2023年辽宁省本溪市、铁岭市、辽阳市中考数学试卷（含解析）

2023年辽宁省本溪市、铁岭市、辽阳市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图所示，该几何体的俯视图是(    )

 

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的名运动员的成绩如下表所示：

则这名运动员成绩的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，直线，被射线，所截，，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  下列调查中，适宜采用全面调查方式的是(    )

A. 了解某种灯泡的使用寿命 B. 了解一批冷饮的质量是否合格
C. 了解全国八年级学生的视力情况 D. 了解某班同学中哪个月份出生的人数最多

8.  某校八年级学生去距离学校的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达已知快车的速度是慢车速度的倍，求慢车的速度设慢车的速度是，所列方程正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在中，，，动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，到点停止运动，同时动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动当点停止运动时，点也随之停止运动在的右侧以为边作菱形，点在射线上设点的运动时间为，菱形与的重叠部分的面积为，则能大致反映与之间函数关系的图象是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  截止到年月底，我国网络覆盖全国所有地级以上市、县城城区，移动电话用户达到户，将数据用科学记数法表示为______ ．

12.  分解因式：______．

13.  如图，等边三角形是由个大小相等的等边三角形构成，随机地往内投一粒米，落在阴影区域的概率为______ ．

14.  若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是______ ．

15.  如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，，，，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的倍，则第一象限内点的坐标为______ ．

16.  如图，矩形的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，，对角线的延长线经过原点，且，若矩形的面积是，则的值为______ ．

17.  如图，在三角形纸片中，，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为______ ．

18.  如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，，点为的中点，连接，当最小时，的面积为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
月日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为个等级：优秀；良好；中；合格并将统计结果绘制成如图两幅统计图．

请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
本次抽样调查的学生共有______ 名；
补全条形统计图；
该校共有名学生，请你估计本次竞赛获得等级的学生有多少名？
在这次竞赛中，九年一班共有人获得了优秀，人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这人中随机选出人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选人恰好是一男一女的概率．

21.  本小题分
某礼品店经销，两种礼品盒，第一次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元；第二次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元．
求购进，两种礼品盒的单价分别是多少元；
若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共盒，总费用不超过元，那么至少购进种礼品盒多少盒？

22.  本小题分
暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山需要登顶高的山峰，由山底处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处已知点，，，，在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为换乘登山缆车的时间忽略不计．

求登山缆车上升的高度；
若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底处到达山顶处大约需要多少分钟结果精确到．
参考数据：，，

23.  本小题分
商店出售某品牌护眼灯，每台进价为元，在销售过程中发现，月销量台与销售单价元之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的倍，其部分对应数据如下表所示：

求与之间的函数关系式；
当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？

24.  本小题分
如图，是的直径，点，在上，，点在线段的延长线上，且．
求证：与相切；
若，，求的长．

25.  本小题分
在中，，，点为的中点，点在直线上不与点，重合，连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作直线，过点作，垂足为点，直线交直线于点．

如图，当点与点重合时，请直接写出线段与线段的数量关系；
如图，当点在线段上时，求证：；
连接，的面积记为，的面积记为，当：：时，请直接写出的值．

26.  本小题分
如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．

求抛物线的解析式；
点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段，为邻边作矩形，当矩形的周长为时，求线段的长；
点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
故选：。
计算绝对值要根据绝对值的定义求解。第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号。
本题考查了绝对值的意义，任何一个数的绝对值一定是非负数，所以的绝对值是。
 

2.【答案】 

【解析】解：、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：从上面看得该几何体的俯视图是：
．
故选：．
根据俯视图是从上面看到的图形判定即可．
本题考查了简单几何体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：和不能合并了，故本选项不符合题意；
B.，故本选项符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项不符合题意；
故选：．
先根据合并同类项法则，同底数幂的除法，完全平方公式和幂的乘方与积的乘方进行计算，再得出选项即可．
本题考查了合并同类项法则，同底数幂的除法，完全平方公式和幂的乘方与积的乘方等知识点，能熟记合并同类项法则，同底数幂的除法，完全平方公式和幂的乘方与积的乘方法则是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：中位数是按从小到大排列后第，第两个数的平均数作为中位数，
故这组数据的中位数．
故选：．
根据中位数的定义，结合图表信息解答．
本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义：将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图：
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据两直线平行，同旁内角互补，得出，由，得出，即可得答案．
本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补，是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、了解某种灯泡的使用寿命，适宜采用抽样调查方式，故此选项不符合题意；
B、了解一批冷饮的质量是否合格，适宜采用抽样调查方式，故此选项不符合题意；
C、了解全国八年级学生的视力情况，适宜采用抽样调查方式，故此选项不符合题意；
D、了解某班同学中哪个月份出生的人数最多，适宜采用全面调查方式，故此选项符合题意；
故选：．
普查和抽样调查的选择．调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
此题考查了抽样调查和全面调查，由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
 

8.【答案】 

【解析】解：设慢车的速度为，
根据题意可列方程为：．
故选：．
此题求速度，有路程，所以要根据时间来列等量关系．因为他们同时到达目的地，所以此题等量关系为：慢车所用时间快车所用时间．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，正确利用等量关系列出方程是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：作于，
由题意知平分，
，
，
，，，
，
的面积的面积的面积，
，
，
，
．
故选：．
由角平分线的性质定理推出，由勾股定理求出的长，由的面积的面积的面积，得到，因此，即可求出的长，得到的长．
本题考查勾股定理，角平分线的性质，作图基本作图，三角形的面积，关键是由角平分线的性质得到，由三角形面积公式得到．
 

10.【答案】 

【解析】解：作于点，作于点，

由题意得，，
，
，
是线段的垂直平分线，
，
，，
，，
当点运动到直线上时，

此时，是等边三角形，
，；
当点、运动到与点，重合时，

，；
当点运动到与点重合时，
，；
当时，，
当时，如图，作于点，交于点，

则，，，
，
当时，如图，作于点，

则，，
，
综上，与之间函数关系的图象分为三段，当时，是开口向上的一段抛物线，当时，是开口向下的一段抛物线，当时，是开口向上的一段抛物线，
只有选项A符合题意，
故选：．
先证明菱形是边长为，一个角为的菱形，找到临界点，分情况讨论，即可求解．
本题主要考查了动点问题的函数的图象，二次函数的图形的性质，等边三角形的性质，菱形的性质，三角形的面积公式，利用分类讨论的思想方法解答和熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
将写成，进而写成即可．
本题考查用科学记数法表示较大的数，将写成，再写成是正确解答的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

13.【答案】 

【解析】解：总面积为个大小相等的等边三角形的面积，其中阴影区域面积为个大小相等的等边三角形的面积，
随机地往内投一粒米，落在阴影区域的概率为．
故答案为：．
根据几何概率的求法：落在阴影区域的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的倍，
四边形与四边形的位似比是：，
点，
第一象限内点的坐标为．
故答案为：．
根据四边形的面积是四边形面积的倍，可得四边形与四边形的位似比是：，进而得出各对应点位置，进而得第一象限内点的坐标．
本题考查作图位似变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，延长交轴于，连接，
矩形的面积是，
，
，
，
，
∽，
：：：，
，
由几何意义得，，
，
，
故答案为：．
根据矩形面积求出面积，再利用：：，求出面积，利用相似求出与的比，求出面积，即可利用几何意义求出．
本题考查了反比例函数性质的应用，几何意义及三角形面积与底、高的关系的应用是解题关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
当时，则，
，
将三角形纸片沿对折，使点落在点处，
，
故答案为：．
由，得，则，当时，则，所以，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查等腰三角形的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，求得是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：连接，则，
，
．
，
，
是直角三角形．
设，则，，，由勾股定理得：
．
当时，有最小值．
，，
．
故答案为：．
连接，证明为直角三角形，根据勾股定理列出，设，则，建立关于的二次函数关系式，求出时，最小，再求出顶角是的三角形的面积即可．
本题考查了旋转背景下的二次函数最值问题，顶角为的等腰三角形面积的计算，建立二次函数关系式是本题的突破口．
 

19.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】调查的学生共有名；
故答案为：；
合格的人数名，

名，
答：估计本次竞赛获得等级的学生有名；
画树状图如下：

一共有中等可能的情况，其中一男一女的情况有种，
所选人恰好是一男一女的概率为．
由优秀的人数除以所占百分比即可；
求出合格的人数，补全条形统计图即可；
由该校共有学生人数乘以“良好”以上的学生所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中被选中的两人恰好是一男一女的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：设购买每盒种礼品盒要元，每盒种礼品盒要元，由题意得，
，
解得：，
答：购买每盒种礼品盒要元，每盒种礼品盒要元；

设需要购买个种礼品盒，则购买个种礼品盒，由题意得，
，
解得：，
答：最少需要购买个种礼品盒． 

【解析】设购买每盒种礼品盒要元，每盒种礼品盒要元，由题意即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设该公司需要购买个种礼品盒，则购买个种礼品盒，由题意即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系，列出方程组和不等式．
 

22.【答案】解：如图，过点作于点，由题意可知，，，，，
在中，，，
，
，
答：登山缆车上升的高度为；
在中，，，


，
需要的时间

，
答：从山底处到达山顶处大约需要分钟． 

【解析】根据直角三角形的边角关系求出，进而求出即可；
利用直角三角形的边角关系，求出的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
 

23.【答案】解：设月销量台与销售单价元之间满足一次函数关系式为，
把和代入得，
解得，
；
设每月出售这种护眼灯所获的利润为元，
根据题意得，，
当护眼灯销售单价定为元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为元． 

【解析】设月销量台与销售单价元之间满足一次函数关系式为，把和代入解方程组即可得到结论；设每月出售这种护眼灯所获的利润为元，根据题意得到二次函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论．
本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是列出关系式，熟练掌握二次函数的性质，准确计算．
 

24.【答案】证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
又，
，
是的直径，
，
，
，
即，
是半径，
是的切线；
解：在中，设半径为，即，则，
，
，
，
在中，，，
，
． 

【解析】根据圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理可得即可；
根据锐角三角函数可求出半径，进而得到的长，再根据直角三角形的边角关系求出，由勾股定理求出即可．
本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数的定义以及勾股定理，掌握切线的判定方法，锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提．
 

25.【答案】解：，理由如下：
连接，如图：

，，
，
线段绕点逆时针旋转，得到线段，
，，
，
≌，
，，
直线，
，
是等腰直角三角形，
，
；
证明：如图，

，，为的中点，
，，
，
，
直线，直线，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
；
解：由：：，设，则，
当在线段上时，延长交于，如图：

由知≌，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
当在射线上时，延长交于，如图：

同理可得，
，
，
，
，，为的中点，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，的值为或． 

【解析】连接，由，，得，根据线段绕点逆时针旋转，得到线段，有，，可得≌，从而，，知是等腰直角三角形，，故AD；
由，，为的中点，得，，证明≌，得，根据，即得；
由：：，设，则，分两种情况：当在线段上时，延长交于，由≌，得，而四边形是矩形，有，，根据勾股定理可得，故，，即得；当在射线上时，延长交于，同理可得．
本题考查等腰直角三角形中的旋转问题，涉及三角形全等的判定于性质，矩形的判定与性质，三角形面积等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
 

26.【答案】解：抛物线经过点和，

解得，
抛物线的解析式为；
点和．
设直线的解析式为，则，
解得．
直线的解析式为，
设，且，则，
，
解析式的对称轴为，
，
，
依题意得．
解得舍去或．
，
令，则，
解得或．
．
同理，直线的解析式为，
四边形是正方形，
，，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，如图，

，．
≌．
，．
设，
，．
则，
点在直线上，
．
解得或
当时，，，
即点与点重合，点与点重合时，四边形是正方形，此时：
当时，，，
点向左平移个单位，再向下平移个单位，得到点，
则点向左平移个单位，再向下平移个单位，得到点，
，即
综上，点的坐标为或 

【解析】利用待定系数法即可求解；
先求得直线的解析式为，设，则，利用对称性质求得，推出，，利用矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解；
先求得直线的解析式为，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，证明≌，推出，设，则，由点在直线上，列式计算，可求得的值，利用平移的性质即可求解．
本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离公式和正方形的性质，是一道综合性较强的题，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分情况讨论．