2023届辽宁省沈阳市东北育才学校高三下学期适应性考试数学试题含解析

这是一份2023届辽宁省沈阳市东北育才学校高三下学期适应性考试数学试题含解析，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届辽宁省沈阳市东北育才学校高三下学期适应性考试数学试题 一、单选题1．若M，N是U的非空子集，，则（    ）A．  B．  C．  D． 【答案】A【分析】根据集合的交集结果可得集合的包含关系即可一一判断.【详解】因为，所以，A正确，B错误；因为M，N是U的非空子集，所以，，C,D错误，故选:A.2．已知，且为实数，则实数（    ）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】先通过复数运算化简复数，然后根据复数为实数的条件建立a的方程求解【详解】因为为实数，所以.故选：A3．石碾子是我国电气化以前的重要粮食加工工具.它是依靠人力或畜力把谷子、稻子等谷物脱壳或把米碾碎成碴子或面粉的石制工具.如图，石碾子主要由碾盘、碾滚和碾架等组成，一个直径为60cm的圆柱形碾滚的最外侧与碾柱的距离为100cm，碾滚最外侧正上方为点，若人推动拉杆绕碾盘转动一周，则点距碾盘的垂直距离约为（    ）A．15cm B．cmC．cm D．45cm【答案】A【分析】根据题意求出人推动拉杆绕碾盘转动一周，点所转过的角度进而确定点所在位置，利用角度和半径即可求出点到碾盘的垂直距离.【详解】由题意碾滚最外侧滚过的距离为，碾滚的周长为，所以碾滚滚过圈，即滚过了，所以点距碾盘的垂直距离为.故选：A.4．在中，是的外心 ，若，则（    ）A． B．3 C．6 D．6【答案】C【分析】取中点H，连接，由已知及正弦定理可求，，再根据平面向量的数量积运算求解即可．【详解】如图，取中点H，连接，则，，所以，在中，，，由正弦定理得，所以，所以，故选：C．5．已知正实数满足，则的最小值为（    ）A．2 B．4 C．8 D．9【答案】C【分析】化简已知式可得，因为，由基本不等式求解即可.【详解】，而，当且仅当，即取等.故选：C.6．“m=0是“直线与直线之间的距离为2”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据平行线间的距离公式可得或，进而根据充分与不必要条件的定义判断即可.【详解】两条平行线间的距离，即，解得或，即“”是“两直线间距离为2”的充分不必要条件.故选：A.7．已知点是抛物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线分别与拋物线交于点和，且，则四边形面积的最小值为（    ）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【分析】首先根据焦半径公式表示条件，再利用直线与抛物线方程联立，利用韦达定理表示条件，可求得，再利用弦长公式表示四边形的面积，利用基本不等式求最值.【详解】设，，，，，，，，所以，即，①设直线:，联立抛物线方程，得，得，，②，将②代入①得，所以，因为直线与垂足，则，则四边形面积，当时，等号成立，所以四边形面积的最小值是8.故选：B8．设，，，则a，b，c的大小关系正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】构造函数，求导确定单调区间，得到，再构造函数，求导确定单调区间得到，得到答案.【详解】设，，则，，，，故，在上单调递增，故，当时，恒成立，令，则，即；设，，则，又，故 在上单调递减，，故，则函数在上单调递增，即，故当时，恒成立，令，则，即，综上所述：.故选：C【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数比较函数值的大小问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造函数，求导，利用函数的单调性比较大小是解题的关键. 二、多选题9．一批产品中有3个正品，2个次品.现从中任意取出2件产品，记事件：“2个产品中至少有一个正品”，事件：“2个产品中至少有一个次品”，事件：“2个产品中有正品也有次品”，则下列结论正确的是（    ）A．事件与事件为互斥事件 B．事件与事件是相互独立事件C． D．【答案】CD【分析】根据事件的相关概念可判断ABC，计算出可判断D.【详解】因为事件与事件可以同时发生，故A错误；事件包含事件，所以事件与事件不是相互独立事件，故B错误；因为，所以，故C正确；，故D正确；故选：CD10．在△ABC中，已知a＝2b，且，则（    ）A．a，c，b成等比数列B．C．若a＝4，则D．A，B，C成等差数列【答案】ABC【分析】首先根据三角恒等变换，将已知条件化简得，再结合条件，再依次判断选项即可得到答案.【详解】因为，所以，即，即.对选项A，因为，所以、、成等比数列，故A正确；对选项B，因为，，即，所以，即，故B正确；对选项C，若，则，，则，因为，所以.故，故C正确.对选项D，若、、成等差数列，则.又因为，则.因为，设，，，，则，故D错误.故选：ABC11．已知数列的前n项和为，且满足，，则下列说法正确的是（    ）A．数列的前n项和为B．数列的通项公式为C．数列不是递增数列D．数列为递增数列【答案】CD【分析】确定得到是首项为，公差为的等差数列，得到即的通项公式，再依次判断每个选项得到答案.【详解】，则，即，故是首项为，公差为的等差数列，故，即，，.对选项A：，错误；对选项B：，错误；对选项C：，，故数列不是递增数列，正确；对选项D：，故数列为递增数列，正确；故选：CD.12．在棱长为1的正方体中，E，F，G分别为线段，CD，CB上的动点（E，F，G均不与点C重合），则下列说法正确的是（    ）A．存在点E，F，G，使得平面EFGB．存在点E，F，G，使得C．当平面EFG时，三棱锥与C-EFG体积之和的最大值为D．记CE，CF，CG与平面EFG所成的角分别为，，，则【答案】ACD【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，设，对于A，当时，易证得，则要使平面EFG，只需即可，利用向量法即可得出结论；对于B，要使，只需要即可，判断和是否相等，即可；对于C，根据平面EFG，可得的关系，由，只要求出的最大值即可；对于D，利用等体积法求出到平面的距离，分别求出，即可判断.【详解】解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，对于A，因为平面，平面，所以，又因，所以平面，又平面，所以，当时，，此时，要使平面EFG，只需即可，，则，则，即，当时，，故存在点E，F，G，使得平面EFG，故A正确；对于B，，则，要使，只需要即可，，，，则，故，因为，所以，所以，所以不存在点E，F，G，使得，故B错误；对于C，因为平面EFG，所以，，则，则，所以，要使最大，则，此时，所以体积之和的最大值为，故C正确；对于D，由B，，则，因为，所以到平面的距离满足，所以，所以，，，所以，故D正确.故选：ACD. 三、填空题13．已知一组样本数据，且，平均数，则该组数据的方差s2＝________；【答案】2.5【分析】利用平均数求得所有数据的和，代入方差公式中，结合已知可得方差.【详解】由题意知，又====18.5-32+16=2.5.故答案为2.5.【点睛】本题考查了平均数与方差的定义及利用公式求值，考查了运算能力，属于基础题.14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线与的两条渐近线分别交于A，B两点.若，则的离心率为______.【答案】【分析】首先根据题意，设出直线的方程，之后与双曲线的渐近线联立，分别求出A，B两点的坐标，之后根据题中条件，得出A是的中点，根据中点坐标公式，得出其坐标间的关系，借助双曲线中的关系，求得该双曲线的离心率.【详解】设直线的方程为，两条渐近线的方程分别为和，分别联立方程组，求得，由，为的中点得A是的中点，所以有，整理得，结合双曲线中的关系，可以的到，故答案为：.15．已知圆，圆圆与圆相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则为_________.【答案】【分析】根据题意作出如下图形：由圆方程求出圆心连线斜率为：，计算出圆心距，再利用外公切线的斜率为7求出圆心连线与公切线的夹角，从而在直角三角形中列方程求得，联立方程即可求出，，问题得解．【详解】根据题意作出如下图形：AB为两圆的公切线，切点分别为A,B.当公切线AB与直线平行时，公切线AB斜率不为7，即不妨设过作AB的平行线交于点E，则：，且,直线的斜率为：，所以直线AB与直线的夹角正切为：.在直角三角形中，，所以，又,整理得：，解得：，又，解得：，，所以=.【点睛】本题主要考查了圆的公切线特点及两直线夹角公式，还考查了解三角形知识及计算能力、方程思想，属于中档题．16．已知函数有三个零点，则实数m的取值范围是______．【答案】【分析】求导得到导函数，构造，确定，排除的情况，确定函数的单调性，确定，，，根据零点存在定理得到答案.【详解】，，，设，，当时，恒成立，即恒成立，单调递增，不满足；故，即或，当时，在上恒成立，单调递增，不满足，故，现证明时满足条件：设方程的两个解为，，不妨取，，，当和时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；，故，，当趋近时，趋近，当趋近时，趋近，故在和上分别有一个零点，满足条件.综上所述：实数m的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，根据的大小分类讨论的取值范围是解题的关键，分类讨论是常用的数学方法，需要灵活掌握. 四、解答题17．已知数列的前项和为，且，（为常数）．(1)若数列为等比数列，求的值；(2)若，，数列前项和为，当且仅当时取最小值，求实数的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）先根据和项与通项关系求项之间递推关系，再根据等比数列定义确定，代入，解得t的值；（2）结合（1）中结论，根据等比数列定义求得，从而得到数列是等差数列，根据等差数列前项和取最小值等价于项且，代入得不等式，由此解得实数t的取值范围．【详解】（1）因为，所以当时，，两式相减，得，则，因为数列为等比数列，则公比为，又，所以，又，所以，解得，所以.（2）由（1）得，所以数列是从第二项起，，公比为的等比数列，所以，所以，故数列是等差数列，因为数列前项和为，当且仅当时，取最小值，所以且，即，所以且，所以，即，所以.18．已知平面向量，，记，(1)对于，不等式（其中m，）恒成立，求的最大值．(2)若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，a，b，c成等比数列，求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）化简得到，确定得到，，得到最值.（2）计算得到，确定，化简得到，根据正弦定理结合等比数列性质得到答案.【详解】（1），，则，故，，恒成立，故，，当，时，有最大值为.（2），即，，，故，，，，成等比数列，则，.19．如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点．  (1)证明：平面；(2)当直线BP与平面所成的角正弦值为时，求点D到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）确定平面，平面得到平面平面，得到证明.（2）建立空间直角坐标系，确定平面的一个法向量为，得到，再确定法向量，再根据距离的向量公式计算得到答案.【详解】（1），平面，平面，故平面；同理可得：平面；，且平面，故平面平面；，故平面；（2）如图所示：以分别为轴建立空间直角坐标系，  则，，，设，，，设平面的法向量为，则，取得到，，BP与平面所成的角正弦值为：，解得或（舍），设平面的法向量为，则，取得到，则点D到平面的距离.20．甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了6次测试，乙进行了7次测试.每次测试满分均为100分，达到85分及以上为优秀.两位同学的测试成绩如下表：次数同学第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次甲807882869593—乙76818085899694(1)从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90分的概率；(2)从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，设X表示这4次测试成绩达到优秀的次数，求X的分布列及数学期望EX；(3)从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，设Y表示这3次测试成绩达到优秀的次数，试判断数学期望EY与（2）中EX的大小.（结论不要求证明）【答案】(1)(2)的分布列为所以.(3) 【分析】（1）根据表格中的数据，代入古典概型的概率计算公式即可求解；（2）根据题意先求出所有的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，列出分布列并计算出期望即可求解；（3）根据题意先求出所有的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，计算出期望与（2）中期望即可求解；【详解】（1）由题意可知：甲、乙两名同学共进行的13次测试中，测试成绩超过90分的共4次，由古典概型的概率计算公式可得，所以从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90分的概率.（2）由题意可知：从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，这4次测试成绩达到优秀的次数的可能取值为1，2，3，则；；，所以的分布列为所以.（3）由题意可知：从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，这3次测试成绩达到优秀的次数的可能取值为0，1，2，3，则；；；；所以的分布列为所以，.21．已知椭圆的一个焦点为，其左顶点为A，上顶点为B，且到直线的距离为（O为坐标原点）．(1)求C的方程；(2)若椭圆，则称椭圆E为椭圆C的倍相似椭圆．已知椭圆E是椭圆C的3倍相似椭圆，直线与椭圆C，E交于四点（依次为M，N，P，Q，如图），且，证明：点在定曲线上．【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）由已知条件推导出，，由此能求出椭圆的方程．（2）分别联立直线与椭圆、椭圆的方程消元，可证明线段、中点相同，然后结合可得，由此可证明.【详解】（1），直线的方程为，即，到直线的距离为，，又，解得，，椭圆的方程为：．（2）椭圆的3倍相似椭圆的方程为，设，，，各点坐标依次为，，，，，，，，将代入椭圆方程，得：，，，，，将代入椭圆的方程得，，，，，线段，中点相同，，由可得，，所以，，化简得，满足式，，即点在定曲线上．22．已知函数，.（1）讨论函数的极值点；（2）若是方程的两个不同的正实根，证明：.【答案】（1）当，无极值点；当，的极大值点为，极小值点为；（2）证明见解析.【分析】（1）令，对求导后按判别式分类讨论求极值点；（2）通过层层分析和转化，将要证的不等式“”最终转化为：“求证：当时，”.【详解】（1），函数的定义域为，，，①当，即时，恒成立，所以函数在上单调递增，无极值点；②当，即时，方程有两个根，，解得，且，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以，函数的极大值点为，极小值点为（2）方程即方程，设，，∴在上递减，在上递增，依题意知有两个零点，∴，即，解得，且两式相减得，设，∴，∴，要证明，只需证，只需证，只需证，只需证，记，，∴在上递减，∴∴，故，即.【点睛】思路点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中. 某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用. 因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的. 根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧. 许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.