2023届江苏省南通中学高三下学期5月高考前练习卷数学试题含答案
展开南通中学2023届高三下学期5月高考前练习卷
数学
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合,则
A. (-∞,1) B. (0,1) C. D. (0,)
2. 已知函数,则
A. B. 1 C. -1 D. 2
3. 若,复数z与在复平面内对应的点分别为A,B,则|AB|=
A. 2 B. 2 C. 3 D. 4
4. 现有茶壶九只,容积从小到大成等差数列,最小的三只茶壶容积之和为0.5升,最大的三只茶壶容积之和为2.5升,则从小到大第5只茶壶的容积为
A. 0.25升 B. 0.5升 C. 1升 D. 1.5升
5. 古希腊人从一对对顶圆锥的截痕中发现了圆锥曲线,并研究了它的一些几何性质。比如,双曲线有如下性质:A,B分别为双曲线的左、右顶点,从C上一点P(异于A,B)向实轴引垂线,垂足为Q,则为常数。若C的离心率为2,则该常数为
A. B. C. D. 3
6. 在平行四边形ABCD中,则
A. -1 B. 1 C. D. 3
7. 正四棱柱中,,M是的中点,点N在棱上,,则平面AMN与侧面的交线长为
A. B. C. D.
8. 已知,若,则
A. B. C. D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9. 某学校高三年级有男生640人,女生360人。为获取该校高三学生的身高信息,采用抽样调查的方法统计样本的指标值(单位:cm),并计算得到男生样本的平均值175,方差为36,女生样本的平均值为165,方差为36,则下列说法正确的是
A. 若男、女样本量分别为64,36,则总样本的平均值为171.4
B. 若男、女样本量分别为64,36,则总样本的方差为36
C. 若男、女的样本量都是50,则总样本的平均值为170
D. 若男、女的样本量都是50,则总样本的方差为61
10. 已知O为坐标原点,过抛物线的焦点F(2,0)作斜率为的弦AB,其中点A在第一象限,则
A. B.
C. D.
11. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理。如图,一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈,筒车的轴心O距离水面的高度为2m。设筒车上的某个盛水桶P到水面的距离为d(单位:m)(在水面下记d为负数),若从盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间,则
A. 当筒车转动5秒时,盛水桶距离水面4m
B. 盛水桶出水后至少经过10秒就可到达最高点
C. 盛水桶第二次距离水面4m时用时15秒
D. 盛水桶入水后至少需要20秒才可浮出水面
12. 在边长为2的菱形ABCD中,,将菱形ABCD沿对角线BD折成空间四边形A'BCD,使得。设E,F分别为棱BC,A'D的中点,则
B.直线A'C与EF所成角的余弦值为
C. 直线A'C与EF的距离为 D. 四面体A'BCD的外接球的表面积为4π
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.的展开式中含项的系数为___________。
14. 已知圆与圆交于A,B两点,若直线AB的倾斜角为,则|AB|=___________。
15. 已知,则cosα=___________。
16. 已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,f(x)是偶函数,是奇函数,且,则g(-1)=___________; ___________。
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,点D在线段AC上,。
(1)若,求b;
(2)若,求角A。
18.(12分)
已知数列{}是公差为3的等差数列,数列{}是公比为2的等比数列,且满足。 将数列{}与{}的公共项按照由小到大的顺序排列,构成新数列{}。
(1)证明:
(2)求数列{}的前n项和。
19.(12分)
某微型电子集成系统可安装3个或5个元件,每个元件正常工作的概率均为且各元件是否正常工作相互独立。若有超过一半的元件正常工作,则该系统能稳定工作。
(1)若该系统安装了3个元件,且,求它稳定工作的概率;
(2)试比较安装了5个元件的系统与安装了3个元件的系统哪个更稳定。
20.(12分)
如图,在三棱台中,,四棱锥A-的体积为。
(1)求三棱锥A-的体积;
(2)若△ABC是边长为2的正三角形,平面⊥平面ABC,平面平面ABC,求二面角的正弦值。
21.(12分)已知椭圆的左、右顶点是双曲线的顶点,的焦点到的渐近线的距离为。直线与相交于A,B两点,
(1)求证:
(2)若直线l与相交于P,Q两点,求|PQ|的取值范围。
22.(12分)已知函数
(1)若,证明:曲线与曲线有且仅有一条公切线;
(2)当时,,求a的取值范围。
南通市2023届高三下学期5月高考前练习卷
数学参考答案及评分建议
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合,则
A. (-∞,1) B. (0,1) C. D. (0,)
【答案】D
2. 已知函数,则
A. B. 1 C. -1 D. 2
【答案】C
3. 若,复数z与在复平面内对应的点分别为A,B,则|AB|=
A. 2 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
4. 现有茶壶九只,容积从小到大成等差数列,最小的三只茶壶容积之和为0.5升,最大的三只茶壶容积之和为2.5升,则从小到大第5只茶壶的容积为
A. 0.25升 B. 0.5升 C. 1升 D. 1.5升
【答案】B
5. 古希腊人从一对对顶圆锥的截痕中发现了圆锥曲线,并研究了它的一些几何性质。比如,双曲线有如下性质:A,B分别为双曲线的左、右顶点,从C上一点P(异于A,B)向实轴引垂线,垂足为Q,则为常数。若C的离心率为2,则该常数为
A. B. C. D. 3
【答案】D
6. 在平行四边形ABCD中,则
A. -1 B. 1 C. D. 3
【答案】B
7. 正四棱柱中,,M是的中点,点N在棱上,,则平面AMN与侧面的交线长为
A. B. C. D.
【答案】C
8. 已知,若,则
A. B. C. D.
【答案】B
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9. 某学校高三年级有男生640人,女生360人。为获取该校高三学生的身高信息,采用抽样调查的方法统计样本的指标值(单位:cm),并计算得到男生样本的平均值175,方差为36,女生样本的平均值为165,方差为36,则下列说法正确的是
A. 若男、女样本量分别为64,36,则总样本的平均值为171.4
B. 若男、女样本量分别为64,36,则总样本的方差为36
C. 若男、女的样本量都是50,则总样本的平均值为170
D. 若男、女的样本量都是50,则总样本的方差为61
【答案】ACD
10. 已知O为坐标原点,过抛物线的焦点F(2,0)作斜率为的弦AB,其中点A在第一象限,则
A. B.
C. D.
【答案】BD
11. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理。如图,一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈,筒车的轴心O距离水面的高度为2m。设筒车上的某个盛水桶P到水面的距离为d(单位:m)(在水面下记d为负数),若从盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间,则
A. 当筒车转动5秒时,盛水桶距离水面4m
B. 盛水桶出水后至少经过10秒就可到达最高点
C. 盛水桶第二次距离水面4m时用时15秒
D. 盛水桶入水后至少需要20秒才可浮出水面
【答案】ABC
12. 在边长为2的菱形ABCD中,,将菱形ABCD沿对角线BD折成空间四边形A'BCD,使得。设E,F分别为棱BC,A'D的中点,则
B.直线A'C与EF所成角的余弦值为
C. 直线A'C与EF的距离为 D. 四面体A'BCD的外接球的表面积为4π
【答案】AC
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.的展开式中含项的系数为___________。
【答案】3
14. 已知圆与圆交于A,B两点,若直线AB的倾斜角为,则|AB|=___________。
【答案】
15. 已知,则cosα=___________。
【答案】
16. 已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,f(x)是偶函数,是奇函数,且,则g(-1)=___________; ___________。
【答案】-1;-2021
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,点D在线段AC上,。
(1)若,求b;
(2)若,求角A。
【解】(1)因为
所以。
在△ABD中,由余弦定理,得
,①
在△BCD中,由余弦定理,得
。②。。。。。。2分
因为,所以
由,得,即。
又因为,所以。。。。。。5分
(2)设,则,
因为,所以,所以。
在△ABD中,由正弦定理,得
即
所以。。。。。。7分
即
即,所以
因为,所以
所以。。。。。。10分
18.(12分)
已知数列{}是公差为3的等差数列,数列{}是公比为2的等比数列,且满足。 将数列{}与{}的公共项按照由小到大的顺序排列,构成新数列{}。
(1)证明:
(2)求数列{}的前n项和。
【解】(1)由,得,
由,得,
解得,
因为数列{}的公差为3,数列{}的公比为2,
所以。。。。。。2分
不是数列{}的项,是数列{}的第1项。
设,则
所以不是数列{}的项。 。。。。。。4分
因为,
所以是数列{}的项。
所以。。。。。。6分
(2)由(1)可知,。
=。。。。。。8分
所以
所以。 。。。。。。12分
19.(12分)
某微型电子集成系统可安装3个或5个元件,每个元件正常工作的概率均为且各元件是否正常工作相互独立。若有超过一半的元件正常工作,则该系统能稳定工作。
(1)若该系统安装了3个元件,且,求它稳定工作的概率;
(2)试比较安装了5个元件的系统与安装了3个元件的系统哪个更稳定。
【解】(1)设安装3个元件的系统稳定工作的概率为P,则
3个元件中至少2个元件正常工作。
又因为各元件是否正常工作相互独立,
所以.
答:安装3个元件的系统稳定工作的概率为。 。。。。。。4分
(2)由(1)知,安装3个元件的系统稳定工作的概率。 。。。。。。6分
设安装5个元件的系统稳定工作的概率为P',则
。 。。。。。。8分
所以。 。。。。。。10分
当时,,两个系统工作的稳定性相同;
当时,,3个元件的系统比5个元件的系统更稳定;
当时,,5个元件的系统比3个元件的系统更稳定。。。。。。。12分
20.(12分)
如图,在三棱台中,,四棱锥A-的体积为。
(1)求三棱锥A-的体积;
(2)若△ABC是边长为2的正三角形,平面⊥平面ABC,平面平面ABC,求二面角的正弦值。
【解】(1)连结。
因为三棱台中,,
所以,所以,
所以
因为三棱台中,,
所以,所以
又因为
所以。。。。。。2分
又因为
所以。。。。。。4分
(2)取AB中点D,AC中点E,连结CD、BE,交于点F,
因为△ABC是正三角形,E是AC中点,所以。
又因为平面⊥平面ABC,
平面平面,BE⊂平面ABC,
所以BE⊥平面。
又因为⊂平面,所以,
同理,
又因为,CD,BE⊂平面ABC,
所以⊥平面ABC. 。。。。。。6分
在平面ABC内,过点A作,
以A为原点,AH为x轴,AC为y轴,为z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
因为,
所以。
由(1)可知,故。
所以A(0,0,0),B(,1,0),C(0,2,0),
(,,1),(0,1,1),
。。。。。。8分
设平面的一个法向量为
由得不妨取
设平面的一个法向量为
由,得,不妨取。。。。。。10分
设二面角的平面角为θ,
则
因为,且,所以
即二面角的正弦值为。 。。。。。。12分
21.(12分)已知椭圆的左、右顶点是双曲线的顶点,的焦点到的渐近线的距离为。直线与相交于A,B两点,
(1)求证:
(2)若直线l与相交于P,Q两点,求|PQ|的取值范围。
【解】(1)由题意得椭圆焦点坐标为(1,0),双曲线渐近线方程为,
所以,解得
所以的方程为。。。。。。2分
由消y,得
所以得,
设A(,),B(,),则。。。。。。4分
所以
化简得,得证。 。。。。。。6分
(2)由消x,得,
所以,即
结合,及,可得
设P(,),Q(,),则。。。。。。8分
所以
所以。。。。。。10分
设,则,所以
所以
所以。。。。。。12分
22.(12分)已知函数
(1)若,证明:曲线与曲线有且仅有一条公切线;
(2)当时,,求a的取值范围。
【解】(1)当时,
所以
所以曲线在点()处的切线方程为
,即,
曲线在点(,)处的切线方程为
,
即。。。。。。2分
令得
消去,整理得
所以 。。。。。。4分
设,则
所以h(x)在(0,+∞)上单调递增,
又,
所以h(x)在(0,+∞)上有唯一的零点,
所以方程有唯一的解
所以曲线与曲线有且仅有一条公切线。 。。。。。。6分
(2)因为对恒成立,
所以在上恒成立,
所以在上恒成立,
令
,
则当时,G(x)单调递减,
当时,,G(x)单调递增,
当时,单调递减,
所以在处G(x)有极小值,在处G(x)有极大值。 。。。。。。8分
①当,即时,由解得,舍去。 。。。。。。10分
②当,即时,则,
所以,由 ,解得
因为,所以,所以
所以
所以
综上,a的取值范围为。。。。。。12分
江苏省南通市2023届高三高考前练习数学试题: 这是一份江苏省南通市2023届高三高考前练习数学试题,共12页。
江苏省南通市2021届高三下学期5月考前练习卷(四模)数学试题: 这是一份江苏省南通市2021届高三下学期5月考前练习卷(四模)数学试题,共6页。
江苏省南通市2021届高三下学期5月考前练习卷(四模)数学试题 答案: 这是一份江苏省南通市2021届高三下学期5月考前练习卷(四模)数学试题 答案,共10页。