2023届江苏省苏州市八校联盟高三下学期5月适应性检测（三模）数学试题含解析

这是一份2023届江苏省苏州市八校联盟高三下学期5月适应性检测（三模）数学试题含解析，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023届江苏省苏州市八校联盟高三下学期5月适应性检测（三模）数学试题

一、单选题
1．如图，阴影部分所表示的集合为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】图中的阴影部分表示的是集合与的补集的交集形成.
【详解】图中的阴影部分表示的是集合与的补集的交集形成即为
故选：B
2．为得到函数的图象，只需将函数的图像
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
【答案】C
【详解】先化简变形把变为，然后由平移公式有对应相等可得，显然是向左平移．

3．设函数的定义域为，对于任意，若所有点构成一个正方形区域，则实数的值为（    ）
A．-1 B．-2 C．-3 D．-4
【答案】D
【分析】先求出.进而根据在的单调性，得出函数在处取得最大值.根据已知即可列出关系式，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，.
因为，所以，解得，所以.
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以，在处取得最小值，
所以，在处取得最大值，
所以，函数在处取得最大值.
因为，所有点构成一个正方形区域，
所以，所以.
故选：D.
4．5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至12000，则大约增加了（参考数据：，，）（    ）
A．25% B．30% C．36% D．45%
【答案】C
【分析】根据题意将信噪比分别为1000，12000代入香农公式，列出等式，利用换底公式即可求出，即可求解.
【详解】因为当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计，
所以当时，当时，
所以
，所以，
所以大约增加了36%，
故选：C.
5．已知为坐标原点，点，点在曲线上，则向量在向量方向上的投影向量的长度的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分析知当最小时,投影向量长度最大，从而求出直线与曲线相切时的斜率，进而得到的余弦值，最后计算出对应的投影向量的长度即可.
【详解】因为,且方向固定，所以当最小时,投影向量长度最大,
此时点在轴右侧,且与抛物线相切,
令直线:,则,\，
即有唯一解,得（负舍）,
即，且为锐角，
结合，解得
在方向上的投影向量的长度为,
故选：A.
  
6．二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中的指数为整数的项的个数为
A．3 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【详解】因为展开式中只有第11项的二项式系数最大,所以n=20.二项式展开式的通项为
，由题得为整数，所以故选D.
7．记方程①：，方程②：，方程③：，其中是正实数.若成等比数列，则“方程③无实根”的一个充分条件是（    ）
A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根
C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根
【答案】B
【分析】根据判别式以及充分条件的定义逐项分析.
【详解】由题意，，其中；
对于A，如果有实根，则，如果有实根，
则，有可能大于等于，
则，即有可能大于等于0，即由①②不能推出③无实根，A不是充分条件；
对于B，有，则必有，即，方程无实根，
所以B是③无实根的充分条件；
对于C，有，，方程③有实根，C不是方程③无实根的充分条件；
对于D，有，q的值不确定，有可能小于，也有可能大于，
不能保证方程③无实根，例如，则，，
所以D不是方程③无实根的充分条件；
故选：B.
8．若圆锥，的顶点和底面圆周都在半径为的同一个球的球面上，两个圆锥的母线长分别为，，则这两个圆锥公共部分的体积为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】过圆锥的轴作出截面图求解，两个圆锥共顶点且底面平行，故它们的公共部分也是一个圆锥，求出其底面半径和高，即可得所求体积.
【详解】易得在同一条直线上，过该直线作出截面图如图所示.

是圆锥底面圆的直径，是圆锥底面圆的直径，两直径都与垂直.
在中，，则可得.
在中，，则，则.
又，所以点重合.
这两个圆锥共顶点且底面平行，故它们的公共部分也是一个圆锥，
其底面半径为，高为，
所以所求体积为.故选A.
【点睛】本题考查与球有关的切接问题，体积的计算，解题的关键是过球心作出截面图.

二、多选题
9．已知变量的5对样本数据为，用最小二乘法得到经验回归方程，过点的直线方程为，则（    ）
A．变量和之间具有正相关关系
B．
C．样本数据的残差为-0.3
D．
【答案】AD
【分析】根据方程，可知A项正确；求出，代入方程，即可得出.根据两点坐标得出直线方程即可得出；求出预测值，即可得出残差；根据最小二乘法的意义，即可得出D项.
【详解】对于A项，根据经验回归方程，可知变量和之间具有正相关关系，故A项正确；
对于B项，由已知可得，，，根据经验回归方程，可知，所以.
根据已知，可求出，则直线方程为，整理可得，所以，故B项错误；
对于C项，由B知，经验回归方程为，样本数据的预测值为，所以样本数据的残差为，故C项错误；
对于D项，根据最小二乘法的意义，可知，故D项正确.
故选：AD.
10．若直线与曲线满足下列两个条件：
（i）直线在点处与曲线相切；
（ii）曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.
下列命题正确的是（    ）
A．直线在点处“切过”曲线
B．直线在点处“切过”曲线
C．直线在点处“切过”曲线
D．直线在点处“切过”曲线
【答案】ACD
【解析】分别求出每个选项中命题中曲线对应函数的导数，求出曲线在点处的切线方程，再由曲线在点处两侧的函数值对应直线上的点的值的大小关系是否满足（ii），由此可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，由，可得，则，
所以，曲线在点处的切线方程为，
当时，；当时，，满足曲线在点附近位于直线两侧，
A选项正确；
对于B选项，由，可得，则，
而直线的斜率不存在，所以，直线在点处不与曲线相切，B选项错误；
对于C选项，由，可得，则，
所以，曲线在点处的切线方程为，
设，则，所以，函数为上的增函数，
当时，，即；
当时，，即.
满足曲线在点附近位于直线两侧，C选项正确；
对于D选项，由，可得，，
所以，曲线在点处的切线方程为，
当时，设，则，
所以，函数在上单调递减.
当时，，即；
当时，，即.
满足曲线在点附近位于直线两侧，D选项正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题考查导数新定义，解题的关键就是理解新定义，并把新定义进行转化，一是求切线方程，二是判断在切点两侧函数值与切线对应的函数值的大小关系，从而得出结论.
11．在平面直角坐标系中，设函数，则（    ）
A．曲线上存在两点、，使得
B．曲线上任意一点处的切线都不可能经过原点
C．曲线上任意一点处的切线与直线及轴围成的三角形的面积是定值
D．过曲线上任意一点作直线及轴的垂线，垂足分别为、，则是定值
【答案】BCD
【分析】数形结合可判断A选项；求出曲线在其上一点的切线方程，可判断B选项；计算出切线与直线及轴围成的三角形的面积，可判断C选项；求出的值，可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，，作出函数在上的图象如下图所示：

直线的倾斜角为，直线与轴的夹角为，
对于曲线上任意两个不重合的点、，，则，A错；
对于B选项，设曲线上一点，其中，
则，则，
所以，曲线在点处的切线方程为，
即，
当时，显然直线不经过原点，B对；
对于C选项，曲线在处的切线方程为，
联立可得，
直线交直线于点，
直线交轴于点，
所以，曲线上任意一点处的切线与直线及轴围成的三角形的面积为
，C对；
对于D选项，设点，则点，

直线的方程为，即，
联立可得，即点，
所以，，，故，D对.
故选：BCD.
12．若数列满足：对任意的，总存在，使，则称是“数列”.则下列数列是“数列”的有（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据“数列”定义判断A、D；利用特殊值判断B是否满足要求；由的个位数上奇偶性判断C.
【详解】A：由，要且，
所以，只需，显然对任意的，总存在，满足“数列”.
B：由，显然，不满足“数列”.
C：对于任意，，个位数为均为奇数，所以必为偶数，显然不成立，不满足.
D：由，
，
故对任意的，总存在，满足“数列”.
故选：AD

三、填空题
13．写出一个同时满足①②的复数___________.①；②.
【答案】或
【分析】根据题意，设，结合条件，列出方程，求解即可.
【详解】因为，不妨设，则，
解得，即符合.
故答案为: 或
14．已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于、两点，已知，若这样的直线有条，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】记，分析可知双曲线的实轴长和通径长不可能同时为，可知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，其中，设点、，将直线的方程与双曲线方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可得出关于的方程由四个不等的实数解，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.
【详解】记，若直线与轴重合，此时，；
若直线轴时，将代入双曲线方程可得，此时，
当时，则，此时，；当，可得，则，
所以，双曲线的实轴长和通径长不可能同时为；
当直线与轴不重合时，记，则点，
设直线的方程为，其中，设点、，
联立可得，
由题意可得，可得，
，
由韦达定理可得，，
所以，
，即，
所以，关于的方程由四个不等的实数解.
当时，即当时，可得，
可得，整理可得，因为，解得；
当时，即当，可得，
可得，整理可得，可得.
综上所述，.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.

四、双空题
15．设是从集合中随机选取的数，直线，圆.则直线与圆有公共点的概率是__________；直线与圆的公共点个数的数学期望是__________.
【答案】 / /
【分析】由已知求出圆心、半径，求出圆心到直线的距离.根据直线与圆公共点的个数，列出不等式，列举得出满足条件的基本事件，根据古典概型概率公式，即可得出概率. 设直线与圆的公共点个数为随机变量，结合互斥以及对立事件的概率公式，即可求出取不同值的概率，根据期望公式，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，圆圆心为，半径，
则圆心到直线的距离.
因为直线与圆有公共点，所以，整理可得.
因为，所以，
则满足条件的可能为，，，，，，，，，，共包含10个基本事件.
总的可能包含的基本事件的个数为.
所以，直线与圆有公共点的概率是.
设直线与圆的公共点个数为随机变量，由(1)知，.
由前知，当时，10个基本事件都满足，即，此时有两个交点，
所以，.
所以，.
故答案为：；.

五、填空题
16．设，函数，若恰有三个不同的零点，且是其中的一个零点，则实数的值为__________.
【答案】
【分析】根据已知可得，进而得出为偶函数.即可根据已知得出，.代入，化简整理，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，
所以，，
所以，为偶函数.
由已知可得，，所以.
根据函数的奇偶性，结合已知恰有三个不同的零点，
可知必有，即，
所以，，
所以，，
整理可得，，所以.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：判断的奇偶性，根据函数的奇偶性结合已知得出.

六、解答题
17．在中，，点在边上，且，.
(1)求；
(2)求的面积.
【答案】(1)6
(2)75

【分析】（1）根据已知可推得，设，即可得出，进而得出答案；
（2）设，根据直角三角形以及两角和的正切公式，即可得出，进而求出，根据三角形面积公式，即可得出答案.
【详解】（1）  
由题意知，.
设，所以.
在中，，
所以，从而.
（2）设，
在中，，
在中，，
所以.
在中，由，得，
所以，
从而的面积为.
18．已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前2023项和.
【答案】(1)
(2)1012

【分析】（1）根据等差数列的通项公式以及给定的条件求出公差d和；
（2）根据数列的周期性求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可知，
即
解得，所以；
（2）由（1）可知，，
对于任意，有，
所以，
故数列的前2023项和为
.
19．如图，在三棱锥中，是边长为的等边三角形，且，平面，垂足为平面，垂足为，连接并延长交于点.
  
(1)求二面角的余弦值；
(2)在平面内找一点，使得平面，说明作法及理由，并求四面体PDEF的体积.
【答案】(1)；
(2)答案见解析，.

【分析】（1）根据条件确定就是二面角的平面角，构造三角形求解；
（2）根据给定的条件知平面，过点E作PB的平行线与PA交于F，则平面PAC，再求出三棱锥的底面积和高即可.
【详解】（1）  
，并且是等边三角形，
三棱锥是正三棱锥，D是的中心，点G是AB边的中点；
由平面， 平面，平面，可知，平面PDG，平面PDG，
所以平面，进而得，
所以就是二面角的平面角，
又是边长为的等边三角形，且，，
是等腰直角三角形，同理都是等腰直角三角形；
，，
，即二面角的余弦值为；
（2）平面，平面，
平面，
同理平面，又平面，
，与点P，D，C共面，即E点在线段PG上，
又，，，
过E点在平面PAB内作PB的平行线，与PA交于F，则平面，
也是等腰直角三角形，，
又平面PAB，平面PAB，，将作为底面，则ED是三棱锥的高，
，即四面体的体积为.
20．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得.现有抽奖人甲选择了2号箱，在打开2号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子.按游戏规则，主持人将随机打开甲的选择之外的一个空箱子.
(1)计算主持人打开4号箱的概率；
(2)当主持人打开4号箱后，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选2号箱，还是改选1号或3号箱？（以获得奖品的概率最大为决策依据）
【答案】(1)
(2)甲应该改选1号或3号箱.

【分析】（1）设出事件，根据已知条件得出事件的概率以及条件概率，然后根据全概率公式即可得出答案；
（2）根据条件概率公式，求出抽奖人甲选择各个箱子，获得奖品的概率，即可得出答案.
【详解】（1）设分别表示1，2，3，4号箱子里有奖品，
设分别表示主持人打开号箱子，
则，且两两互斥.
由题意可知，事件的概率都是，，，，.
由全概率公式，得.
（2）在主持人打开4号箱的条件下，1号箱､2号箱､3号箱里有奖品的条件概率分别为，
，
，
通过概率大小比较，甲应该改选1号或3号箱.
21．已知点是圆上一动点，点，线段的垂直平分线交线段于点.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)定义：两个离心率相等的圆锥曲线为“相似”曲线.若关于坐标轴对称的曲线与曲线相似，且焦点在同一条直线上，曲线经过点.过曲线上任一点作曲线的切线，切点分别为，这两条切线分别与曲线交于点（异于点），证明：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.

【分析】（1）根据给定条件，结合轴对称的性质及椭圆定义求出方程作答.
（2）由（1）及已知求出曲线的方程，验证斜率不存在的情况，当斜率存在时，设出它们的方程，再与，的方程联立推理作答.
【详解】（1）依题意，，
  
由椭圆的定义知，交点的轨迹是以点为左右焦点的椭圆，且长轴长，焦距，
则，
所以曲线的方程为.
（2）由（1）知，曲线的离心率为，且焦点在x轴上，则曲线的离心率为，
曲线的焦点在x轴上，而曲线经过点，，
因此曲线的长半轴长，半焦距，短半轴长有，
于是曲线的方程为，设，
  
当切线的斜率不存在时，的方程为，代入得，
此时、与曲线都相切，为的中点，为的中点，则；
当切线的斜率不存在时，同理有；
当切线和的斜率都存在时，设切线的方程为，分别代入和，
化简得①，②，
依题意，方程①有两个相等的实数根，方程②有两个不相等的实数根，
于是，即，
则，此时为的中点.
同理可证，为的中点，因此，
所以.
【点睛】求椭圆的标准方程有两种方法：
①定义法：根据椭圆的定义，确定，的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．
②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为(A>0，B>0，A≠B)．
22．设函数.
(1)从下面两个条件中选择一个，求实数的取值范围；
①当时，；
②在上单调递增.
(2)当时，证明：函数有两个极值点，且随着的增大而增大.
【答案】(1)选①；选②
(2)证明见解析

【分析】（1）若选①，可得在上单调递增，然后讨论当时，不符合要求，即可得到结果；若选②，将问题转化为在上恒成立，然后分与讨论，即可得到结果；
（2）根据题意，利用导数研究函数的极值，先证得函数有两个极值点，然后构造函数，通过函数的单调性即可得到证明.
【详解】（1）令，则，所以，则，
令，则，
选①：当时，因为时，，所以在上单调递增，
又，所以当时，，说明在上单调递增，
所以，符合题意；
当时，，当时，，所以在上单调递减，
又，所以当时，，说明在上单调递减，
所以当时，，此时不符合题意；
综上，实数的取值范围.
选②：在上单调递增，所以在上恒成立，
当时，，所以在上递增，
又，所以当时，，所以在上单调递减，不符合题意；
当时，当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
从而，由在上恒成立，得，
令，说明在单调递增，在单调递减，
所以，当且仅当时取得等号，故.
综上，实数的取值范围.
（2）当时，当时，在上单调递减，又，
当时，，说明在上单调递增，
当时，，说明在上单调递减，
所以为极大值点.
由（1）有，则，
所以当时，有，
所以当时，，
所以使得.
当时，，当时，，
所以为极小值点，
综上，函数有两个极值点；
其中满足，所以，
设，则，
由（1）知，所以单调递增，
所以随着的增大而增大，又，
所以，故随着的增大而增大.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性，极（最）值问题处理.