2022-2023学年河北省唐山市玉田县高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省唐山市玉田县高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  复数的虚部为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知平面向量与为单位向量，它们的夹角为，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥，棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

4.  已知复数满足，则下列结论中正确的是(    )

A. 的虚部为 B.  C.  D.

5.  若，，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在，其内角，，的对边分别为，，，若，则的形状是(    )

A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形

7.  如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在中，，，交于点，，则(    )

A.
B.
C.
D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知，，，，则(    )

A.  B.
C.  D. 与夹角的余弦值为

10.  已知复数为虚数单位，下列说法正确的有(    )

A. 当时，复平面内表示复数的点位于第二象限
B. 当时，为纯虚数
C. 最大值为
D. 的共轭复数为

11.  在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则下列判断中正确的是(    )

A. 若，则该三角形有两解 B. 若，则该三角形有两解
C. 周长有最大值 D. 面积有最小值

12.  如图所示，在坡地一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，山坡对于地平面的坡度为，则下列说法正确的是(    )

A. 山坡处与建筑物的顶端的距离为米
B. 山坡处与建筑物的顶端的距离为米
C.
D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  若复数，其中为虚数单位所对应的向量分别为和，则的面积为______．

14.  在边长为的等边中，为的中点，为边上一动点，则的最小值为______ ．

15.  在中，已知，最大边与最小边的比为，则该三角形中最大角的正切值是______ ．

16.  如图已知圆锥的底面半径，高，若圆柱内接于该圆锥，则圆柱侧面积的最大值为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知向量，．
若，求实数的值；
若，，求向量与的夹角．

18.  本小题分
已知复数，求解下列问题：
若复数为纯虚数，求的值；
当时，为实系数方程的一个根，求的值．

19.  本小题分
在，，这三个条件中，有且只有一个符合题意，请选择符合题意的条件，补充在下面的问题中，并求解．
在锐角中，角，，所对的边分别为，，，，，______．
求角；
若是边上的一点，且，求的长．

20.  本小题分
在如图所示平面图形中，弧为四分之一圆弧，，，，，求将此平面图形绕所在直线旋转一周所成几何体的表面积及体积．

21.  本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，，，，的内切圆的面积为．
求的值；
若点在上，且，，三点共线，求的值．

22.  本小题分
根据某城市的总体规划，计划将图中四边形区域建设成生态公园，其中，，，为公园道路不计宽度已知条件：，，，．
求道路的长度；
如图所示，需建立一个观测站，并使得，，求、两地的最大距离．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解；，故所求虚部为，
故选：．
根据复数的运算性质求出复数，再根据虚部的定义即可求解．
本题考查了复数的运算性质，涉及到虚部的定义，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
由向量数量积定义可得，根据向量数量积的运算律可由求得结果．
本题主要考查平面向量的数量积的运算，向量的模的计算等知识，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：设长方体的长宽高分别为、、，
则长方体的体积，
截出的棱锥体积为，
棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为：
．
故选：．
设长方体的长宽高分别为、、，则长方体的体积，截出的棱锥体积为，由此能求出棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比．
本题考查棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
其虚部为，，，．
故选：．
根据复数的除法运算求出，结合相关概念以及复数乘法运算即可得结果．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
在上的投影向量为：．
故选：．
根据投影向量的计算公式即可得出在上的投影向量．
本题考查了投影向量的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由正弦定理知，，
，
，
或，
或，
或，即为直角三角形或等腰三角形．
故选：．
利用正弦定理化边为角，再分两类，并结合两角和的正弦公式，即可得解．
本题考查三角形形状的判断，熟练掌握正弦定理，两角和的正弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的知识点是平面图形的直观图，为基础题．
由斜二测画法的规则画出原图，由此可以求得原图形的周长．
【解答】
解：由斜二测画法的规则知与轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在轴上，
可求得其长度为，
故在平面图中其在轴上，且其长度变为原来的倍，长度为，
其原来的图形如图所示，

则原图形的周长是：，
故选A．  

8.【答案】 

【解析】解：设，
所以，
因为，，三点共线，所以，解得，
所以，
因为，所以，，
所以．
故选：．
设，根据平面向量的线性运算法则，推出，由，，三点共线，知，求得的值，再代入运算，得解．
本题考查平面向量的基本定理，熟练掌握平面向量的加法，减法和数乘的运算法则，以及三点共线的条件是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，，，
，故选项A正确；
，，，，
与不平行，故选项B错误；
，，故选项C正确；
，故选项D正确，
故选：．
由题意，利用两个向量共线、垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量的夹角公式，两个向量坐标形式的运算法则，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查两个向量共线、垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量的夹角公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，当时，，复平面内表示复数的点位于第四象限，故A错误；
对于，当时，，为纯虚数，故B正确；
对于，，最大值为，故C正确；
对于，的共轭复数为，故D错误．
故选：．
分别把角代入判断与；利用复数模的公式计算并求最大值判断；由共轭复数的概念判断．
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，训练了三角函数值的求法，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查解三角形，着重考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于较难题．
对于与，可根据、选项给出的条件，利用正弦定理解出和，结合大角对大边，进行判断即可；
对于，根据余弦定理结合均值不等式即可判断的正误；
对于，利用三角形面积公式及正弦定理得到，结合，分析的取值情况，可判断的正误．

【解答】

解：对于，在中，，，若，由，
得，
由于，所以，故C为锐角，所以只有一个解，故A错误；
对于，由，可得，
，，故A有两个解，故B正确；
对于，由，
得．
故，当且仅当时取等号，
所以三角形周长：，故周长有最大值，故C正确；
对于，由得，，
故


，
，
由于，，
，无最小值，故面积无最小值，有最大值，故D错误．
故选BC．

12.【答案】 

【解析】解：由题意可得在中，，，，
由正弦定理可得，即，
所以，
即山坡处与建筑物的顶端的距离为米，故A正确，B错误；
又，
在中，由正弦定理可得，即，
解得，
所以，故C正确，D错误．
故选：．
由题意可得，，，由正弦定理可得的值，即可判断；在中，由正弦定理可得的值，进而可求的值，即可判断．
本题考查了正弦定理，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和计算能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意，得，，
则，，
，，
的面积为，
故答案为：．
根据题意求出，，再由三角形面积公式求解．
本题考查复数的代数表示及几何意义，考查数学运算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：取的中点为，以为原点，，所在的直线分别为，轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则：

，设，，
，，
，
时，取最小值．
故答案为：．
画出图形，取的中点，以点为原点，直线，分别为，轴，建立平面直角坐标系，然后即可得出和的坐标，并设，，然后可得出，然后配方即可得出的最小值．
本题考查了通过建立坐标系，利用向量的坐标解决向量问题的方法，向量坐标的数量积运算，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：不妨设为最大边．由题意，，
因为，，
所以，
所以，
所以，
所以．
故答案为：．
设为最大边，根据题意求得的值，进而利用正弦的两角和公式展开后，化简整理求得的值即可得解．
本题主要考查了正弦定理以及三角函数恒等变换在解三角形中的应用，解题的关键是利用正弦定理把题设中关于边的问题转化为角的关系，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示，

其中，，，
设圆桂底面半径为，则，即．
设圆柱的侧面积为．
当时，有最大值为．
故答案为：．
作出圆柱与圆锥的截面图，把圆柱的侧面积用表示，然后结合二次函数求最值．
本题考查圆锥的表面积，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：根据题意，向量，，
则，，
若，则，
解可得：或，
根据题意，，
若，则，
解可得，则，
，
又由，则． 

【解析】根据题意，求出和的坐标，由向量垂直的判断方法可得，解可得答案；
根据题意，求出的坐标，由向量平行的坐标表示方法可得关于的方程，解可得的值，即可得的坐标，进而求出的值，分析可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
 

18.【答案】解：，
复数为纯虚数，
，，
解得．
当时，，
为实系数方程的一个根，
，
，
，，
解得，．
． 

【解析】利用复数的运算法则化简，根据复数为纯虚数，即可解出．
当时，，为实系数方程的一个根，代入化简，根据复数相等即可得出结论．
本题考查了复数的运算性质、复数相等、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：若选，由正弦定理，可得，
因为，所以，可得．
因为为锐角三角形，所以无解，不符合题意．
若选，由正弦定理，可得因为，，所以．
所以，
因为为锐角三角形，所以无解，不符合题意．
若选，由正弦定理，可得，
又，可得
因为，所以，可得，
因为，所以．
因为，所以．
所以．
所以． 

【解析】根据正余弦定理边角互化，即可从三个条件中选择符合的，根据向量的线性表示进而求模长
本题考查解三角形问题，正弦定理与余弦定理的应用，向量数量积的运算，属中档题．
 

20.【答案】解：所成几何体为一个圆台挖去一个半球，

，则，则是等腰直角三角形，
，
几何体表面积为：，
体积为：． 

【解析】将此平面图形绕所在直线旋转一周所成几何体为一个圆台挖去一个半球，根据球和圆台的表面积和体积计算公式计算即可．
本题考查了几何体表面积和体积的计算，属于中档题．
 

21.【答案】解：，，，
在中，由余弦定理得，
，即，
设内切圆的半径为，则，解得，
；
在中，，，，
由余弦定理得，
又，，三点共线，为内切圆的圆心，
则平分，
点到，的距离相等，故，
，
，
，
． 

【解析】先利用余弦定理求出，然后利用等面积法求出内切圆的半径，即可得出答案；
显然平分，然后利用角平分线的性质可得，可得，即可得出答案．
本题考查平面向量的数量积和解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：连接，由余弦定理可得，所以，

由，，所以，
因为，所以，
在中，，所以，解得，
即道路的长度为；
因为，所以，又因为，则，
所以，设，，
所以在中，在中，且，
则在中，由正弦定理可得，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
故AB两地的最大距离为． 

【解析】连接，利用余弦定理求得，在中，利用余弦定理即可求出；
在中利用正弦定理，设，表示出，进而结合条件表示出，得到其最大值即可．
本题考查解三角形，涉及正弦定理、余弦定理的应用，数形结合思想，属于中档题．