【解析】法一：
推导出，，从而面，由此能证明面面．
连接，则在面内的射影为，是二面角的平面角，由此能求出二面角的余弦值．
法二：
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明面面．
求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．
本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．