2022-2023学年广东省佛山市H7教育共同体高二(下)联考数学试卷(含解析)
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2022-2023学年广东省佛山市H7教育共同体高二(下)联考数学试卷
一、单选题(本大题共8小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1. 已知在等差数列中,,,则( )
A. B. C. D.
2. 函数在处的切线方程为( )
A. B. C. D.
3. 已知等比数列的前项和为,,,则( )
A. B. C. D.
4. 已知函数在处有极小值,则的值为( )
A. B. C. D.
5. 已知数列中,,则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
6. 某医院需安排四位医生到、、三个社区参加义诊活动,每位医生必须参加一个社区义诊活动,每个社区至少有一位医生由于交通原因,甲不能去社区,则不同的安排方法数为( )
A. B. C. D.
7. 已知,,,则,,的大小关系为( )
A. B. C. D.
8. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次,分别标记两次骰子正面朝上的点数,表示事件“第一次正面朝上的点数为”,表示事件“第二次正面朝上的点数为”,表示事件“两次正面朝上的点数之和为”,表示事件“两次正面朝上的点数之和为”,则下列说法错误的是( )
A. 与相互独立 B. 与互斥 C. D.
二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)
9. 设数列是以为公差的等差数列,是其前项和,,且,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. 或为的最小值
10. 已知,下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
11. 已知函数,则有( )
A. 当时,在上递增
B. 当时,有个零点
C. 当时,关于对称
D. 当时,有个极值点
12. 已知数列中,,,下列说法正确的是( )
参考公式:
A.
B.
C. 存在,使得
D.
三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13. 除以,所得余数为______ .
14. 在数列中,,则数列中的最大项是第______ 项
15. 已知,只有一条过原点的切线,则 ______ .
16. 对任意,当时,,则的最小值为______ .
四、解答题(本大题共6小题,共70.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17. 本小题分
设数列的前项和为,数列是公差为的等差数列,且.
求的通项公式;
求数列的前项和.
18. 本小题分
证明:,.
已知,,求的取值范围.
19. 本小题分
若数列的首项,且满足.
求数列的通项公式;
求数列的前项和.
20. 本小题分
甲、乙两队进行篮球冠军争夺赛,比赛采取三局二胜制,甲队每局取胜的概率为甲队有一名核心球员,如果核心球员在比赛中受伤,将不能参加后续比赛,甲队每局取胜的概率降为,若核心球员在每局比赛受伤的概率为.
在核心球员一直未受伤的条件下,甲队以:取胜的概率;
甲队以:取胜的概率.
21. 本小题分
已知数列的首项,且满足.
求证:数列为等比数列;
设数列满足,求最小的实数,使得对一切正整数均成立.
22. 本小题分
已知,.
求的单调区间;
当时,函数有个零点,分别为,且满足,证明:.
答案和解析
1.【答案】
【解析】解:在等差数列中,,得,公差,
所以.
故选:.
根据给定条件,利用等差数列性质求出公差,即可求解作答.
本题主要考查等差数列的性质,属于基础题.
2.【答案】
【解析】解:由,得,
,
则函数在处的切线方程为,
即.
故选:.
求出原函数的导函数,得到函数在处的导数值,再由直线方程的点斜式得答案.
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,熟记基本初等函数的导函数是关键,是基础题.
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等比数列的性质、求和等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.
由等比数列的性质和前项和公式得,,成等比数列,由此能求出的值.
【解答】
解:等比数列的前项和为,,,公比,
,,成等比数列,
,
.
故选C.
4.【答案】
【解析】解:,
因为在处有极小值,
所以,得,
解得或,
当时,,
令得或,
所以在上,单调递增,
在上,单调递减,
在上,单调递增,
所以是函数的极小值点,符合题意,
当时,,
令得或,
所以在上,单调递增,
在上,单调递减,
在上,单调递增,
所以是函数的极大值点,不符合题意,
所以,
故选:.
求导得,由于在处有极小值,则,解得,再检验是否在处取得极小值,即可得出答案.
本题考查导数的综合应用,解题中需要理清思路,属于中档题.
5.【答案】
【解析】解:,
,且,
数列是首项为,公比为的等比数列,
故的前项和为.
故选:.
根据的通项公式,可得为等比数列,利用等比数列的求和公式,即可得出答案.
本题考查等比数列的定义和数列的求和公式,考查转化思想,考查逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.
6.【答案】
【解析】解:安排四位医生到、、三个社区参加义诊活动,即按,,进行分组,
甲单独去一个社区,且不能去社区,共种选择,再将剩余人分成组安排社区,共种选择,故共有种选择;
甲和另外人去一个社区,且不能去社区,共有种选择,再将剩余人分成组安排社区,共种选择,故共有种选择;
根据分类加法计数原理可知,不同的安排方法数为种.
故选:.
安排四位医生到、、三个社区参加义诊活动,即按,,进行分组,分甲单独去一个社区,甲和另外人去一个社区,两种情况讨论即可.
本题考查排列组合的应用,属于基础题.
7.【答案】
【解析】解:,,,
构造函数,则,,,
,
令,解得,
当时,,在上单调递减,
故,
即.
故选:.
将,,变形,构造函数,求导判断单调性,再比较大小即可.
本题考查导数的综合应用,属于中档题.
8.【答案】
【解析】解:由题意得,,,,,
选项,,与相互独立,A正确;
选项,,,与互斥,B正确;
选项,,,C正确;
选项,,D错误.
故选:.
根据事件独立性的定义可判断;根据互斥事件的定义可判断;根据条件概率公式可判断,.
本题考查相互独立事件的定义,考查互斥事件的定义,考查条件概率,是基础题.
9.【答案】
【解析】解:,,
又数列是以为公差的等差数列,
,又,,
故选项A正确,选项B正确;
,错误,即选项C错误;
由以上知,或为的最大值,没有最小值,故选项D错误.
故选:.
由等差数列性质及公式依次判断各选项即可.
本题考查等差数列的性质的应用,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用,是基础题.
10.【答案】
【解析】解:令,可得,所以A正确;
,所以,所以B正确;
当时,,
当时,,
两式相加可得:,所以不正确;
,可知奇数项的系数为正,偶数项的系数为负,
所以令,可得,所以不正确.
故选:.
利用赋值法,结合二项式定理的通项公式,转化求解判断选项即可.
本题考查二项式定理的应用,是基础题.
11.【答案】
【解析】解:项:当时,,则,恒成立,
所以在单调递增,所以A正确;
项:当时,,
而,可得,必有两个相同实根,
故有个零点,所以不正确;
项:当时,,
,,令,可得,此时,
所以当时,关于对称,所以C正确;
项:函数,,,可得或,此时函数有两个极值点,
故D不正确.
故选:.
当时,对函数求导,通过导函数的符号,判断函数的单调性,判断选项A;通过函数为,求解函数的零点个数,判断选项B;
通过二次导函数为,解出函数的对称中心,判断选项C;求解函数的导数的极值点的个数,判断选项D.
本题考查导数的应用,考查利用导数判断单调性和极值,考查利用导数解决恒成立问题,考查利用导数解决对称问题,考查学生逻辑推理能力和计算能力,属于中档题.
12.【答案】
【解析】解:由,,
可得,
则,
所以,
则,故A错误;
由,对也成立,故B正确;
,故D正确;
,故C错误.
故选:.
由已知可得,再由数列的恒等式可得,,可判断、;由数列的分组求和,结合等差数列的求和公式可判断;由数列的裂项相消求和和不等式的性质可判断.
本题考查数列的通项与恒等式、裂项相消求和,以及不等式的性质,考查转化思想和运算能力,属于中档题.
13.【答案】
【解析】解:.
该关系式除以,所得的余数为.
故答案为:.
直接利用二项展开式和数的整除问题求出结果.
本题考查的知识要点:二项展开式,数的整除问题,主要考查学生的理解能力和计算能力,属于基础题.
14.【答案】
【解析】解:根据题意知:,解得;
,解得,
所以,,
所以.
故答案为:.
根据题意得到,,由此求解即可.
本题考查数列的函数的特征的应用,不等式的解法,是基础题.
15.【答案】
【解析】解:由,得,
设切点坐标为,则过切点的切线方程为,
把代入,可得.
,只有一条过原点的切线,
,又,.
故答案为:.
设切点坐标为,利用导数写出过切点的切线方程,代入坐标原点的坐标,可得关于的一元二次方程,再由判别式大于求解值.
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查运算求解能力,是中档题.
16.【答案】
【解析】解:因为,
所以,所以,
所以,所以,
因为,,所以
令,,则,
,
当时,,单调递增,
因为,
所以,所以,
所以,所以,
令,,,
令得,
所以在上,单调递增,
在上,单调递减,
所以,所以,
所以,所以的最小值为.
故答案为:.
由,得,进而可得,则,令,,则,求导分析的单调性,可得,令,,只需,即可得出答案.
本题考查导数的综合应用,解题中需要理清思路,属于中档题.
17.【答案】解:数列的前项和为,数列是公差为的等差数列,且,
故,整理得,
故.
由得:,
所以.
【解析】直接利用递推关系式求出数列的通项公式;
利用的结论,进一步利用分组法求出数列的和.
本题考查的知识要点:数列的递推关系式,数列的通项公式的求法,数列的求和,分组法的求和,主要考查学生的理解能力和计算能力,属于中档题.
18.【答案】解:证明:令,,
,
令得舍或,
所以在上,单调递增,
在上,单调递减,
所以,即,
所以.
根据题意可得对任意恒成立,
所以只需,即可,
,,
令得,
所以在上,单调递减,
在上,单调递增,
所以,
因为,
所以,
所以,
又,
所以,
所以的取值范围
【解析】令,求导分析单调性,可得,即可得出答案.
根据题意可得对任意恒成立,只需,即可得出答案.
本题考查导数的综合应用,解题中需要理清思路,属于中档题.
19.【答案】解:数列的首项,且满足,
整理得,
当时,,,,
,
,,
时,,依然成立,故.
由于,
故,,
,,
得:,
整理得.
【解析】利用叠乘法可得通项;利用错位相减法求和即可.
本题考查求数列的通项,考查数列求和,属于中档题.
20.【答案】解:在核心球员一直未受伤的条件下,甲队以:取胜的概率为.
甲队核心队员在每场比赛中都没有受伤,甲队以:取胜的概率为;
甲队核心队员第场比赛中受伤,甲队以:取胜的概率为;
甲队核心队员第场比赛中受伤,甲队以:取胜的概率为;
甲队核心队员第场比赛中受伤,甲队以:取胜的概率为;
则甲队以:取胜的概率为.
【解析】根据相互独立事件的乘法公式计算即可;
根据核心球员是否受伤,以及在哪场比赛中受伤进行分类讨论,再利用互斥事件的概率和公式求解即可.
本题考查相互独立事件的乘法公式,是中档题.
21.【答案】证明:已知数列的首项,且满足,
则,可得,
又,数列是以为首项,为公比的等比数列;
解:由可得,
又,
则
,
即,可得的最小值为.
【解析】由题意可得,即可证明数列为等比数列;
由可得,,然后结合裂项求和法及公式求和法求解,结合题意得结论.
本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式,重点考查了裂项求和法及公式求和法,属中档题.
22.【答案】解:,
当时,在上恒成立,在上单调递减,
当时,令得,
所以在上,单调递减,
在上,单调递增,
综上所述,当时,在上单调递减,
当时,在上单调递减,在上单调递增.
令,即,
令,则,
在上,单调递增,
在上,单调递减,
所以,
即,,
设,则,
所以在上,单调递减,
又,
当,存在唯一,满足,且存在,,满足且,
要证,由,
设,即有,,即证,
即证,令,
即证,
即证恒成立,
令,
,
所以在上单调递减,
所以恒成立,即证.
【解析】求导得,分两种情况:当时,当时,分析的符号,的单调性.
令,即,令,则,分析的单调性,最值,可得的取值范围,设,求导分析的单调性,可得当,存在唯一,满足,且存在,,满足且,要证,设,即有,,即证,即证恒成立,即可得出答案.
本题考查导数的综合应用,解题中注意分类讨论思想的应用,属于中档题.
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