2023届山东省滨州市邹平市第二中学高三模拟数学试题含解析

2023届山东省滨州市邹平市第二中学高三模拟数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则 （    ）

A． B． C．， D．，0，

【答案】B

【分析】由对数函数的性质求出集合，然后进行交集的运算即可得解.

【详解】因为集合，，

则.

故选：B．

【点睛】本题考查了对数不等式的求解及集合交集的运算，考查了运算求解能力，属于基础题.

2．复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出答案.

【详解】由题意，，

所以.

故选：B.

【点睛】本题考查复数的四则运算，考查共轭复数，考查学生的计算能力，属于基础题.

3．如图所示，点E为的边AC的中点，F为线段BE上靠近点B的四等分点，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据平面向量的线性运算结合图像将用表示，即可得出答案.

【详解】解：

.

故选：C.

4．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为的球面上，其上、下底面半径分别是、，则该圆台的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】计算出圆台的高，利用圆台的体积公式可求得结果.

【详解】由于圆台的下底面直径为，故球心为圆台的下底面圆圆心，

设圆台的高为，则，

因此，圆台的体积为.

故选：B.

5．某班级要从6名男生、3名女生中选派6人参加社区宣传活动，如果要求至少有2名女生参加，那么不同的选派方案种数为（    ）

A．19 B．38 C．55 D．65

【答案】D

【分析】至少有2名女生参加包括2名女生4名男生与3名女生3名男生两种情况，列出两种情况的组合数，利用分类计数原理得到结果.

【详解】至少有2名女生参加包括2名女生4名男生与3名女生3名男生两种情况，

所以不同选派方案种数为．

故选：D

【点睛】本题考查组合的实际应用，考查分类计数原理的应用，属于基础题.

6．如图是某市夏季某一天从时到时的气温变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则该市这一天时的气温大约是（   ）

A．℃ B．℃

C．℃ D．℃

【答案】B

【分析】观察图象确定函数的振幅，周期，特殊点，由此求出函数解析式，再求时的函数值即可.

【详解】观察图象可得时函数取最小值，时函数取最大值，

所以函数的周期为，

所以，解得，，解得，

当时，函数取得最大值，所以，，

所以，又，所以，

所以函数解析式是，，

故选：B.

7．设，，，则a、b、c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用，构造且研究单调性比较大小，构造且研究单调性判断函数值符号比较的大小，即可得结果.

【详解】由，

因为，，则，，

令且，则，则递减，

所以，即，则，故；

因为，，由，

令且，则，则递增；

故，，而，

所以，则，即，

综上，.

故选：D

【点睛】关键点点睛：利用中间值得到，构造利用导数研究单调性比较，作差法并构造研究函数值符号比较大小.

8．已知函数，给以下四个结论：①的解集为；②是极小值，是极大值；③有极小值，但无最小值；④有极小值，也有最小值.其中正确的是

A．①② B．①②③ C．①②④ D．②④

【答案】B

【分析】直接解不等式可判断①；利用导数求极值可判断②；取特值比较与极小值的大小关系，结合②可判断③④.

【详解】因为，所以由，得，解得 ，即①正确；

因为，所以，当时，，当或时，，所以是极小值，是极大值，即②正确；

因为在上单调递减，且，

所以有极小值，但无最小值，即③正确，④错误.

故选：B.

二、多选题

9．（多选）在棱长为1的正方体中，M是线段上一个动点，则结论正确的是（    ）

A．直线垂直于直线

B．存在点M使得二面角为的二面角

C．存在点M使得异面直线与所成角为

D．三棱锥的体积为

【答案】ABC

【分析】根据正方体的性质，结合平行线的性质、二面角的定义、三棱锥体积公式、异面直线所成角定义逐一判断即可.

【详解】由题意可知，，，∴，A正确；

当M为中点时，二面角的平面角为，所以B正确；

异面直线与所成的角可转化为直线与所成角，

为正三角形，当M为中点时，，C正确；

三棱锥的体积为，D错误．

故选：ABC．

10．若曲线（e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则a的取值可以是（    ）

A． B． C．0 D．1

【答案】AD

【分析】设切点为，求导得出斜率，利用点斜式得到切线方程，因为切线过坐标原点，可得到，有两条切线转化为有两个不等的实根，即可求出a的取值范围，进而得到正确选项.

【详解】设切点为，，

所以切线的斜率，

则此曲线在P处的切线方程为，

又此切线过坐标原点，所以，

由此推出有两个不等的实根，所以，解得或，

故选：AD．

11．已知抛物线：的焦点为，点在上，直线交于另一点，则（    ）

A．的准线方程为 B．直线的斜率为

C． D．线段的中点的横坐标为

【答案】BD

【分析】对A：代入点即可解得，进而可得焦点和准线；对B：根据斜率公式运算求解；对C：联立方程求交点坐标，再根据抛物线的定义运算求解；对D：根据中点坐标公式运算求解.

【详解】对A：∵点在抛物线上，则，解得，

故抛物线的方程为，焦点，准线，A错误；

对B：直线的斜率，B正确；

对C：直线的方程，

联立方程，解得或，

即，故，C错误；

对D：线段的中点的横坐标为，D正确；

故选：BD.

12．已知函数的定义域为，对任意的，都有，且，当时，，则（    ）

A．是偶函数

B．

C．当，是锐角的内角时，

D．当，且，时，

【答案】BCD

【分析】令，得，令，得，可验证选项AB；利用定义法判断函数单调性，结合三角函数的知识验证选项C；令，得，可证是首项为1，公比为2的等比数列，可求，验证选项D.

【详解】令，得，故B正确；

令，则，所以为奇函数，故A错误；

任取，且，则.

因为，

所以，所以.

因为，，所以，，

即在上单调递增.

因为A，B是锐角的内角，所以，所以，

所以.

因为，所以，故C正确；

因为，且，所以.

令，则，

令，则，所以.

因为，所以是首项为1，公比为2的等比数列，

所以，故D正确.

故选：BCD

【点睛】思路点睛：此类抽象函数可利用赋值法进行求解，利用赋值法可以求值、证明函数奇偶性、推导周期性、利用定义证明函数单调性等等．

三、填空题

13．已知，则________.

【答案】/0.75

【分析】因为，分别令和,即可求得答案.

【详解】

令.

原式化为.

令,得,

.

故答案为: .

14．已知圆：和：恰好有三条公切线，则的取值范围是___________.

【答案】

【分析】首先结合已知条件和圆与圆的位置关系求出与的关系式，从而得到为上一点，再利用的几何意义以及定点到圆上一点的最值求法即可求解.

【详解】由题意，：的方程可化为，

故是以圆心为，半径为2的圆；

因为圆和圆恰好有三条公切线，所以圆和圆相外切，

又因为圆：，所以圆的圆心为，半径为1，

从而，化简得，，

即为上一点，

不妨令

由两点间距离公式可知，可表示为上一点到的距离，

因为是以圆心为，半径为3的圆，

所以圆心到的距离为，

故的最大值为，最小值为，

从而，

因为，

所以，即的取值范围是.

故答案为：.

15．过点的直线与曲线相切，且不是切点，则直线的斜率为____________

【答案】

【分析】设切点坐标为，故切线斜率为：，进而得切线方程，再将代入解得，进而得答案.

【详解】解：设切点为，则，

求导得：，

所以直线的斜率为：，

所以切线方程为：，

又因为切线过点，

所以，

整理得：，即：，

所以，故切点的横坐标为，

所以.

故答案为：

【点睛】本题考查未知切点的切线问题，考查运算求解能力，解题的关键在于设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程，解出切点坐标，进而得切线方程.是中档题.

16．已知椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线交椭圆C于A，B两点，若，且的三边长、、成等差数列，则C的离心率为___________．

【答案】

【分析】由已知，设，，，据勾股定理有；由椭圆定义知的周长为4a，由勾股定理，，可得选项.

【详解】由已知，设，，，所以根据勾股定理有，解得；

由椭圆定义知，所以的周长为4a，所以有，；

在直角中，由勾股定理，，∴离心率．

故答案为：.

【点睛】本题考查椭圆离心率，椭圆的定义，重在对问题的分析，抓住细节，同时考查计算能力，属于中档题.

四、解答题

17．已知公差不为0的等差数列的前项和为，（），，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）记的前项和为，的前项和为，当时，判断与的大小

【答案】（1）；（2）见解析

【详解】分析：（1）设公差为d，通过，，成等比数列，求出公差，然后求解通项公式．

（2）化简通项公式，利用裂项消项法求解数列的和，利用，即可比较大小.

详解：

（1）设的公差为，则由成等比数列，得且，

化得.

∵，∴解得，

∴

（2）由（1）的  ∴.

∴

又∵，

∴.

当时，，即

所以，当时，；当时，.

点睛：裂项相消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有：

（1）已知数列的通项公式为，求前项和： ；

（2）已知数列的通项公式为，求前项和：；

（3）已知数列的通项公式为，求前项和:..

18．在中，已知，其中，，分别为内角，，所对的边．

(1)求角的大小；

(2)若，求的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理角化边，再根据余弦定理即可解出；

（2）先根据余弦定理化简，再根据正弦定理，三角恒等变换化简，即可求出其最大值．

【详解】（1）由正弦定理以及可得，，即，所以，而

，所以．

（2）由可得，，所以，

由正弦定理可得，，所以，

所以

，其中，所以当时，的最大值为，即的最大值为．

19．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面底面，为棱的中点，，.

（1）求证：平面平面；

（2）求点到平面的距离.

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】（1）由面面垂直的性质可得平面，得到，再由，即可得到平面，从而得证；

（2）根据，利用等体积法求出点到面的距离.

【详解】解：（1）∵，，，∴，∴，

∴侧面底面，侧面底面，面

∴平面，

平面，

∴，

∵，，平面，平面

∴平面，平面，

∴平面平面.

（2），

，，

∵，

∴，

∴，

∴

【点睛】本题考查线面垂直的判定及性质定理的应用，面面垂直的证明，等体积法求点面距，属于中档题.

20．某校为了解学生对消防安全知识的掌握情况，开展了网上消防安全知识有奖竞赛活动，并对参加活动的男生、女生各随机抽取20人，统计答题成绩，分别制成如下频率分布直方图和茎叶图：

（1）把成绩在80分以上（含80分）的同学称为“安全通”.根据以上数据，完成以下列联表，并判断是否有95%的把握认为是否是“安全通”与性别有关

（2）以样本的频率估计总体的概率，现从该校随机抽取2男2女，设其中“安全通”的人数为，求的分布列与数学期望.

附：参考公式，其中.

参考数据：

【答案】（1）填表见解析；没有95%的把握认为“安全通”与性别有关（2）详见解析

【解析】（1）根据题目所给数据，计算并填写好列联表.计算出的值，由此判断没有95%的把握认为“安全通”与性别有关.

（2）根据相互独立事件概率乘法公式，结合男生、女生中安全通的人数，计算出分布列，进而求得数学期望.

【详解】（1）由题知，女生样本数据中“安全通”为6人，非“安全通”为14人，男生样本中“安全通”人数为人，非“安全通”的人数为8人，列出列联表如下：

假设：“安全通”与性别无关，

所以的观测值为，

所以没有95%的把握认为“安全通”与性别有关.

（2）由题知，随机选1女生为“安全通”的概率为0.3，选1男生为“安全通”的概率为0.6，的可能取值为0，1，2，3，4，

，

，

，

，

，

所以的分布列为

所以.

【点睛】本题考查茎叶图与直方图的应用，考查列联表及离散型随机变量的分布列及数学期望等知识，考查数据处理能力、求解运算能力，考查样本估计总体思想.

21．已知双曲线（，）的左､右焦点分别为､，双曲线的右顶点在圆上，且.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点､，设为坐标原点.

①求证：点与点的横坐标的积为定值；

②求△周长的最小值.

【答案】(1)；

(2)①证明见解析；②6.

【分析】（1）由在圆上求出参数a，利用向量数量积的坐标表示求出参数c，进而可得双曲线方程.

（2）①设直线为，联立双曲线求得，联立渐近线与直线方程求与的横坐标，注意直线斜率不存在情况的讨论；②法1：利用两点距离公式求，结合基本不等式及①结论即可求周长最小值；法2：由①结论及两点距离公式可得，再由余弦定理求，进而应用基本不等式求的最小值，注意等号成立条件.

【详解】（1）设双曲线的半焦距为，

由在圆上，得：，

由，得：，

所以，则双曲线的标准方程为.

（2）①当直线的斜率存在时，设其方程为，显然，

联立，消去得：，

由直线与双曲线有且只有一个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别相交知：直线与双曲线的渐近线不平行，所以且，

于是得，则，

双曲线的渐近线为，

联立，消去得：，

设，，则.

当直线的斜率不存在时，，故，

综上，点与点的横坐标的积为定值3.

②法1：由①，，

则，当且仅当时取等号，

所以△周长的最小值为6.

法2：由①，

则，，

在△中，由余弦定理，

所以△的周长为，当且仅当时取等号，

所以△的周长的最小值为6.

22．已知函数（为自然对数的底数，），，．

（1）若，，求在上的最大值的表达式；

（2）若时，方程在上恰有两个相异实根，求实根的取值范围；

（3）若，，求使的图像恒在图像上方的最大正整数．

【答案】(1) ；(2) ；(3) ．

【分析】(1)先求函数导数，根据定义域以及 取值分类讨论导函数是否变号，确定函数单调性，进而确定函数最值，(2)作差函数，求导得原函数先减后增，因此要有两个相异实根，需极小值小于零，两个端点值大于零，解不等式可得的取值范围； (3)实际为一个不等式恒成立问题，先转化为对应函数最值问题（利用导数求差函数最小值），再研究最小值恒大于零问题，继续求导研究函数单调性，并结合零点存在定理限制或估计极点范围，最后范围确定最大正整数．

【详解】(1) 时，,

；

①当时，，在上为增函数，此时，

②当时，，在上为增函数，

故在上为增函数，此时

③当时，，在上为增函数，在上为减函数，

若，即时，故在上为增函数，在上为减函数，

此时

若，即时，在上为增函数，则此时，

综上所述：

（2），，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴在上恰有两个相异实根，

，

实数的取值范围是，

（3）由题设：，（*）

∵，故在上单调递减，在上单调递增，

（*），

设，则，

∴在上单调递增，在上单调递减，

而，

且，

故存在，使，

且时，，时，，

又∵，，

∴时，使的图像恒在图像的上方的最大整数．