2022-2023学年广东省佛山市H7教育共同体高一（下）联考数学试卷（5月份）（含解析）

2022-2023学年广东省佛山市H7教育共同体高一（下）联考数学试卷（5月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  (    )

A.  B.  C.  D.

2.  复数的模是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，已知是的中线，点在边上，且，则向量(    )

A.
B.
C.
D.

4.  已知正四棱台的上、下底面的边长分别是、，高为，则该四棱台的表面积为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  在中，角，，的对边分别为，，，若，则的形状为(    )

A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形

6.  已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  顺德欢乐海岸摩天轮是南中国首座双立柱全拉索设计的摩天轮，转一圈分钟，摩天轮的吊舱是球形全景舱，摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，则在转动一周的过程中，高度关于时间的函数解析式是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知四边形中，，点在四边形的边上运动，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  若复数满足其中复数是虚数单位，的共轭复数为，则(    )

A. 复数的虚部为 B. 复数在复平面内对应的点在第一象限
C.  D.

10.  将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  中国有悠久的建筑文化，鲁班锁就是其中一种，鲁班锁的形状种类很多，其结构起源于中国古代建筑的榫卯结构，利用了其拼插器具内部的凹凸部分即榫卯结构啮合，十分巧妙，一般都是易拆难装，现有如图的鲁班锁，其各个面是由正三角形与正八边形构成的，图是该鲁班锁的直观图，则下列结论正确的是(    )

A. 该鲁班锁的各个面中为正三角形的面有个
B. 该鲁班锁的各个面中为正八边形的面有个
C. 若该鲁班锁每条棱的长均为，则该鲁班锁表面中为正八边形的面的面积之和为
D. 若该鲁班锁每条棱的长均为，则该鲁班锁体积为

12.  窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则(    )

A. 与能构成一组基底
B.
C. 在向量上的投影向量为
D. 若在线段包括端点上，且，则取值范围

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  若，则______．

14.  已知向量满足，且，则 ______ ．

15.  已知，，分别为三个内角，，的对边，若，且，则 ______ ．

16.  通信卫星与经济、军事等密切关联，它在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为轨道高度是指卫星到地球表面的距离将地球看作是一个球球心为，半径为，地球上一点的纬度是指与赤道平面所成角的度数，点处的水平面是指过点且与垂直的平面，在点处放置一个仰角为的地面接收天线仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角，若点的纬度为北纬，则______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知函数．
求；
若，求的值．

18.  本小题分
已知向量满足且的夹角为．
若，求实数的值；
求与的夹角的余弦值．

19.  本小题分
如图，已知圆锥的底面半径，高，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱．
若圆柱的底面半径，求剩余部分体积；
试求圆柱侧面积的最大值．

20.  本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求；
若为的中点，，求的周长．

21.  本小题分
已知函数在区间上的最大值为．
求的值和求取得最大值时的取值集合：
若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．

22.  本小题分
已知某商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界、的距离分别为，，为长度单位现准备过点修建一条长椅点，分别落在、上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计，以供购买冷饮的人休息．
求点到点的距离；
为优化商场的经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
的模为．
故选：．
根据复数的运算以及复数求模计算即可．
本题考查了复数的运算，考查复数求模，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：是的中线，，
，，
．
故选：．
由平面向量的线性运算计算可得．
本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为正四棱台的侧面等腰梯形，
又正四棱台的上、下底面的边长分别是、，高为，
所以侧面梯形的斜高为，则梯形的面积，
上下底底面面积分别为，，
所以该四棱台的表面积为．
故选：．
根据已知条件和正四棱台的特征计算侧面等腰梯形的面积，然后利用表面积的定义计算可得结果．
本题考查了正棱台的性质和表面积的计算，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
则，
故，
，
即，即，
，
，

，
，
的形状为直角三角形．
故选：．
根据已知条件，结合三角形的面积公式，推得，再结合正弦定理，即可求解．
本题主要考查三角形的形状判断，考查转化能力，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：正四棱柱高为，体积为，
，即，
即，得，即底面正方形边长为，
正四棱柱的各顶点都在一个球面，
正四棱柱的体对角线长等于球的直径，
体对角线为
球的半径为，
球的表面积．
故选：．
根据柱体的体积求出底面积和底面边长，利用正四棱柱的体对角线等于直径求出球的半径即可．
本题主要考查球表面积的计算，根据正四棱柱的体对角线等于直径求出球的半径是解决本题的关键，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：设，
开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要，
，，
时，，，即，解得．
摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，
该摩天轮最低点距离地面高度为，
，解得，．
．
故选：．
设函数，根据实际意义即可确定解析式．
本题考查三角函数的性质，三角函数的应用，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图所示，因为，且，所以垂直且平分，
则为等腰三角形，又，所以为等边三角形，
则四边形关于直线对称，故点在四边形上运动时，
只需考虑点在边，上的运动情况即可，
因为，，知，即，
则，
当点在边上运动时，设，则，
则，
当时，最小值为；
当点在边上运动时，
设，则，
则，
当时，的最小值为；
综上，的最小值为；
故选：．
由题意分析可知四边形关于直线对称，且，只需考虑点在边，上的运动情况即可，然后分类讨论，求出最小值．
本题考查向量数量积的最值的求解，向量的线性运算，化归转化思想，函数思想，属中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，
对于，复数的虚部为，故A错误；
对于，复数在复平面内对应的点为，在第一象限，故B正确；
对于，，故C正确；
对于，，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：将函数的图象向左平移个单位长度得到的函数为：
，该图象关于原点对称，，
，
解得：，又，
当时，，
当时，．
故选：．
先将平移后的解析式表示出来，然后根据，确定．
本题考查三角函数的性质，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：中国有悠久的建筑文化，鲁班锁就是其中一种，鲁班锁的形状种类很多，其结构起源于中国古代建筑的榫卯结构，利用了其拼插器具内部的凹凸部分即榫卯结构啮合，
现有如图的鲁班锁，其各个面是由正三角形与正八边形构成的，图是该鲁班锁的直观图，
从图的直观图中可知，各个面中为正三角形的面共有个，
由直观图可知表面为正八边形的面有个，故A正确，B错误；

如图为正八边形的平面图，
易得，
分别过点，作，，垂足分别为，，
则，
则每个正八边形的面积为：
，
所以该鲁班锁表面的所有正八边形的面的面积之和为，故C正确；
鲁班锁的体积，可以看成正方体的体积减去八个三棱锥的体积得到，

正方体体积为，
小三棱锥的体积为：，
鲁班锁的体积为：，故D错误．
故选：．
由直观图可判断，；分别过点，作，，垂足分别为，，通过计算每个正八边形的面积，可判断；正方体的体积减去八个三棱锥的体积，可判断．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接，因为，
因为，现，
故．
以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，

则，，，，，，，
故，
故，
所以与平行，不能构成一组基底，A错误；
，，，
故，B正确；
又，所以，
即在向量上的投影向量为，C正确；
若在线段包括端点上，设，所以
，
由，可得，则，，
所以，D正确．
故选：．
A.可根据图形得出，然后以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，然后求出图形上各点的坐标，然后得出的坐标，根据坐标即可判断与是否共线，从而判断的正误；
B.可求出向量和的坐标，根据坐标即可判断的正误；
C.根据投影向量的计算公式即可判断的正误；
D.根据在线段包括端点上，设，然后即可求出的取值范围．
本题考查了通过建立平面直角坐标系解决向量问题的方法，根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，平行向量的坐标关系，基底的定义，投影向量的定义及计算公式，共线向量基本定理，考查了计算能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
解得．
故答案为：．
直接利用两角和的正切函数展开，求解即可得答案．
本题考查两角和的正切函数的应用，三角函数的化简求值，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为，所以，
即，所以，
所以，
又，所以，
故答案为：．
由可得，再把所求向量的模转化为数量积求解即可．
本题考查平面向量数量积的基本运算，属基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
由余弦定理得，
，
，
又，
，
正弦定理可得，
可得．
故答案为：．
整理已知等式可得，由余弦定理可求的值，结合，可求，利用三角形内角和定理可求的值，进而利用正弦定理即可求解的值．
本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据题意作出图形如图所示，

为球心，，，，，
，，
在中，由正弦定理有，，即，
，
，
．
故答案为：．
作出示意图，根据正弦定理得到，由此可得出答案．
本题考查正弦定理在解三角形中的运用，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：



，
；
因为，即，
所以． 

【解析】利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式即可化简求值．
利用二倍角的正弦公式以及同角三角函数基本关系式即可求解．
本题考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
 

18.【答案】解：由可得
即
即，
整理得，解得．
因为，
又，
，
所以，
故与的夹角余弦值为． 

【解析】将向量垂直转化为数量积为，进而利用模和夹角进行计算即可；
由夹角余弦公式直接代入数量积和模求解即可．
本题考查平面向量的数量积的性质及运算，属基础题．
 

19.【答案】解：圆锥的底面半径，高．
圆锥的母线长，
圆锥体积．
设圆柱的高，则，所以，
则圆柱体积，
剩余部分体积为．
法一：作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示，
其中，，
设圆柱底面半径为，设，则，即，
设圆柱的侧面积为，
对称轴为，
当时，有最大值为．
法二：作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示，
其中，，，，
设圆柱底面半径为，则，即，
设圆柱的侧面积为．
对称轴，
当时，有最大值为． 

【解析】计算出圆锥和圆柱的体积即可．
作出圆锥、圆柱的轴截面，计算出圆柱侧面积公式，利用二次函数的性质进行求解即可．
本题主要考查空间几何体的体积和侧面积的计算，根据圆锥，圆柱的体积公式和侧面积公式进行计算是解决本题的关键，是中档题．
 

20.【答案】解：由正弦定理得，，
，，
化简得，，
，，
，，
，，
，
故；
解：如图示：

由余弦定理得，，
知，，即，
又，
，
，
得：，
由得：，
，
故的周长为． 

【解析】根据正弦定理以及三角函数公式求出，从而求出；
根据余弦定理求出，从而求出三角形的周长．
本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查解三角形问题以及三角函数公式，是中档题．
 

21.【答案】解：，
，，
由正弦函数的性质可知，
所以函数的最大值为，
，
，
令，解得，
即时，函数取得最大值；
令，则，
由恒成立，可知，在上恒成立，
令，的图象开口向上，对称轴为，
要使在上恒成立，
只需，
解得，
所以实数的取值范围是． 

【解析】利用二倍角公式及辅助角公式可得，再结合题意求解即可；
令，则，则有知，在上恒成立，结合二次函数的性质求解即可．
本题考查了三角函数的性质、转化思想及二次函数的性质，属于中档题．
 

22.【答案】解：连接，在中，，，，
，由余弦定理得，
即，即点到点的距离为．
由，
，
，
平方得，
即，当且仅当，即时取等号，
，
故当时，三角形面积最小，最小值为． 

【解析】在中，利用余弦定理进行计算即可．
根据三角形的面积公式以及基本不等式进行转化求解即可．
本题主要考查函数的应用问题，利用余弦定理，三角形的面积公式以及基本不等式进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．