2023届四川省成都市简阳市阳安中学高三模拟训练（一）数学（文）试题含解析

2023届四川省成都市简阳市阳安中学高三模拟训练（一）数学（文）试题

一、单选题

1．复数在复平面内对应的点为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复数的几何意义表示出，再根据复数代数形式的除法运算法则计算可得.

【详解】复数在复平面内对应的点为，则，

所以.

故选：C．

2．已知全集，集合，则集合等于（     ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先表示出集合与集合的等价条件，然后根据交集，并集和补集的定义进行分析求解即可．

【详解】由题意知，，

所以，，

故选：B．

3．某公司对2022年的营收额进行了统计，并绘制成如图所示的扇形统计图.在华中地区的三省中，湖北省的营收额最多，河南省的营收额最少，湖南省的营收额约2156万元.则下列说法错误的是（    ）

A．该公司2022年营收总额约为30800万元

B．该公司在华南地区的营收额比河南省营收额的3倍还多

C．该公司在华东地区的营收额比西南地区、东北地区及湖北省的营收额之和还多

D．该公司在湖南省的营收额在华中地区的营收额的占比约为35.6%

【答案】D

【分析】根据题意给的数据，结合选项依次计算即可求解.

【详解】A：湖南省的营收额约为2156万元，占比7.00%，

所以2022年营收额约为万元，故A正确；

B：华南地区的营收额占比为19.34%，河南省的营收额占比为6.19%，

有，所以华南地区的营收额比河南省的3倍还多，故B正确；

C：华东地区的营收额占比为35.17%，西南地区的营收额占比为13.41%，

东北地区的营收额占比为11.60%，湖北的营收额占比为7.29%，

有13.41%+11.60%+7.29%=32.3%<35.17%，故C正确；

D：湖南的营收额占比为7.00%，华中地区的营收额占比为20.48%，

有，故D错误.

故选：D.

4．如图，网格小正方形的边长为1，网格纸上绘制了一个多面体的三视图，则该多面体的体积为 （    ）

A．14 B．7 C． D．

【答案】C

【分析】由三视图还原出原几何体为三棱台以及各边的关系，先证明平面，得出棱台的高.然后求出上下底面的面积，根据棱台的体积公式，即可得出答案.

【详解】

如图，由三视图还原可得，原几何体为三棱台，

且有，，，.

因为平面，平面，，

所以平面.

又，所以，三棱台的高即为.

又，，，，，，

所以，，

所以，由棱台的体积公式.

故选：C.

5．从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和不小于9的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，由列举法分别得到三个数之积为偶数的情况数与三个数之和不小于9的情况，即可得到结果.

【详解】从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数可得基本事件为，

10种情况，

若这三个数之积为偶数有

，9种情况，

它们之和不小于9共有 ，5种情况，

从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，

若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为．

故选:D．

6．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先求得的定义域并化简其解析式，再利用函数奇偶性排除选项CD，最后利用特值法排除选项B，进而得到正确选项A.

【详解】由，可得，则定义域为，

则，

，

则为偶函数，其图像关于y轴对称，排除选项CD；

又，则排除选项B，正确选项为A.

故选：A

7．将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位长度，得到的图象，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由图像伸缩平移变换知，，将代入即可求得结果.

【详解】由图像伸缩平移变换知，，

则

故选：C

8．已知点是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于点，交轴于点，若，则点的坐标为

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据可知，点为的中点，利用中点公式可得点的横坐标，将其代入到可得其纵坐标.

【详解】因为，所以为的中点，

因为，所以，所以，

因为的横坐标为0，所以的横坐标为，将其代入到可得点的纵坐标为，

故点的坐标为.

故选：D

【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了中点坐标公式，考查了抛物线的几何性质，属于基础题.

9．数列中，，定义：使为整数的数叫做期盼数，则区间内的所有期盼数的和等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用换底公式与累乘法把化为，然后根据为整数，可得，最后由等比数列前项和公式求解．

【详解】解：，，

，

又为整数，

必须是2的次幂，即．

内所有的“幸运数”的和：

，

故选：D．

10．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上存在一点，使过点所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的值不可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，依题意、及两切点构成正方形且，只需圆心到直线的距离小于等于，即可得到不等式，求出的取值范围，即可判断.

【详解】由，得，则圆心，半径，

因为过点所作的圆的两条切线相互垂直，所以、及两切点构成边长为的正方形，且对角线，

又在直线上，则圆心到直线的距离，解得或，

即，根据选项，满足条件的为B．

故选：B．

11．如图，在已知直四棱柱中，四边形为平行四边形，分别是的中点，以下说法错误的是（    ）

A．若，，则

B．

C．平面

D．若，则平面平面

【答案】B

【分析】利用正切值相等可说明，由此可得，结合平行关系可知A正确；由，可知B错误；通过证明四边形为平行四边形可得，由线面平行判定可知C正确；根据，，由线面垂直和面面垂直的判定可知D正确.

【详解】对于A，连接，

，，

，又，，即；

，，四边形为平行四边形，，

，A正确；

对于B，连接，

分别为中点，，又，，

，与不平行，B错误；

对于C，连接，

分别为中点，，；

，，四边形为平行四边形，，，

为中点，，，，

四边形为平行四边形，，

又平面，平面，平面，C正确；

对于D，连接，

，四边形为平行四边形，四边形为菱形，；

平面，平面，，

又，平面，平面，

平面，平面平面，D正确.

故选：B.

12．已知关于的方程有三个不等的实数根，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】参变分离后可根据直线与函数的图象有3个不同的交点可得实数的取值范围.

【详解】问题等价于又三个不等的实数根，

令，，

当时，，当时，，

当时，，

所以在和上为增函数，在上为减函数，

又，且极小值为，的图象如图所示：

因此与的图象有三个不同的交点时，.

故选：B.

【点睛】方法点睛：

对于导数背景下的函数零点问题，我们可以针对不同的题型采取不同的策略：

（1）填空题或选择题类：可以采用参变分离的方法把参数的范围问题归结为动直线与不含参数的函数的图象的交点问题，后者可以利用导数来刻画图象；

（2）解题类：一般不可以利用参变分离的方法来处理，因为函数的图象可能有渐近线，一般地利用导数研究函数的单调性，并结合零点存在定理来判断.

二、填空题

13．函数的图象在点处的切线方程为_______．

【答案】

【分析】利用导数的几何意义求函数图象在某一点处的切线方程.

【详解】因为，所以.

有，，

所以函数的图象在点处的切线方程为

，即.

故答案为：.

14．已知向量，满足，，，的夹角为150°，则与的夹角为______.

【答案】

【分析】根据向量数量积的定义，求得的值，利用平面向量的几何意义和数量积的运算律求得、，结合夹角公式计算即可求解.

【详解】因为，与的夹角为，

所以，

所以，

得，又，

所以，

又因为，所以.

故答案为：.

15．写出一个具有下列性质①②的数列的通项公式______．①；②数列的前n项和存在最小值．

【答案】(答案不唯一)

【分析】根据判断数列是等差数列，根据存在最小值可知等差数列首项为负数，公差为正数，从而可写出满足条件的等差数列．

【详解】∵，∴数列是等差数列，

∵数列的前n项和存在最小值，

∴等差数列的公差，，

显然满足题意．

故答案为：．

16．已知双曲线的左､右焦点分别为，点是的一条渐近线上的两点，且（为坐标原点），．若为的左顶点，且，则双曲线的离心率为_____

【答案】

【分析】根据，可得关于原点对称，从而可得四边形为平行四边形，再根据，可得四边形为矩形，再求出的坐标，求出，再利用余弦定理构造齐次式即可得解.

【详解】设双曲线的焦距为，因为，所以，所以关于原点对称，又，所以四边形为平行四边形，

又，所以四边形为矩形，因为以为直径的圆的方程为，

不妨设所在的渐近线方程为，则，

由，解得或，不妨设，

因为为双曲线的左顶点，所以，

所以，

又，由余弦定理得，

即，整理得，

所以离心率．

故答案为：．

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

（1）定义法：通过已知条件列出方程组或不等式组，求得、的值或不等式，根据离心率的定义求解离心率的值或取值范围；

（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程或不等式，然后转化为关于的方程或不等式求解；

（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值构建方程或不等式，求得离心率的值或取值范围.

三、解答题

17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．

(1)求的值；

(2)若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．

条件①：；条件②：；条件③：的周长为9．

【答案】(1)2

(2)

【分析】（1）根据三角恒等变换分析运算即可；

（2）由（1）可得，若选条件①：利用余弦定理可求得，进而面积公式分析运算；若选条件②：分为锐角和为钝角两种情况讨论，利用余弦定理可求，结合题意分析判断；若选条件③：根据题意可求得，利用余弦定理结合面积公式运算求解.

【详解】（1）∵，则，

∴.

（2）由（1）可得，由正弦定理可得，

若选条件①：由余弦定理，即，

注意到，解得，则，

由三角形的性质可知此时存在且唯一确定，

∵，则，

可得，

∴的面积.

若选条件②：∵，可得，则有：

若为锐角，则，

由余弦定理，即，

整理得：，且，解得，则；

若为钝角，则，

由余弦定理，即，

整理得：，且，解得，则；

综上所述：此时存在但不唯一确定，不合题意.

若条件③：由题意可得：，即，

解得，则，

由三角形的性质可知此时存在且唯一确定，

由余弦定理可得，

则，可得，

∴的面积.

18．一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入（单位：千万元）对每件产品成本（单位：元）的影响，对近年的年技术创新投入和每件产品成本的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：，，，，.

(1)根据散点图可知，可用函数模型拟合与的关系，试建立关于的回归方程；

(2)已知该产品的年销售额（单位：千万元）与每件产品成本的关系为.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入为何值时，年利润的预报值最大？

（注：年利润=年销售额一年投入成本）

参考公式：对于一组数据、、、，其回归直线的斜率和截距的最小乘估计分别为：，.

【答案】(1)

(2)当年技术创新投入为千万元时，年利润的预报值取最大值

【分析】（1）令，可得出关于的线性回归方程为，利用最小二乘法可求出、的值，即可得出关于的回归方程；

（2）由可得，可计算出年利润关于的函数关系式，结合二次函数的基本性质可求得的最小值及其对应的值.

【详解】（1）解：令，则关于的线性回归方程为，

由题意可得，

，则，

所以，关于的回归方程为.

（2）解：由可得，

年利润

，

当时，年利润取得最大值，此时，

所以，当年技术创新投入为千万元时，年利润的预报值取最大值.

19．如图，已知正方体的棱长为分别为的中点.

(1)已知点满足，求证四点共面；

(2)求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）作中点，连接，根据是平行四边形和为中位线，得到证明；

（2）设到平面的距离为和到平面的距离为，利用求解.

【详解】（1）证明：如图，

作中点，连接，

因为是平行四边形，

所以，

在中，为中位线，故，

所以，故四点共面．

（2）设到平面的距离为，点到平面的距离为，

在中，．

故的面积．

同理，由三棱锥的体积，

所以，得．

故到平面的距离为．

20．已知椭圆的长轴长为4，A，B是其左、右顶点，M是椭圆上异于A，B的动点，且．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若P为直线上一点，PA，PB分别与椭圆交于C，D两点．

①证明：直线CD过椭圆右焦点；

②椭圆的左焦点为，求的周长是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

【答案】(1)

(2)①证明见解析；②定值为8.

【分析】（1）由题意可得，，，设，可得，进而根据题意即可求解；

（2）①设，联立直线和椭圆方程，求得，，进而得到，，再根据向量共线的定义即可得证；②根据椭圆的定义即可求解.

【详解】（1）由已知得：，，，

设，因为M在椭圆上，所以①

因为，

将①式代入，得，得，

所以椭圆．

（2）①证明：设，则，，

同理可得，，

联立方程，得，，

则．

同理联立方程，可得，，

则.

又椭圆的右焦点为，

所以，，

因为，

说明C，D，三点共线， 即直线CD恒过点．

②周长为定值．因为直线CD恒过点，

根据椭圆的定义，所以的周长为．

21．已知函数，为常数，且.

(1)判断的单调性；

(2)当时，如果存在两个不同的正实数，且，证明：.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）运用导数，分类讨论与时的单调性.

（2）计算的值，结合已知可得，运用的单调性进而可设，运用的单调性及已知条件等量代换将问题转化为求证（），构造函数，运用导数研究其单调性即可求证.

【详解】（1）∵，

∴，，

记，

①当，即时，恒成立，

所以在上恒成立，

所以在上单调递增.

②当，即时，

方程有两个不等实根，且，，

∴，，，单调递增，

，，，单调递减，

，，，单调递增，

综上所述：①当时，在上单调递增，

②当时，在和上单调递增，在上单调递减.

（2）∵，∴，

由（1）可知时，在上单调递增，

故不妨设，

要证：，即证：，

又∵当时，在上单调递增，∴只需证，

又∵，∴只需证：，

即证：，（），

记，，

，

∴当时，恒成立，单调递增，

∴，

∴原命题得证.即.

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．

22．杭州2022年第19届亚运会（The 19th Asian Games Hangzhou 2022），简称“杭州2022年亚运会”，将在中国浙江杭州举行，原定于2022年9月10日至25日举办；2022年7月19日亚洲奥林匹克理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日举办，赛事名称和标识保持不变。某高中体育爱好者为纪念在我国举办的第三次亚运会，借四叶草具有幸福幸运的象征意义，准备设计一枚四叶草徽章捐献给亚运会。如图，在极坐标系Ox中，方程表示的图形为“四叶草”对应的曲线C．

(1)设直线l：与C交于异于O的两点A、B，求线段AB的长；

(2)设P和Q是C上的两点，且，求的最大值．

【答案】(1)9

(2)

【分析】（1）根据题意可先设出A、B两点的极坐标，，分别代入后可得到和，由即可得到线段的长.

（2）可以设出、，代入后利用辅助角公式，整理为，再结合的范围即可求出的最大值.

【详解】（1）设A、B两点的极坐标分别为、，

则，

，

因此，；

（2）根据对称性，不妨设、，

．

∵，则，所以当时，

即，时，．

23．已知．

（1）当m＝－3时，求不等式的解集；

（2）设关于x的不等式的解集为M，且，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用零点分段法，在三段区间上分别得到不等式，即可得解；

（2）转化条件为在上恒成立，进而可得在上恒成立，即可得解.

【详解】（1）当时，，

所以原不等式等价于，

故有或或，

解得或或，

综上，原不等式的解集为；

（2）由题意可得在上恒成立，

即在上恒成立，

所以即在上恒成立，

所以即在上恒成立，

由于，，

所以，即的取值范围是.

【点睛】本题考查了含绝对值不等式的解法及不等式恒成立问题的解决，考查了运算求解能力与分类讨论思想，属于中档题.