2023届上海市宜川中学高三5月模拟数学试题含解析

2023届上海市宜川中学高三5月模拟数学试题

一、填空题

1．已知，，若与互相平行，则实数的值是__________．

【答案】

【分析】由向量共线的坐标公式，列出方程求解即可．

【详解】因为，

所以，解得，

故答案为：．

2．双曲线的离心率为_______

【答案】

【详解】思路分析：由题可得，故离心率

【解析】此题考查双曲线离心率的计算.

点评：简单题，知道离心率的计算公式即可解答.

3．已知数列满足：，若为等差数列，则通项公式为__________．

【答案】/

【分析】设等差数列的首项为，公差为，由求出和，即可写出通项公式．

【详解】设等差数列的首项为，公差为，

则，

所以，解得，

所以，

故答案为：．

4．在中，已知，则此三角形最大内角度数为______．

【答案】

【分析】利用正弦定理角化边可得三边比例关系，由大边对大角知所求角为，利用余弦定理可求得结果.

【详解】在中，利用正弦定理可得：，的最大内角为，

不妨设，，，

则，

，.

故答案为：.

5．复数（为虚数单位）是实系数方程的一个解，则实数__________．

【答案】13

【分析】由实系数方程复数根的性质及根与系数的关系即可求得．

【详解】由题意，方程的另一个根为，

则，

故答案为：．

6．如图，在正四棱锥中，，则正四棱锥的体积为__________.

【答案】

【分析】首先求四棱锥的高，再根据体积公式，即可求解.

【详解】作平面，垂足为点，点为正方形的中心，连结，

，，所以，

所以四棱锥的体积.

故答案为：

7．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第10行中最大的数与第二大的数的数值之比为__________（用最简分数表示）.

【答案】

【分析】第行从左至右依次为，由二项式系数性质可得答案.

【详解】观察知第行从左至右依次为，

由二项式系数的性质可得最大，其次为，

所以第10行中最大的数与第二大的数的数值之比为.

故答案为：.

8．函数的最大值为__________．

【答案】/

【分析】首先求得，设，，得出的单调区间，即可得出最大值．

【详解】，

设，，

令，得或，

所以当时，，

即在和上单调递减，

当时，，

即在上，单调递增，

又因为，，

所以的最大值为，

故答案为：．

9．某校高中三年级600名学生参加了区模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布（试卷满分为150分）.统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为__________.

【答案】75

【分析】根据正态分布的对称性可求得，即可求得答案.

【详解】由题意可知，且,

则，

故此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为，

故答案为：75

10．定义符号函数则方程的解集为__________.

【答案】/

【分析】由方程定义域，按照分段函数分类讨论即可.

【详解】由方程定义域，

当时，原式等价于；

当时，原式等价于,

故答案为：.

11．在平面直角坐标系中,已知圆,点在圆上,且则的取值范围是_______.

【答案】.

【分析】本题可利用中点去研究,先通过坐标关系,将转化为,根据得到点的轨迹,由图形的几何特征,求出模的最值,得到本题答案.

【详解】设,中点.

∵

∴,

∵圆,

∴,圆心,半径.

∵点在圆上,,

∴,

即.

点在以为圆心,半径的圆上.

∴,.

∴,

∴.

故答案为:.

【点睛】本题考查了数形结合思想和函数方程的思想,圆的平面几何性质，向量的坐标运算，属于中档题.

12．投票评选活动中，经常采用简单多数原则或积分原则.简单多数原则指个评委对个候选人进行一次表决，各自选出认为最佳的人选，按每个候选人所得票数不同决定不同名次；积分原则指每个评委先对个候选人排定顺序，第一名得分，第二名得分，依此类推，最后一名得1分，每个候选人最后的积分多少决定各自名次.下表是33个评委对A､B､C､D四名候选人作出的选择，则按不同原则评选，名次不相同的候选人是__________.

【答案】和.

【分析】根据题意，分别按用简单多数原则或积分原则，求得的排名，再按不同的原则评选，即可求得名次不相同的候选人.

【详解】由题意，按简单多数原则排名，的得票数为，的得票数为，

的得票数为，的得票数为，

所以第一名为，第二名为，第三名为，第四名为，

按积分原则排名，的得分为，

的得分为，

的得分为，

的得分为，

所以第一名为，第二名为，第三名为，第四名为，

按不同的原则评选，名次不相同的候选人是，.

故答案为：和.

二、单选题

13．“”是“”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

【答案】A

【分析】根据分数不等式求解答范围，即可根据集合间的关系求解.

【详解】由可得，解得或，故是或的真子集，故“”是“”的充分不必要条件，

故选：A

14．德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项，则（    ）

A．98 B．99 C．100 D．101

【答案】C

【分析】观察要求解的式子，根据给的数列的通项公式，计算是否为定值，然后利用倒序相加的方法求解即可.

【详解】由已知，数列通项，所以，

所以，

所以.

故选：C.

15．已知平面所成角为为两平面外一点，则过点且与平面所成角均为的直线有（    ）条.

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】作出两平面所成二面角的平面角，先考虑二面角内符合题意的直线，再考虑在二面角的邻补的二面角内符合题意的直线，综合可得答案.

【详解】如图，作出两平面所成二面角的平面角，则，

设为的平分线，则，

当以O为中心，在二面角的角平分面上旋转时，与两平面的夹角变小，

此时与平面所成角均为的直线仅这一条；

设为的补角的角平分线，则，

当以O为中心，在二面角的邻补的二面角的角平分面上旋转时，与两平面的夹角变小，

此时在的两侧会各出现一条与两平面成的直线，可设为，

故过点P可作一条与平行的直线，符合题意；可作与平行的直线各一条，符合题意，

故过点且与平面所成角均为的直线有3条，

故选：C

16．如果函数的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质.下列函数中具有性质的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据具有性质的含义，可得存在，使得，由此一一求得各选项中函数的导数，判断其是否满足该性质，即得答案.

【详解】由题意知具有性质，即存在，使得；

对于A，，存在，使得，A正确；

对于B，定义域为，，

故不存在，使得，B错误；

对于C，，故不存在，使得，C错误；

对于D，，故不存在，使得，D错误；

故选：A

三、解答题

17．某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门,系统会随机(即等可能)为你打开一个通道.若是1号通道,则需要1小时走出迷宫;若是2号、3号通道,则分别需要2小时、3小时返回智能门,再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未到过的通道,直至走出迷宫为止.令ξ表示走出迷宫所需的时间.

(1)求ξ的分布列;

(2)求ξ的数学期望.

【答案】(1)分布列见解析.

（2）E(ξ)=(小时).

【详解】解：（1）的所有可能取值为：1，3，4，6

，，，，所以的分布列为：

（2）（小时）

18．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，是底面的内接正三角形，为上一点，.

(1)证明：平面；

(2)求二面角的大小.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）设圆 的半径为 1 , 求出各线段的长度, 利用勾股定理即可得到 , , 进而得证;

（2）建立空间直角坐标系, 求出平面PBC及平面PCE的法向量, 利用向量的夹角公式即可得解.

【详解】（1）由题设知为等边三角形，设圆锥底面半径为1，

则，所以，

又为等边三角形，则，即为等腰直角三角形，故

同理，又，平面，平面,所以平面；

（2）过O作交于点，因为平面，以O为坐标原点，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

，

可求得平面的一个法向量为，

平面的一个法向量为

故，

二面角为锐角，故其大小为.

19．某公司按销售额给销售员提成作奖金，每月的基本销售额为20万元，超额中的第一个5万元（含5万元以下），按超额部分的提成作奖金；超额中的第二个5万元，按超额部分的 提成作奖金；……后每增加5万元，其提成比例也增加一个．如销售员某月销售额为27万元，则按照合约，他可得奖金为元．试求：

(1)销售员某月获得奖金7200元，则他该月的销售额为多少？

(2)若某销售员、月份的总销售额为60万元，且两月都完成基本销售额，那么他这两个月的总奖金的最大、最小值分别是多少？

【答案】(1)3.65万元

(2)最高1万元，最低0.6万元

【分析】（1）由题分析出销售员该月的销售超额部分在15万元到20万元之间，设超额部分比15万多元，列出方程，求解即可；

（2）设两个月的总奖金为，某销售员月份的销售额为万元，则销售员月份的销售额为万元，分类讨论的范围，得出关于的分段函数，画出图像即可得解．

【详解】（1）超额第一个5万元可得奖金1000元，超额第二个5万元可得奖金2000元，超额第三个5元可得奖金3000元，超额第四个5万元可得奖金4000元，

所以当销售员的销售额超额部分为15万元时，可得奖金3000元，当销售员的销售额超额部分为20万元时，可得奖金7000元，

因为销售员某月获得奖金7200元，

所以销售员该月的销售超额部分在15万元到20万元之间，

设超额部分比15万多元，提成比例为，

则，可得，

故他该月的销售额为万元．

（2）设两个月的总奖金为，某销售员月份的销售额为万元，则销售员月份的销售额为万元，

则，

①当时，则，

，

②当时，则，

，

③当时， 则

，

④当时， 则

，

综上所述，，作出图像，

由图可知，当，即7月份销售额为30万元，奖金最低为0.6万元；

当或时，即7月份销售额为20或40万元，奖金最高为1万元．

20．已知双曲线，点为双曲线上的动点.

(1)求以为焦点且经过点的椭圆的标准方程；

(2)若直线经过点且与双曲线恰好有一个公共点，求直线的方程；

(3)点在什么位置时，取得最大？求出最大值及点的坐标.

【答案】(1)

(2)和

(3)或，最大为.

【分析】（1）设椭圆方程为，根据题意求得，即可求得答案；

（2）讨论l斜率不存在情况是否符合题意，斜率存在时，设出直线l的方程，并联立双曲线方程，结合判别式即可求得答案.

（3）利用双曲线对称性，先设点在第一象限，坐标为，利用到角公式求得，结合基本不等式求得最大值，可得答案.

【详解】（1）由题意可设椭圆方程为，

则，

又因为为椭圆焦点，

故，

故椭圆方程为.

（2）由于直线经过点，直线斜率不存在时与双曲线无公共点；

可设直线，与双曲线方程联立整理后得

当，得，当时，直线为双曲线的一条渐近线，不符题意，舍去；

当时，直线为，

与双曲线的另一条渐近线平行，与双曲线只有一个交点；

当时，令，

即解得，（舍去），

此时l方程为为；

综上，满足要求的直线有两条，分别为和.

（3）根据对称性，不妨设点在第一象限，，则，

于是，为锐角，

因为，当且仅当等号成立，此时，

此时，则，

根据双曲线的对称性，当或时，取得最大为.

【点睛】方法点睛：求解直线与双曲线只有一个交点时，联立方程后要注意讨论，将直线与双曲线渐近线进行比较，从而取舍；求解角的最大值时，要注意结合直线的斜率，利用到角公式并结合基本不等式求解.

21．已知函数，．

(1)求函数的最小值；

(2)过点的直线与交于A､B两点，求证：为定值；

(3)求证：有且只有两条直线与函数的图像都相切．

【答案】(1)2

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）由求出其单调区间，即可得出最小值；

（2）由题可知，直线的斜率存在，设，，，直线方程与联立，由根与系数关系得出和，代入，化简即可证明；

（3）设直线与函数的图像都相切，设直线与函数相切于点，得出，再由直线与函数相切，则，则，两式联立，得，设，，由得出的单调区间，结合，，，即可证明．

【详解】（1），定义域为，

则，易得为增函数，

令，得，

当时，，则在单调递增；

当时，，则在单调递减；

故时，取得最小值2．

（2）由题可知，直线的斜率存在，且，

设，，，不妨设，

则，消去得，

显然，

，，

，

所以为定值4．

（3）设直线与函数的图像都相切，

故不等式，在定义域内恒成立，且两个等号都能取到，

因为，当时，，

所以，

设直线与函数相切于点，

则，，消去得，

又直线与函数相切，

于是，得，

故，

与联立，得，

设，，

则，显然单调递增，

令，得，

即函数在内单调递减，在内单调递增，

又，，，

即函数恰有两个零点，一个在区间内，一个在区间内，

综上，有且只有两条直线与函数的图像都相切．