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    2023届江苏省南通中学高三下学期5月高考前练习卷数学试题含答案

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    这是一份2023届江苏省南通中学高三下学期5月高考前练习卷数学试题含答案,共21页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    南通中学2023届高三下学期5月高考前练习卷

    数学

    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

    1. 已知集合,则

    A. (-∞1  B. (01   C.  D. (0

    2. 已知函数,

    A  B1    C-1   D2

    3. ,复数z在复平面内对应的点分别为AB,则|AB|=

    A2    B2  C3     D4

    4. 现有茶壶九只,容积从小到大成等差数列,最小的三只茶壶容积之和为0.5升,最大的三只茶壶容积之和为2.5升,则从小到大第5只茶壶的容积为

    A0.25  B0.5   C1   D1.5

    5. 古希腊人从一对对顶圆锥的截痕中发现了圆锥曲线,并研究了它的一些几何性质。比如,双曲线有如下性质:AB分别为双曲线的左、右顶点,从C上一点P(异于AB)向实轴引垂线,垂足为Q,则为常数。若C的离心率为2,则该常数为

    A   B   C   D3

    6. 在平行四边形ABCD中,

    A-1   B1    C   D3

    7. 正四棱柱中,M的中点,点N在棱上,,则平面AMN与侧面的交线长为

    A   B  C  D

    8. 已知,若,则

    A   B   C   D.

    二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。

    9. 某学校高三年级有男生640人,女生360人。为获取该校高三学生的身高信息,采用抽样调查的方法统计样本的指标值(单位:cm),并计算得到男生样本的平均值175,方差为36,女生样本的平均值为165,方差为36,则下列说法正确的是

    A. 若男、女样本量分别为6436,则总样本的平均值为171.4

    B. 若男、女样本量分别为6436,则总样本的方差为36

    C. 若男、女的样本量都是50,则总样本的平均值为170

    D. 若男、女的样本量都是50,则总样本的方差为61

    10. 已知O为坐标原点,过抛物线的焦点F20)作斜率为的弦AB,其中点A在第一象限,则

    A      B

    C       D.

    11. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理。如图,一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈,筒车的轴心O距离水面的高度为2m。设筒车上的某个盛水桶P到水面的距离为d(单位:m)(在水面下记d为负数),若从盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间,则

    A. 当筒车转动5秒时,盛水桶距离水面4m

    B. 盛水桶出水后至少经过10秒就可到达最高点

    C. 盛水桶第二次距离水面4m时用时15

    D. 盛水桶入水后至少需要20秒才可浮出水面

    12. 在边长为2的菱形ABCD中,,将菱形ABCD沿对角线BD折成空间四边形A'BCD,使得。设EF分别为棱BCA'D的中点,则

          B.直线A'CEF所成角的余弦值为

    C. 直线A'CEF的距离为  D. 四面体A'BCD的外接球的表面积为

    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

    13.的展开式中含项的系数为___________

    14. 已知圆与圆交于AB两点,若直线AB的倾斜角为,则|AB|=___________

    15. 已知,则cosα=___________

    16. 已知函数fx),gx)的定义域均为Rfx)是偶函数,是奇函数,且,则g-1=______________________

    四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

    17.10分)

    ABC的内角ABC的对边分别为abc,点D在线段AC上,

    1)若,求b

    2)若,求角A

    18.12分)

    已知数列{}是公差为3的等差数列,数列{}是公比为2的等比数列,且满足。 将数列{}{}的公共项按照由小到大的顺序排列,构成新数列{}

    1)证明:

    2)求数列{}的前n项和

    19.12分)

    某微型电子集成系统可安装3个或5个元件,每个元件正常工作的概率均为且各元件是否正常工作相互独立。若有超过一半的元件正常工作,则该系统能稳定工作。

    1)若该系统安装了3个元件,且,求它稳定工作的概率;

    2)试比较安装了5个元件的系统与安装了3个元件的系统哪个更稳定。

    20.12分)

    如图,在三棱台中,,四棱锥A-的体积为

    1)求三棱锥A-的体积;

    2)若ABC是边长为2的正三角形,平面平面ABC,平面平面ABC,求二面角的正弦值。

    21.12分)已知椭圆的左、右顶点是双曲线的顶点,的焦点到的渐近线的距离为。直线相交于AB两点,

    1)求证:

    2)若直线l相交于PQ两点,求|PQ|的取值范围。

    22.12分)已知函数

    1)若,证明:曲线与曲线有且仅有一条公切线;

    2)当时,,求a的取值范围。

     


     

    南通市2023届高三下学期5月高考前练习卷

    数学参考答案及评分建议

    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

    1. 已知集合,则

    A. (-∞1  B. (01   C.  D. (0

    【答案】D

    2. 已知函数,

    A  B1    C-1   D2

    【答案】C

    3. ,复数z在复平面内对应的点分别为AB,则|AB|=

    A2    B2  C3     D4

    【答案】A

    4. 现有茶壶九只,容积从小到大成等差数列,最小的三只茶壶容积之和为0.5升,最大的三只茶壶容积之和为2.5升,则从小到大第5只茶壶的容积为

    A0.25  B0.5   C1   D1.5

    【答案】B

    5. 古希腊人从一对对顶圆锥的截痕中发现了圆锥曲线,并研究了它的一些几何性质。比如,双曲线有如下性质:AB分别为双曲线的左、右顶点,从C上一点P(异于AB)向实轴引垂线,垂足为Q,则为常数。若C的离心率为2,则该常数为

    A   B   C   D3

    【答案】D

    6. 在平行四边形ABCD中,

    A-1   B1    C   D3

    【答案】B

    7. 正四棱柱中,M的中点,点N在棱上,,则平面AMN与侧面的交线长为

    A   B  C  D

    【答案】C

    8. 已知,若,则

    A   B   C   D.

    【答案】B

    二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。

    9. 某学校高三年级有男生640人,女生360人。为获取该校高三学生的身高信息,采用抽样调查的方法统计样本的指标值(单位:cm),并计算得到男生样本的平均值175,方差为36,女生样本的平均值为165,方差为36,则下列说法正确的是

    A. 若男、女样本量分别为6436,则总样本的平均值为171.4

    B. 若男、女样本量分别为6436,则总样本的方差为36

    C. 若男、女的样本量都是50,则总样本的平均值为170

    D. 若男、女的样本量都是50,则总样本的方差为61

    【答案】ACD

    10. 已知O为坐标原点,过抛物线的焦点F20)作斜率为的弦AB,其中点A在第一象限,则

    A      B

    C       D.

    【答案】BD

    11. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理。如图,一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈,筒车的轴心O距离水面的高度为2m。设筒车上的某个盛水桶P到水面的距离为d(单位:m)(在水面下记d为负数),若从盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间,则

    A. 当筒车转动5秒时,盛水桶距离水面4m

    B. 盛水桶出水后至少经过10秒就可到达最高点

    C. 盛水桶第二次距离水面4m时用时15

    D. 盛水桶入水后至少需要20秒才可浮出水面

    【答案】ABC

    12. 在边长为2的菱形ABCD中,,将菱形ABCD沿对角线BD折成空间四边形A'BCD,使得。设EF分别为棱BCA'D的中点,则

          B.直线A'CEF所成角的余弦值为

    C. 直线A'CEF的距离为  D. 四面体A'BCD的外接球的表面积为

    【答案】AC

    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

    13.的展开式中含项的系数为___________

    【答案】3

    14. 已知圆与圆交于AB两点,若直线AB的倾斜角为,则|AB|=___________

    【答案】

    15. 已知,则cosα=___________

    【答案】

    16. 已知函数fx),gx)的定义域均为Rfx)是偶函数,是奇函数,且,则g-1=______________________

    【答案】-1-2021

    四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

    17.10分)

    ABC的内角ABC的对边分别为abc,点D在线段AC上,

    1)若,求b

    2)若,求角A

    【解】(1)因为

    所以

    ABD中,由余弦定理,得

    BCD中,由余弦定理,得

    。。。。。。2

    因为,所以

    ,得,即

    又因为,所以。。。。。。5

    2)设,则

    因为,所以,所以

    ABD中,由正弦定理,得

    所以。。。。。。7

    ,所以

    因为,所以

    所以。。。。。。10

    18.12分)

    已知数列{}是公差为3的等差数列,数列{}是公比为2的等比数列,且满足。 将数列{}{}的公共项按照由小到大的顺序排列,构成新数列{}

    1)证明:

    2)求数列{}的前n项和

    【解】(1)由,得

    ,得

    解得,

    因为数列{}的公差为3,数列{}的公比为2

    所以。。。。。。2

    不是数列{}的项,是数列{}的第1项。

    ,则

    所以不是数列{}的项。 。。。。。。4

    因为

    所以是数列{}的项。

    所以。。。。。。6

    2)由(1)可知,

    =。。。。。。8

    所以

    所以。 。。。。。。12

    19.12分)

    某微型电子集成系统可安装3个或5个元件,每个元件正常工作的概率均为且各元件是否正常工作相互独立。若有超过一半的元件正常工作,则该系统能稳定工作。

    1)若该系统安装了3个元件,且,求它稳定工作的概率;

    2)试比较安装了5个元件的系统与安装了3个元件的系统哪个更稳定。

    【解】(1)设安装3个元件的系统稳定工作的概率为P,则

    3个元件中至少2个元件正常工作。

    又因为各元件是否正常工作相互独立,

    所以.

    答:安装3个元件的系统稳定工作的概率为。 。。。。。。4

    2)由(1)知,安装3个元件的系统稳定工作的概率。 。。。。。。6

    设安装5个元件的系统稳定工作的概率为P',则

    。 。。。。。。8

    所以。 。。。。。。10

    时,,两个系统工作的稳定性相同;

    时,3个元件的系统比5个元件的系统更稳定;

     

    时,5个元件的系统比3个元件的系统更稳定。。。。。。。12

    20.12分)

    如图,在三棱台中,,四棱锥A-的体积为

    1)求三棱锥A-的体积;

    2)若ABC是边长为2的正三角形,平面平面ABC,平面平面ABC,求二面角的正弦值。

    【解】(1)连结

    因为三棱台中,

    所以,所以

    所以

    因为三棱台中,

    所以,所以

    又因为

    所以。。。。。。2

    又因为

    所以。。。。。。4

    2)取AB中点DAC中点E,连结CDBE,交于点F

    因为ABC是正三角形,EAC中点,所以

    又因为平面平面ABC

    平面平面BE平面ABC

    所以BE平面

    又因为平面,所以

    同理,

    又因为CDBE平面ABC

    所以平面ABC. 。。。。。。6

    在平面ABC内,过点A

    A为原点,AHx轴,ACy轴,z轴,

    建立如图所示的空间直角坐标系

    因为

    所以

    由(1)可知,故

    所以A000),B10),C020),

    1),011),

    。。。。。。8

    设平面的一个法向量为

    不妨取

    设平面的一个法向量为

    ,得,不妨取。。。。。。10

    设二面角的平面角为θ

    因为,且,所以

    即二面角的正弦值为。 。。。。。。12

    21.12分)已知椭圆的左、右顶点是双曲线的顶点,的焦点到的渐近线的距离为。直线相交于AB两点,

    1)求证:

    2)若直线l相交于PQ两点,求|PQ|的取值范围。

    【解】(1)由题意得椭圆焦点坐标为(10),双曲线渐近线方程为

    所以,解得

    所以的方程为。。。。。。2

    y,得

    所以

    A),B),则。。。。。。4

    所以

    化简得,得证。 。。。。。。6

    2)由x,得

    所以,即

    结合,及,可得

    P),Q),则。。。。。。8

    所以

    所以。。。。。。10

    ,则,所以

    所以

    所以。。。。。。12

    22.12分)已知函数

    1)若,证明:曲线与曲线有且仅有一条公切线;

    2)当时,,求a的取值范围。

    【解】(1)当时,

    所以

    所以曲线在点()处的切线方程为

    ,即

    曲线在点()处的切线方程为

    。。。。。。2

    消去,整理得

    所以 。。。。。。4

    ,则

    所以hx)在(0+∞)上单调递增,

    所以hx)在(0+∞)上有唯一的零点

    所以方程有唯一的解

    所以曲线与曲线有且仅有一条公切线。 。。。。。。6

    2)因为对恒成立,

    所以上恒成立,

    所以上恒成立,

    则当Gx)单调递减,

    时,Gx)单调递增,

    时,单调递减,

    所以在Gx)有极小值,在Gx)有极大值。 。。。。。。8

    ,即时,由解得,舍去。 。。。。。。10

    ,即时,则

    所以,由 ,解得

    因为,所以,所以

    所以

    所以

    综上,a的取值范围为。。。。。。12


     

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