2022-2023学年河北省石家庄市五校联合体高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省石家庄市五校联合体高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图，若向量对应的复数为，则表示的复数为(    )

 

A.  B.  C.  D.

2.  如图，在平行四边形中，下列结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  若某圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则它的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若复数，，其中是虚数单位，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在中，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  设点，，不共线，则“”是“与的夹角为钝角”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

8.  粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米、泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一．端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰．粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同．某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄．若粽子的棱长为，则其内可包裹的蛋黄的最大体积约为(    )
参考数据：，

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列说法中不正确的是(    )

A. 正四棱柱一定是正方体
B. 圆柱的母线和它的轴不一定平行
C. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
D. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥

10.  已知复数，，则下列说法正确的是(    )

A. 的共轭复数不是 B.
C. 复数 D. 复数为纯虚数

11.  下列说法正确的是(    )

A. 若与是共线向量，则
B. 若，，则与可以作为平面内所有向量的基底
C. 已知是圆的直径，点是圆上异于、的点，且，则向量在向量上的投影向量为
D. 若，是单位向量，且，则

12.  正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则下列结论正确的是(    )

A. 直线与直线垂直
B. 直线与平面平行
C. 平面截正方体所得的截面面积为
D. 点与点到平面的距离相等

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  ______ ．

14.  已知以为起点的向量，在正方形网格中的位置如图所示、网格纸上小正方形的边长为，则 ______ ．

15.  设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面下列正确命题的序号是______ ．
若，，，则
若，，，则
若，，，则
若，，，则

16.  如图，在离地面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度           

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知复数，，其中是实数．
若，求实数的值；
若是纯虚数，求．

18.  本小题分
如图，已知正三棱柱的底面边长是，，是，的中点，求：
正三棱柱的侧棱长；
正三棱柱的表面积．

19.  本小题分
已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点记，．
请用，表示向量；
若，设，的夹角为，若，求证：．

20.  本小题分
如图，在长方体中，，．
Ⅰ求证：
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．

21.  本小题分
在锐角中，角，，所对的边为，，，已知．
求角；
若，求的取值范围．

22.  本小题分
如图，四边形是矩形，将沿对角线折起成，连接，如图，构成三棱锥过动点作平面的垂线，垂足是．

当落在何处时，平面平面，并说明理由；
在三棱锥中，若，为的中点，判断直线与平面的位置关系，并说明理由；
设是及其内部的点构成的集合，，，当时，求三棱锥的体积的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由图可知，，
所以在复平面内所对应的点为，
则．
故选：．
根据复数的几何意义即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】

直接利用向量的加法和减法运算的应用求出结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的加法和减法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

【解答】

解：由于在平行四边形中，
根据平行四边形的性质：
所以，，，，
故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】
由斜二测画法的规则知已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，长度保持不变，已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度为原来一半．由于轴上的线段长度为，故在平面图中，其长度为，且其在平面图中的轴上，由此可以求得原图形的周长．
本题考查的知识点是平面图形的直观图，其中斜二测画法的规则，能够帮助我们快速找到原图各边的长度．
【解答】
解：由斜二测画法的规则知与轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，
正方形的对角线在轴上，
可求得其长度为，故在平面图中其在轴上，且其长度变为原来的倍，长度为，其原来的图形如图所示，
则原图形中的平行四边形中，一边长为，另一边长为，它的周长是．
观察四个选项，选项符合题意．
故选A．
  

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查圆锥的体积的计算，考查运算求解能力，属于基础题．
根据轴截面求出圆锥的底面半径和高，求出体积．

【解答】

解：因为圆锥的轴截面是边长为的正三角形，
所以圆锥的底面半径为，且圆锥的高，
故体积为．
故选：．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意可得，对应的点在以原点为圆心，以为半径的圆上，对应的点为，如下图所示，

则的最大值为．
故选：．
根据题意，结合复数的几何意义，画出图形，即可得到结果．
本题主要考查了复数的几何意义，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，，
则由余弦定理，可得，解得，
故，所以．
故选：．
根据已知条件，结合余弦定理，求出，，再由三角形的面积公式，即可求解．
本题主要考查三角形的面积公式，以及余弦定理的应用，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：设与的夹角为，
当与的夹角为钝角时，则，
所以，
可得，
即；
当时，因为，
可得，
整理得，即，则，
且点，，不共线，所以与的夹角为钝角；
所以“”是“与的夹角为钝角”的充分必要条件．
故选：．
根据向量的运算结合充要条件分析判断．
本题考查向量的运算以及充要条件的定义，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查正四面体内切球半径的求法，属于较难题．
蛋黄近似看成一个棱长为的正四面体的内切球，正四面体为，设四面体的内切球的球心为，内切球半径为，由四面体的体积为，求得四面体的内切球半径，即可求解．

【解答】

解：蛋黄近似看成一个棱长为的正四面体的内切球，
正四面体为，设四面体的内切球的球心为，内切球半径为，
则球心到四个面的距离都是，四面体表面积为，
四面体的体积等于以为顶点，分别以四个面为底面的个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为，
四面体的内切球半径，
棱长为的正四面体的表面积，
棱长为的正四面体的高，
棱长为的正四面体的体积，
可得，
包裹的蛋黄的最大体积为．
故选C．

9.【答案】 

【解析】解：对：正方体一定是四棱柱，但正四棱柱不一定是正方体，故A错误，
对：根据圆柱母线的定义可知，圆柱的母线和它的轴平行，故B错误；
对：由正棱锥的定义可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故C正确；
对：当以斜边为旋转轴时，会得到两个同底的圆锥组合体，故D错误．
故选：．
根据正四棱柱的定义，圆柱母线的定义，正棱锥的定定义，以及圆锥的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择．
本题考查正四棱柱、圆柱母线、正棱锥的定义以及圆锥的性质，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
，则的共轭复数不是，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
为纯虚数，故D正确．
故选：．
利用复数代数形式的乘除与复数的基本概念判断四个选项得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：选项A，由，共线，可得，即故A错误；
选项B，由可知，与不共线，
故与可以作为平面内所有向量的一组基底，故B正确；
选项C，如图，由题设知，，，
故可设，则，，，
作，交于，
则，所以，
由投影向量的定义可知，在方向上的投影向量为故C正确．
选项D，由可知，，，故D正确．
故选：．
根据平面向量的基本性质及运算，投影向量的概念等逐项进行判断即可．
本题考查了平面向量的相关基础知识，属简单题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于：，
，故A错误；
对于：以为原点，以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，，，
，，，
设平面的一个法向量，
则，即，取，则，，
，
，
直线与平面平行，故B正确；
对于：在正方体中，，
等腰梯形为平面截正方体所得的截面，
则，，，
直线与直线的距离为，
等腰梯形的面积，故C正确；
对于：点到平面的距离为，点到平面的距离为，
，
，
，故D错误，
故选：．
根据棱柱的结构特征，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查棱柱的结构特征、点到面的距离、直线与平面平行，考查向量法，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系：
则，，，
，
，
．
故答案为：．

建立平面直角坐标系，由平面向量数量积的坐标运算即可求得．
本题考查平面向量数量积的坐标运算，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：若，，，则与可能平行，也可能相交，相交也不一定垂直，故错误；
若，，则，又，则，故正确；
若，，则或，又，则与的位置关系有三种：平行、相交或异面，故错误；
若，，，只有当时，有，故错误．
故答案为：．
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个命题得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用正弦定理、余弦定理解决高度问题，属于基础题．
利用等腰直角三角形求出，在三角形中求出和，利用正弦定理求出，求解直角三角形可得．

【解答】

解：在中，，，
则，
在中，，，
则．
由正弦定理得，
则，
在中，，
故山的高度．
故答案为：．

17.【答案】解：，
，解得；
，且是纯虚数，
，，
，，，
，且函数，的周期为，，
． 

【解析】可求出，从而得出，然后解出的值即可；
根据为纯虚数可得出，从而得出，然后可得出函数，的周期为，且，，从而得出的值．
本题考查了复数的乘法和除法运算，周期函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：由题意，，
根据正三棱柱得面，
又面，所以，
在中，，
又是的中点，故侧棱长为；
底面积为，侧面积为．
所以棱柱表面积为． 

【解析】由正三棱柱、线面垂直性质可得，求出，即可得侧棱长；
利用棱柱表面积的求法求正三棱柱的表面积．
本题主要考查了正三棱柱的结构特征，属于基础题．
 

19.【答案】解：，由题意得，
所以．
证明：由题意，．
，，．
，
． 

【解析】结合图形，根据平面向量的线性运算可得；
以，为基底表示出，结合已知求可证．
本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．
 

20.【答案】解：Ⅰ证明：在长方体中，，，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，
，，
，．
Ⅱ，，，，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则直线与平面所成角的正弦值为：
． 

【解析】Ⅰ以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明．
Ⅱ求出平面的法向量，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．
本题考查线面垂直、线线垂直的判定与性质、线面角的正弦值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

21.【答案】解：，，
由余弦定理得，，又，；
 由正弦定理得，，
，，
，，，
则
，
为锐角三角形，，，，
，
，即． 

【解析】将已知变形，直接利用余弦定理计算即可；利用正弦定理将表示出来，根据三角函数性质即可得．
本题考查三角函数性质，正余弦定理，属于中档题．
 

22.【答案】解：由平面与平面垂直的判定可知，
当落上时，平面平面证明如下：
，平面，平面，
又平面，平面，
平面，平面平面；
直线与平面平行．证明如下：
取的中点，连结，，，，
由平面，、平面，得，，
在和中，，已知，
，得，
为的中点，，
由已知可得，且、在同一平面内，则，
平面，平面，平面．
在中，，分别为，的中点，，
平面，平面，平面，
又，平面平面．
而平面，则平面；
在矩形中，作交于．
已知，，由题意知，．
在中，作，交于．
沿将折起成后，，．
又，平面．
平面，．
又，且，平面．
因此，当时，满足题意的的集合组成的图形为线段．
在中，．
则当时，取得最大值，为，
当时，取得最小值为．
四面体的体积为，
当与重合时，取得最大值，四面体的体积取得最大值；
当与重合时，取得最小值，即四面体的体积取得最小值．
综上所述，当时，四面体的体积的取值范围是． 

【解析】当落上时，平面平面，利用平面与平面垂直的判定证明；
直线与平面平行，取的中点，连结，，，证明平面平面，可得平面；
在矩形中，作交于在中，作，交于证明满足题意的的集合组成的图形为线段可知当取得最大值时，即与重合时，四面体的体积取得最大值；当取得最小值时，即与重合时，四面体的体积取得最小值．
本题考查线面平行、面面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，训练了多面体体积的求法，综合性强，难度较大．