2023届上海市复兴高级中学高三适应性练习数学试题含解析

这是一份2023届上海市复兴高级中学高三适应性练习数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届上海市复兴高级中学高三适应性练习数学试题 一、填空题1．已知集合，若，则实数__________.【答案】1【分析】根据元素与集合的关系，将代入方程中，即可求得答案.【详解】由，可得，故答案为：12．不等式的解集为_________.【答案】【分析】利用零点分段法，分三种情况进行求解，得到答案.【详解】，当时，，解得，故解集为，当时，，解集为，当时，，解得，故解集为，综上：不等式的解集为.故答案为：3．的二项展开式中项的系数为___________.【答案】【分析】根据二项式展开式的通项，即可求得答案.【详解】由题意知的展开式的通项为，故展开式中项的系数为，故答案为；4．已知是关于x的方程的一个根，则q=____________.【答案】4【分析】根据实系数一元方程复数根互为共轭复数，可求得另一个根，在利用韦达定理结合复数的乘法运算求出.【详解】因为是关于的方程的一个根，所以时方程的另一个根，则.故答案为：4.5．曲线在处的切线的倾斜角大小为___________.【答案】【分析】先求出，根据导数的几何意义即可求解.【详解】由，所以，所以 ，即处的切线的斜率为，故切线的倾斜角为.    故答案为：6．将向量绕坐标原点O顺时针旋转得到，则___________.【答案】【分析】由条件求，再由数量积的坐标运算公式求.【详解】因为，所以点的坐标为，记点在轴上的投影为，则，所以，又，所以点的坐标为，所以向量，所以，故答案为：.  7．供电公司为了分析某小区的用电量y（单位:kw·h）与气温x（单位:℃）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天的气温，这两者之间的对应关系见下表:气温x181310-1用电y2434m64 利用最小二乘法得到的回归方程为，则____________.【答案】【分析】利用样本中心点在回归直线上即可求解.【详解】由题意可知，，，所以样本中心点的坐标为.将代入，得，解得.故答案为：.8．从，，，，中随机选取三个不同的数，在这三个数之积为偶数的条件下，它们的和不小于9的概率为____________.【答案】【分析】根据题意，由列举法分析从，，，，中随机选取三个不同的数的取法，进而可得其中三个数的积为偶数和三个数的和不小于的取法数目，由条件概率公式计算即可.【详解】根据题意，从，，，，中随机选取三个不同的数，取法有、、、、、、、、、，共种，其中三个数的积为偶数的有种，分别为、、、、、、、、，三个数的和不小于的有种，分别为、、、、，则三个数之积为偶数的条件下，它们的和不小于9的概率为.故答案为：9．已知，则的最小值为____________．【答案】4【分析】将构造变形为，然后利用基本不等式即可求解．【详解】由，当且仅当，即时等号成立，故最小值为4，故答案为：4．10．如图，已知，是相互垂直的两条异面直线，直线与，均相互垂直，且，动点，分别位于直线，上，若直线与所成的角，三棱锥的体积的最大值为________.【答案】/【分析】根据直线三条直线两两垂直，将图形还原为长方体，再根据，可得即为直线与所成的角的平面角，由此可求得，从而可得，再根据棱锥的体积公式结合基本不等式即可得解.【详解】因为直线三条直线两两垂直，如图，将图形还原为长方体，因为，所以即为直线与所成的角的平面角，则，因为平面，平面，所以，在中，由，得，所以，，当且仅当时，取等号，所以三棱锥的体积的最大值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：根据直线三条直线两两垂直，将图形还原为长方体，从特殊几何体入手是解决本题的关键.11．如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡P（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点，若篮球的半径为1个单位长度，灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为A，椭圆的右顶点到A点的距离为3个单位长度，则此时椭圆的离心率e=___________.  【答案】【分析】建立平面直角坐标系，结合直线方程和点到直线距离公式得到与，解出，求出离心率.【详解】以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，  由题意得，，则直线，即，设，则，所以点到直线的距离为，解得，所以，即，直线，即，所以点到直线的距离为，解得或，因为，所以，即直线，令得，即，所以，即，联立与，解得，故椭圆离心率为.故答案为：12．已知定义在R上的偶函数满足.若，且在单调递增，则满足的x的取值范围是__________.【答案】【分析】由题意可知，是周期为的周期函数，的最小正周期为8，结合与的单调性，易知在一个周期内，由，可得，再结合周期求出范围即可.【详解】因为是偶函数，所以，由，可得关于对称，因为，所以，则，因为是偶函数，所以，因为，所以，则，所以函数是周期为的周期函数.因为是偶函数，且在单调递增，所以在单调递减，令中，则，则，又因为关于对称，所以在上单调递增，上单调递减，结合函数是周期为的周期函数，综上可得在，上单调递增，，上单调递减.因为的最小正周期为，结合图象可知，在，上单调递增，在上单调递减，令中，则，则，当，又，所以，当，又，所以，所以当时，，解得.又因为与均为周期函数，且8均为其周期，所以的x的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题解题的关键是求出与的周期性，由，，结合函数的单调性和周期性求解即可. 二、单选题13．数列{}中，“”是“{}是公比为2的等比数列”的（    ）.A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】结合等比数列的定义，判断“”和“{}是公比为2的等比数列”之间逻辑推理关系，即得答案.【详解】对数列{}，，若，则可得，此时{}不是公比为2的等比数列；若{}是公比为2的等比数列，则，即，故”是“{}是公比为2的等比数列”的必要而不充分条件，故选：B14．下列命题中不正确是（    ）A．中位数就是第百分位数B．已知随机变量，若，则C．已知随机变量，且数为偶函数，则D．已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为132.25【答案】B【分析】根据题意，由百分位数的定义即可判断A，由二项分布的方差性质即可判断B，由正态分布密度曲线的性质即可判断C，由方差的计算公式即可判断D.【详解】对于A：中位数就是第百分位数，选项A正确；对于B：，则，因此，故B错误；对于C：，函数为偶函数，则，区间与关于对称，故，故C正确；对于D：分层抽样的平均数，按分成抽样样本方差的计算公式，故D正确.故选：B.15．在圆锥中，已知高，底面圆的半径为4，M为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（    ）①圆的面积为；②椭圆的长轴长为；③双曲线两渐近线的夹角正切值为；④抛物线的焦点到准线的距离为A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】对于①，利用圆锥的几何性质确定圆的半径，即可求得圆的面积；对于②，结合圆锥的轴截面可求得椭圆的长轴长；对于③，建立平面直角坐标系，设双曲线方程，确定双曲线上的点的坐标，即可求得双曲线方程，进而求得双曲线两渐近线的夹角正切值；对于④，建立平面直角坐标系，设抛物线方程，确定抛物线上的点的坐标，即可求得参数，由此可判断出答案.【详解】对于①，M为母线的中点，因此截面圆的半径为底面圆的半径的，即截面圆半径为2，则圆的面积为，故①正确；对于②，如图，在圆锥的轴截面中，作,垂足为C，由题意可得M为母线的中点，则,故椭圆的长轴长为,②正确；对于③，如图，在与平面垂直且过点M的平面内，建立平面直角坐标系，坐标原点与点P到底面距离相等，则点M坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为D，其坐标为，则设双曲线方程为，则，将代入双曲线方程，得，设双曲线的渐近线与轴的夹角为，则，故双曲线两渐近线的夹角正切值为，③错误；对于④，如图，建立平面直角坐标系，设抛物线与底面圆的一个交点为H，则，则,设抛物线方程为，则，即抛物线的焦点到准线的距离为，④错误，故正确的命题有2个，故选：B16．已知，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于正整数n，甲:；乙:为严格减数列，则（    ）.A．甲正确，乙正确 B．甲正确，乙错误C．甲错误，乙正确 D．甲错误，乙错误【答案】A【分析】将函数的极值点转化为两个函数图像的交点的横坐标，由图象判断命题甲，结合函数图像利用极限思想判断命题乙.【详解】函数的定义域为，导函数，令，得，所以函数的极值点为函数与函数的图象的交点的横坐标，在同一平面直角坐标系中，分别画出函数与函数的图象，如图所示，由图可知，在区间内，函数函数与函数的图象，有且仅有个交点，且，所以命题甲正确；因为，函数为增函数，所以，所以随着的增大，与越来越接近，距离越来越小，所以数列为递减数列，命题乙正确.故选：A.    【点睛】知识点点睛：本题考查的知识点有极值点的定义，余弦函数的图象，反比例函数的图象，利用图象研究方程的根等，考查数形结合，极限等数学思想，属于综合题. 三、解答题17．设.(1)判断函数的奇偶性，并写出最小正周期；(2)求函数在上的最大值.【答案】(1)非奇非偶函数，(2) 【分析】（1）根据三角函数恒等变换化简，结合函数奇偶性的定义以及正弦函数的周期，即可求得答案；（2）化简，结合，求得，结合正弦函数的性质，即可求得答案.【详解】（1）由题意得，故，令，,由于不恒等于，也不等于，故为非奇非偶函数，其最小正周期为；（2）由题意可得，因为，所以，故，故的最大值为，即函数在上的最大值为.18．如图，在三棱锥中，，O为AC的中点．(1)证明：⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角为，求的值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由等腰三角形三线合一得到，由勾股定理逆定理得到，从而证明出线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，求出点的坐标，设，利用空间向量及二面角列出方程，求出答案.【详解】（1）在中，，O为AC的中点．则中线，且；同理在中有，则；因为，O为AC的中点．所以且；在中有，则，因为，平面ABC，所以⊥平面ABC．（2）由（1）得⊥平面ABC，故建立如图所示空间直角坐标系，则，设，则，而，，，设平面PAM的一个法向量为，由得，，令，又x轴所在直线垂直于平面PAC，∴取平面PAC的一个法向量，，平方得，令，，．19．新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是岁以上人群.该病毒进入人体后有潜伏期.潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间.潜伏期越长，感染到他人的可能性越高.现对个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，统计发现潜伏期平均数为，方差为.如果认为超过天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：年龄/人数长期潜伏非长期潜伏50岁以上6022050岁及50岁以下4080 （1）是否有的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；（2）假设潜伏期服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.（i）现在很多省市对入境旅客一律要求隔离天，请用概率的知识解释其合理性；（ii）以题目中的样本频率估计概率，设个病例中恰有个属于“长期潜伏”的概率是，当为何值时，取得最大值.附：0.10.050.0102.7063.8416.635 若，则，，.【答案】（1）有；（2）（i）答案见解析；（ii）250.【分析】（1）根据列联表中的数据，利用求得，与临界表值对比下结论；（2）(ⅰ)根据，利用小概率事件判断； (ⅱ)易得一个患者属于“长潜伏期”的概率是，进而得到，然后判断其单调性求解.【详解】（1）依题意有，由于，故有的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；（2）(ⅰ)若潜伏期，由，得知潜伏期超过天的概率很低，因此隔离天是合理的；(ⅱ)由于个病例中有个属于长潜伏期，若以样本频率估计概率，一个患者属于“长潜伏期”的概率是，于是，则，，当时，；当时，；∴，.故当时，取得最大值.【点睛】方法点睛：利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率．20．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为．(1)求椭圆的方程；(2)设直线、的斜率分别为、，且．①求证：直线经过定点．②设和的面积分别为、，求的最大值．【答案】(1)(2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；（2）①分析可知直线不与轴垂直，设直线的方程为，可知，设点、.将直线的方程的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用求出的值，即可得出直线所过定点的坐标；②写出关于的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得的最大值.【详解】（1）解：当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值，且最大值为，由题意可得，解得，所以，椭圆的标准方程为.（2）解：①设点、.若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，则，不合乎题意.设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右焦点，则，联立可得，，可得，由韦达定理可得，，则，所以，，解得，即直线的方程为，故直线过定点.②由韦达定理可得，，所以，，，则，因为函数在上单调递增，故，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，的最大值为.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.21．已知.(1)求函数的极小值；(2)当时，求证:；(3)设），记函数在区间上的最大值为，当最小时，求a的值.【答案】(1)函数的极小值为；(2)证明见解析；(3). 【分析】（1）首先求导函数，求导函数的零点，分析零点两侧导数值的符号，由此确定极值点；（2）由题意证得，即可证得题中的结论；（3）由题意结合（2）中的结论分类讨论即可求得a的值.【详解】（1）函数的定义域为，导函数，令可得，，解得或，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，当时，函数取极小值，极小值为；（2）设，，令得或者，所以当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；而，，，所以当时，，所以；（3）由（2）知，所以，又，设，则，函数在区间上的最大值为在时的最大值，所以是中的较大者，若，即时，；若，即时，；所以当最小时，，此时.【点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的极值，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.