2023届上海市曹杨第二中学高三5月模拟（二）数学试题含解析

2023届上海市曹杨第二中学高三5月模拟（二）数学试题

一、填空题

1．已知集合，，则_____________．

【答案】

【分析】分别算出数集与，然后求交集即可.

【详解】因为在时单调递增，则当时，取得最小值为1，

即；

对于，，，即；

.

故答案为：.

2．若复数，则____________．

【答案】

【分析】根据复数四则运算规则计算出z，再根据模的定义计算即可.

【详解】依题意： ， ， ；

故答案为： .

3．的展开式中的系数是______．（用数字作答）

【答案】

【分析】由二项式定理可得的展开式的通项公式，由通项公式结合条件可得答案.

【详解】的展开式的通项公式为，

令可得

所以的展开式中的系数是

故答案为：

4．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的范围是_________.

【答案】

【分析】方程表示焦点在轴上的椭圆的充要条件是，即可求解.

【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，

所以，解得.

故答案为：

5．已知，则的值为_____________．

【答案】/0.5

【分析】由倍角公式以及诱导公式求解即可．

【详解】

故答案为：

6．已知a、b、1、2的中位数为3，平均数为4，则ab=________

【答案】36

【分析】根据中位数定义，和平均数公式，建立关系，求解即可.

【详解】设，1、2、a、b的中位数为3，

则，解得：，

，解得：，所以.

故答案为：36

【点睛】本题考查中位数和平均数的应用，属于基础题.

7．已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，右焦点和圆心重合，则该双曲线的离心率为__________.

【答案】/

【分析】根据题意求得双曲线的渐近线方程为，且右焦点的坐标为，得到，结合两条渐近线均与圆相切，列出方程求得，进而求得的值，即可求得双曲线的离心率.

【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为，即，

又由圆，可得圆心，半径为，

因为右焦点与圆心重合，所以双曲线的右焦点的坐标为，即，

又因为双曲线的两条渐近线均与圆相切，

可得，即，解得，所以，

所以双曲线的离心率为.

故答案为：.

8．一个盒子里有1个红球和2个绿球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出绿球的个数为，则__________.

【答案】

【分析】根据题意，得到随机变量的所有可能取值为，求得相应的概率，利用期望公式，即可求解.

【详解】由题意，随机变量的所有可能取值为，

则；；，

所以期望为.

故答案为：.

9．已知过三点的球的小圆为，其面积为，且，则球的表面积为__________.

【答案】

【分析】小圆为的面积为求出其半径，由正弦定理可得，由面利用勾股定理可得球半径，可得球的表面积.

【详解】因为，所以为等边三角形，

如下图，因为小圆为的面积为，其半径为，所以，

可得，由正弦定理可得，

即，由可得，

则球的表面积为.

故答案为：.

10．函数是偶函数，当时，，则不等式的解集为______.

【答案】或

【分析】由函数的单调性与奇偶性求解．

【详解】因为当时，单调递增，且，

所以等价于.

因为为偶函数，所以，解得或，

即不等式的解集为或

故答案为：或．

11．据调查，某地市民大约有0.03%的人患某种疾病，该地大约有0.1%的市民有超过20年的时间有某种不良饮食习惯，这些人患这种疾病的人约为10%. 现从饮食不良习惯不超过20年的市民中随机抽取1名市民，则他患此疾病的概率约为__________%（精确到0.01）.

【答案】0.02%

【分析】由条件概率及乘法公式计算即可.

【详解】事件为不良习惯不超过20年，则，所以，

又因为，所以

.

故答案为：0.02%

12．已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前9项和为___________________．

【答案】18

【分析】化简函数的解析式，函数图象关于点对称，利用等差中项的性质结合正弦型函数的对称性质可求得结果.

【详解】

，

由，可得，当时，，

故函数的图象关于点对称，

由等差中项的性质可得，

故，

所以，数列的前项和为.

故答案为：18

二、单选题

13．数列中，，对任意 ，若，则 （ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】取，可得出数列是等比数列，求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于的等式，由可求得的值.

【详解】在等式中，令，可得，，

所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，

，

，则，解得.

故选：C.

【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.

14．已知点为的外心，且，则为（    ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定

【答案】C

【分析】取的中点，的中点，的中点，可得，，，分别利用，，和余弦定理可得答案.

【详解】三个角所对的三边分别为，

取的中点，的中点，的中点，

连接，，，则，，，

所以，

，

，

因为，

所以，即，

由余弦定理得，因为，所以，

即为钝角三角形.

故选：C.

15．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，随机选取了4天的用电量与当天气温，由散点图可知用电量y（单位：度）与气温x（单位：℃）之间具有相关关系，已知，，由数据得线性回归方程：，并预测当气温是5℃的时候用电量为（    ）

A．40 B．50 C．60 D．70

【答案】B

【分析】根据题意可知样本中心为，又回归方程必过样本中心可知，，再将代入回归方程，即可求出结果.

【详解】因为，，

所以，，所以样本中心为，

由回归方程必过样本中心可知，所以，得，

所以，

当时，.

故选：B.

16．已知，则函数的零点个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】求出函数的导数，利用导数讨论单调性，确定其最大值为正，再借助零点存在性定理推理作答.

【详解】函数定义域为，求导得：，

令，，显然在上单调递减，而，，，

则存在，使得，即，当时，，，当时，，，

因此，在上单调递增，在上单调递减，

，

而，则存在使得，即在上存在唯一零点，

又，令，，

则在上单调递减，，，

于是得，则存在使得，即在上存在唯一零点，

综上得：函数的零点个数为2.

故选：C

【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，

并结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.

三、解答题

17．在中，角所对的边分别为，已知．

(1)求；

(2)求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理化边为角，利用代入，可求得角正切值；

（2）由同角间的三角函数关系求得，由二倍角公式求得，再由两角和的正弦公式计算．

【详解】（1），，，

由正弦定理得，                                

．    

化简得，    

即．

（2）由，是锐角，．                

，．

又是锐角，．                        

，．    

∴．

18．如图所示，在四棱锥中，平面，平面，，，又，，为中点.

(1)证明：平面；

(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面的法向量，再利用即可求解；

（2）根据（1）的结论，求出平面的法向量，再利用向量的夹角公式即可求解；

【详解】（1）过点作的垂线交于，以为原点，以，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.如图所示

因为，所以,又，

所以点到轴的距离为，到轴的距离为，则有

,

所以

设平面的法向量为，则

，即，令，则，

所以，

所以，即，

又平面，

所以平面.

（2）由（1）知，平面的法向量为，

所以

设平面的法向量为，则

，即，令，则，

所以，

设平面与平面所成的锐二面角为，则

.

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.

19．今年两会期间，国家对学生学业与未来发展以及身体素质的重要性的阐述引起了全社会的共鸣．某中学体育组对高二的名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的频率分布直方图（引体向上个数记为整数）．体育组为进一步了解情况，组织了两个研究小组．

(1)第一小组决定从单次完成个引体向上的男生中，按照分层抽样抽取人进行全面的体能测试，从这人中抽取人进行个别访谈，求恰有一人单次能完成个引体向上的概率；

(2)第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，发现这人中，体育优秀的学生占总人数的，双优学生（体育与学业都优秀）占总人数的，体育成绩不优秀的学生中，学业优秀与学业不优秀之比为．请你完成联表并判断是否有的把握认为体育锻炼与学业成绩有关？

参考公式：独立性检验统计量，其中．

下面的临界值表供参考：

【答案】(1)

(2)填表见解析，有的把握认为体育锻炼与学业成绩有关

【分析】（1）在所抽取的人中，分别求出抽取的单次完成个、个、个引体向上的人数，利用古典概型的概率公式以及组合计数原理可求得所求事件的概率；

（2）根据题中信息完善列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论.

【详解】（1）解：，

按照分层抽样抽取人进行全面的体能测试，

其中抽取的单次完成个引体向上的人数为，

抽取的单次完成个引体向上的人数为，

抽取的单次完成个的引体向上的人数为，

记“恰有一人单次能完成个引体向上”为事件，则.

（2）解：列联表如下表所示：

因为，

所以有的把握认为体育锻炼与学业成绩有关.

20．在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线，是曲线上一点.

(1)求曲线的方程；

(2)设是轴左侧（不含轴）上一点，在曲线上存在不同的两点，满足的中点均在曲线上，设的中点为，证明：；

(3)过点且斜率为的直线与曲线交于两点，若且直线与直线交于点，求证：为定值.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）根据题意，利用抛物线的定义，即可求得曲线的方程；

（2）设，联立方程组，转化为和是的两个实数根，结合，即可得证；

（3）设直线的方程为，联立方程组，利用韦达定理求得，再联立方程组求得，得到和，即可得证.

【详解】（1）解：由题意，动圆经过点且与直线相切，

即圆心到的距高等于到直线的距离，

由抛物线的定义，可得曲线的方程为.

（2）证明：设，

因为的中点均在曲线上，可得，

整理得；

同理可得，

即和是方程的两个实数根，可得，

因为，所以.

（3）证明：设直线的方程为，

由，整理得，

设，则，

，

因为，设直线的方程为，

由，整理的，解得，可得，

则，

又由 ，解得，可得，

所以.

21．已知函数.

(1)求证：；

(2)若，试比较与的大小；

(3)若，问是否恒成立？若恒成立，求的取值范围； 若不恒成立，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)恒成立，

【分析】（1）直接作差令，求导判定差函数单调性及最小值即可得出结论；

（2）作差令，分区间讨论其导函数符号得出单调性及最小值即可；

（3）令，利用端点效应即得出时恒成立，再证明充分性即可.

【详解】（1）即证，令，，

当所以此时单调递减；

当所以此时单调递增；

即当时，取得极小值也是最小值，所以，得证；

（2）设，则，

①当时，，所以，

而此时，故，在减函数，，

即；

②当时，由（1）知

，

令，即在单调递增，

所以，即，当且仅当时取得等号，

又恒成立，当且仅当时取得等号，

所以，即，即

综上，若，.

（3）恒成立，

设，

即证在上恒成立，

易得，

当时，若，

下面证明：当时，，在上恒成立，

因为，设，

则，

所以在上是单调递增函数，

所以，所以在上是严格增函数，

若时，，即在右侧附近单调递减，此时必存在，不满足恒成立，

故当时，不等式恒成立.