2023届北京市海淀区高三下学期5月月考模拟数学试题含解析

2023届北京市海淀区高三下学期5月月考模拟数学试题

一、单选题

1．方程在区间上的解的个数为

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】D

【分析】将函数解的个数通过构造函数法转化为在对应区间交点个数，原式可变形为，分别构造和，结合图像，采用数形结合法找出交点个数即可

【详解】由得，，分别画出和在的图像，如图：

两函数图像有8个交点，故方程在区间上的解的个数为8个

故选D

【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，数形结合求函数的交点，属于基础题

2．已知直线平行于平面，平面垂直于平面，则以下关于直线与平面的位置关系的表述，正确的是（    ）

A．与不平行 B．与不相交

C．不在平面上 D．在上，与平行，与相交都有可能

【答案】D

【分析】以正方体为载体能推导出直线平行于平面，平面垂直于平面，从而直线与平面相交、平行或在平面内.

【详解】如下图所示：

在正方体中，平面平面，

平面，平面；

平面，与平面相交；

平面，平面.

所以，直线平行于平面，平面垂直于平面，

则直线与平面相交、平行或在平面内，故选D.

【点睛】本题考查线面关系有关命题真假的判断，可以利用简单几何体作载体来进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.

3．设三角形是位于平面直角坐标系的第一象限中的一个不等边三角形，该平面上的动点满足：，已知动点的轨迹是一个圆，则该圆的圆心位于三角形的

A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心

【答案】C

【分析】可设， ， ，由列出关系式，由的轨迹为圆，求出圆心坐标即可

【详解】设， ， ，由得：

展开整理，得．

．

圆的圆心坐标为，，为三角形的重心．

故选

【点睛】本题考查圆的轨迹方程的求法，重心坐标公式的应用，计算量偏大，化简时需进行整体代换，简化运算难度，属于中档题

4．已知与皆是定义域、值域均为R的函数，若对任意，恒成立，且与的反函数、均存在，命题P：“对任意，恒成立”，命题Q：“函数的反函数一定存在”，以下关于这两个命题的真假判断，正确的是（    ）

A．命题P真，命题Q真 B．命题P真，命题Q假

C．命题P假，命题Q真 D．命题P假，命题Q假

【答案】D

【分析】利用反函数的定义和原函数与反函数关于直线的对称性，通过列举的方式加以说明即可

【详解】由题，可设，与，与

其反函数，均存在，

命题：对任意，恒成立”

由图象关于直线对称可知是错误的．

如图：

对命题：

可 设，

令，存在，根据反函数特征，若函数存在反函数，

则不能存在一个值对应两个的情况，说明不存在反函数

故命题假，命题假

故选：D．

二、填空题

5．函数的定义域是_______.

【答案】

【详解】由 得 ,所以函数的定义域是,故答案为.

6．已知一个圆锥的底面圆的半径为1，体积为，则该圆锥的侧面积为__________．

【答案】

【详解】试题分析：∵圆锥的底面圆的半径为1，体积为，∴圆锥的高为，∴圆锥的母线为，∴圆锥的侧面积为

【解析】本题考查了圆锥的性质

点评：解决此类问题的关键是掌握圆锥中的体积和侧面积公式，属基础题

7．等差数列中，，则其前12项之和的值为______

【答案】

【分析】利用等差数列的通项公式、前n项和公式直接求解．

【详解】∵等差数列{an}中，a3+a10＝25，

∴其前12项之和S126（a3+a10）＝6×25＝150．

故答案为150．

【点睛】本题考查等差数列的前n项和的公式，考查等差数列的性质的应用，考查运算求解能力，是基础题．

8．幂函数的图象经过点，则它的单调减区间为________

【答案】

【分析】将点代入,解得,从而可得幂函数的单调递减区间.

【详解】依题意得,,即,

所以,

所以的解析式为:,

所以单调递减区间为.

故答案为: .

【点睛】本题考查了幂函数的单调区间,属于基础题.

9．三角形中，，，边的长为，则边的长为________.

【答案】4

【分析】利用三角形内角和定理先求的值，再根据正弦定理求得

【详解】，，

，

又，由正弦定理：，可得：

故答案为4

【点睛】本题考查三角形内角和定理，正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题

10．已知是实数，方程的两根在复平面上对应的点分别为和，若三角形是等腰直角三角形，则________.

【答案】2

【分析】由题可知，方程的两根应为虚根，可设方程的两复根为，，根据条件可得，列方程求解即可

【详解】根据题意设方程的两虚根为，，为实数，

方程的两根在复平面上对应的点分别为和，三角形是等腰直角三角形，

，，

，，

的值为2．

故答案为2．

【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，向量垂直对应的数量积的坐标关系，属于基础题

11．设实数、满足，则的最大值为________

【答案】2

【分析】作出可行域后,观察图象利用直线的纵截距最大找到最优解,代入即可求得.

【详解】作出不等式所表示的平面区域,如图:

令,则,

要使最大,即直线的纵截距最大,观察图象可知,最优解为,

所以的最大值为.

故答案为:2

【点睛】本题考查了利用线性规划求目标函数的最大值.

12．已知偶函数的定义域为，且当时，，则不等式的解为________.

【答案】

【分析】由函数是偶函数，时，，先求出时的，再根据二次不等式求解即可

【详解】偶函数的定义域为，且当时，，

当时，，，

，

当时，原不等式可化为，可解得：，所以；

当时，原不等式可化为，即，由可得恒成立，解得，

综上所述，，

故答案为

【点睛】本题考查偶函数对称区间上解析式的求解，二次不等式的解法，体现了分段函数分类讨论的思想，易错点为分类讨论过程中所求解集忽略分类讨论的大前提，直接书写答案

13．等比数列的首项为1，公比为3，则极限的值为_______.

【答案】

【分析】分别求出前项和与对应的前项的和，再化简求极限即可

【详解】等比数列的首项为1，公比为3，

，，

，

，

故答案为

【点睛】本题考查等比数列的前项，数列的极限的求法，属于基础题

14．甲乙两人分别投掷两颗骰子与一颗骰子，设甲的两颗骰子的点数分别为与，乙的骰子的点数为，则掷出的点数满足的概率为________（用最简分数表示）.

【答案】

【分析】分析可知，基本事件总数，利用列举法表示掷出的点数满足对应的基本事件有30个，进而求得的概率

【详解】由题可知，基本事件总数，

掷出的点数满足包含的基本事件，，有：

当时，有：，2，，，1，，，3，，，2，，，4，，

，3，，，5，，，4，，，6，，，5，，共10个；

当时，有：，3，，，1，，，4，，，2，，，5，，

，3，，，4，，，6，，共8个；

当时，有，4，，，1，，，5，，，2，，，6，，，3，，共6个；

当时，有，5，，，1，，，6，，，2，，共4个；

当时，有，6，，，1，，共2个；

合计共30个，

掷出的点数满足的概率为．

故答案为．

【点睛】本题考查古典概型的基本求法、列举法表示概率事件，属于基础题

15．已知是实数，在的二项展开式中，第项的系数为（），若，则的取值范围为________.

【答案】

【分析】若要满足， 即，即，分别对进行分类讨论，利用不等式的性质化简，即可求得的取值范围

【详解】由题可得，所以，所以

当时，必然会出现当为奇数时，即，，而，此时与相矛盾，故舍去

当时，，，

又，所以的取值范围为，

综上所述，

故答案为．

【点睛】本题考查二项式定理基本概念，不等式恒成立问题，属于中档题

16．设是平面直角坐标系中的一个正八边形，点的坐标为（），集合存在，使得，则集合的元素个数可能为________（写出所有可能的值）.

【答案】4或5或8

【分析】根据正八边形特征可分为三种情况研究集合的元素个数．

【详解】如图所示：

①如果正八边形边轴，或正八边形隔两个顶点的对角线轴，如轴时，可得集合，，，，此时的元素个数为4．

②如果正八边形隔一个顶点的对角线轴，或正八边形隔三个顶点的对角线轴，如轴时，可得集合，，，，，此时的元素个数为5．

③如果正八边形边与对角线都与轴不平行时，可得集合，，，，，，，，此时的元素个数为8．

综上可得：集合的元素个数可能为4或5或8．

故答案为4或5或8．

【点睛】本题考查集合中元素的特征、正八边形特征、分类讨论方法，图形推理能力，属于中档题

三、解答题

17．如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1，高为2的圆锥，下部是一个底面半径为1，高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合，点P是圆锥的顶点，AB是圆柱下底面的一条直径，AA1、BB1是圆柱的两条母线，C是弧AB的中点.

（1）求异面直线PA1与BC所成的角的大小；

（2）求点B1到平面PAC的距离.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出异面直线与所成的角的大小即可

（2）求出平面的法向量，利用向量法求出点到平面的距离

【详解】（1）根据题意可得平面, C是弧AB的中点,则

则以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图

则，， ，，

， ，

，

异面直线与所成的角的大小为．

（2）， ， ， ， ，

设平面的法向量，则，取，得，

点到平面的距离为：．

【点睛】方法点睛：向量法求解空间几何问题的步骤：建、设、求、算、取

1、建：建立空间直角坐标系，以三条互相垂直的直线的交点为原点，没有三条垂线时需做辅助线；建立右手直角坐标系，尽可能的使得较多的关键点落在坐标轴或坐标平面内.

2、设：设出所需的点的坐标，得出所需的向量坐标.

3、求：求出所需平面的法向量

4、算：运用向量的数量积运算，验证平行、垂直，利用线面角公式求线面角，或求出两个平面的法向量的夹角的余弦值

5、取：根据题意，或二面角的范围，得出答案.

18．已知、是实常数，.

（1）当，时，求函数的最小正周期、单调增区间与最大值；

（2）是否存在，使得是与有关的常数函数（即的值与的取值无关）？若存在，求出所有满足条件的，若不存在，说明理由.

【答案】（1），单调递增区间是，，最大值是，当且仅当；（2）存在，.

【分析】（1）将，代入化简的表达式，求出最小正周期、单调增区间和最大值即可；

（2）根据（1）中化简的的解析式分析，当时，满足条件

【详解】

，

（1）当，时，，

的周期，当从时，最大值为，

由，得

，

的单调增区间为，

（2），

显然当，即时，的值与的取值无关，

存在，使得是与有关的常数函数．

【点睛】本题考查行列式的简单计算，三角函数的化简求值，三角函数的图象与性质，属于基础题

19．已知是实常数，，.

（1）当时，判断函数在区间上的单调性，并说明理由；

（2）写出一个的值，使得在区间上有至少两个不同的解，并严格证明你的结论.

【答案】（1）在区间，上的单调递增（2）当时，在区间上有至少两个不同的解，证明见详解

【分析】（1）利用函数增减性的判断方法证明即可；

（2）当时满足，在区间上有至少两个不同的解，利用零点存在定理分别取进行验证即可

【详解】（1）当时，，

设，则

，

其中，

，，

在区间，上的单调递增；

（2）当时，在区间上有至少两个不同的解，证明如下：

，在函数图像连续，利用零点存在定理，分别令

，

，故在，至少存在一个零点

同理可得：

，，

故在，至少存在一个零点

在区间上有至少两个不同的解．

【点睛】本题考查定义法求证函数单调性，零点存在定理的具体应用，合理赋值是应用零点存在定理解题的关键，属于中档题

20．设抛物线的方程为，其中常数，是抛物线的焦点.

（1）若直线被抛物线所截得的弦长为6，求的值；

（2）设是点关于顶点的对称点，是抛物线上的动点，求的最大值；

（3）设，、是两条互相垂直，且均经过点的直线，与抛物线交于点、，与抛物线交于点、，若点满足，求点的轨迹方程.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）当时，代入抛物线方程，求得，可得弦长，解方程可得；

（2）求得的坐标，设出过的直线为，，联立抛物线方程，若要使取到最大值，则直线和抛物线相切，运用判别式为0，求得倾斜角，可得所求最大值；

（3）求得，设，，，，，，，，，设，联立抛物线方程，运用韦达定理和两直线垂直斜率之积为-1的条件，结合向量的坐标表示，和消元法，可求得轨迹方程

【详解】（1）由可得，可得，解得；

（2）是点，关于顶点的对称点，可得，，

设过的直线为，，

联立抛物线方程可得，

由直线和抛物线相切可得△，解得，

可取，可得切线的倾斜角为，

由抛物线的定义可得，而的最小值为，

的最大值为；

（3）由，可得，设，，，，，，，，，

设，联立抛物线，可得，

即有，，

由两直线垂直的条件，可将换为，可得

，，

点满足，

可得，，，

即为①，

②，

联立①②式消元可得，

则的轨迹方程为

【点睛】本题考查抛物线的定义、方程、性质，直线和抛物线的位置关系，判别式和韦达定理的具体运用，向量的坐标表示，运算及化简求值能力，属于中档题

21．设各项均为整数的无穷数列满足：，且对所有，均成立.

（1）写出的所有可能值（不需要写计算过程）；

（2）若是公差为1的等差数列，求的通项公式；

（3）证明：存在满足条件的数列，使得在该数列中，有无穷多项为2019.

【答案】（1），，，1，3，5，7；（2），；（3）证明见解析.

【分析】（1）通过列举法表示出所有可能值

（2）分析可知表示的是原数列中的奇数项，求得奇数项的通项公式，再利用相邻两项差的绝对值的关系构造关系式解出偶数项，进而求得通项

（3）可利用（2）中的数列，构造一个循环数列，则可证明循环数列中存在无穷多项为2019

【详解】（1），，，1，3，5，7；

（2）是公差为1的等差数列，

数列的所有奇数项为公差为1的等差数列，

当时，

当时，由可知：，即

解得：，；

（3）由（2）可知存在一个数列使得奇数项为从1开始的连续自然数，则易知，

然后自4037项开始，构造奇数项为公差为的等差数列，由（2）可知，

当，时，

当时，由可知

即，解得：

则当奇数项取至1时，重复第一段的数列，得到一个周期数列，在此周期数列中，存在无穷多项为2019，即可得证．

【点睛】本题考查数列递推公式的应用，数列通项公式的求法，构造数列法在循环数列中的应用，解题关键在于能通过（2）想到去构造一个循环数列，以此来解决出现无穷多项为2019的数出现的问题，试题（1）（2）偏向于基础考查，（3）的难度偏高